Reelle Kubikwurzel einer reellen Zahl
Eine Zahl \( y \) ist die Kubikwurzel einer Zahl \( x \), wenn \( y^3 = x \).
Numerische Beispiele
\( 1 \) ist die Kubikwurzel von \( 1 \), da \( 1^3 = 1 \)
\( 2 \) ist die Kubikwurzel von \( 8 \), da \( 2^3 = 8 \)
\( -10 \) ist die Kubikwurzel von \( -1000 \), da \( (-10)^3 = -1000 \)
\( y = \sqrt[3]{x} \)
Der Graph der Kubikwurzelfunktion ist unten dargestellt.
Komplexe Kubikwurzeln (Satz von Moivre)
Wenn wir komplexe Zahlen zulassen, hat jede reelle Zahl \( x \) (ungleich Null) drei Kubikwurzeln: eine reelle und zwei komplex konjugierte. Sie sind gegeben durch:
\( y_1 = \sqrt[3]{x} \) (reelle Wurzel)
\( y_2 = \sqrt[3]{x}\left( -\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) \)
\( y_3 = \sqrt[3]{x}\left( -\dfrac{1}{2} - i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) \)
wobei \( i = \sqrt{-1} \) die imaginäre Einheit ist.
Beispiel mit \( x = -27 \)
\( y_1 = \sqrt[3]{-27} = -3 \)
\( y_2 = -3\left( -\dfrac{1}{2} + i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = \dfrac{3}{2} - \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,i \)
\( y_3 = -3\left( -\dfrac{1}{2} - i\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) = \dfrac{3}{2} + \dfrac{3\sqrt{3}}{2}\,i \)
(Ungefähr \(1.5 - 2.598i\) und \(1.5 + 2.598i\))