Basiswechsel-Rechner

Wandeln Sie einen Logarithmus sofort mit der Basiswechselformel von einer Basis in eine andere um. Funktioniert mit jeder positiven Basis (außer 1). Sie können sogar e für den natürlichen Logarithmus verwenden.

Logarithmus-Basis-Umrechner

Geben Sie die ursprüngliche Basis \(b\) und die neue Basis \(B\) ein (beide > 0 und ≠ 1).
Geben Sie e für die Eulersche Zahl (natürliche Basis) ein, falls erforderlich.

Ergebnis (Basiswechsel)

\( \log_b(x) = ? \)

⚡ Das Ergebnis bedeutet:
\( \log_{b}(x) = K \cdot \log_{B}(x) \) mit \( K = \frac{1}{\log_B(b)} \).
Der Rechner zeigt \( K \) direkt an.

Basiswechselformel

Gegeben \( \log_b (x) \), können Sie in jede Basis \( B \) ( \( B>0, B\neq 1 \) ) wechseln:

\[ \log_b (x) = \frac{\log_B (x)}{\log_B (b)} \]

Äquivalent: \(\displaystyle \log_b (x) = \left(\frac{1}{\log_B(b)}\right) \log_B(x)\)

Ausgearbeitete Beispiele

Beispiel 1

Ändern Sie \( \log_2 (x) \) in die natürliche Basis \( e \).

\( b = 2,\; B = e \)

\[ \log_2(x) = \frac{\log_e(x)}{\log_e(2)} = \frac{1}{\ln 2}\,\ln x\]

\(\displaystyle \frac{1}{\ln 2} \approx 1.4427\) → \(\log_2(x) \approx 1.4427\,\ln x\)

Beispiel 2

Schreiben Sie \( \log_4 (x) \) mit Basis \( 2 \) um.

\( b = 4,\; B = 2 \)

\[ \log_4(x) = \frac{\log_2(x)}{\log_2(4)} = \frac{\log_2(x)}{2} = 0.5\,\log_2(x)\]

Also \(\log_4(x) = 0.5 \log_2(x)\)

Übungsaufgaben mit dem Rechner

Versuchen Sie diese manuell und prüfen Sie dann mit dem Rechner oben. Geben Sie \(b\) (ursprüngliche Basis) und \(B\) (neue Basis) ein.

a) \( \log_{16}(x) \), \( B = 4 \)
b) \( \log_{10}(x) \), \( B = e \)
c) \( \log_{0.1}(x) \), \( B = 10 \)
d) \( \log_{2}(x) \), \( B = 8 \)
e) \( \log_{8}(x) \), \( B = 16 \)
f) \( \log_{0.01}(x) \), \( B = 10 \)
g) \( \log_{25}(x) \), \( B = 5 \)
h) \( \log_{e}(x) \), \( B = 10 \)