Berechnen Sie die Fakultät einer beliebigen nicht-negativen ganzen Zahl. Entdecken Sie Fakultäten in Permutationen, Kombinationen und Reihen.
Für eine positive ganze Zahl \( n \) ist die Fakultät \( n! \) (gesprochen „n-Fakultät“):
\[ n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \cdots \times 2 \times 1 \]
mit dem Sonderfall \( 0! = 1 \). Fakultäten wachsen sehr schnell und treten in der Kombinatorik, Analysis und vielen anderen Bereichen auf.
Geben Sie eine nicht-negative ganze Zahl ein und klicken Sie auf Berechnen
Für \( n \ge 22 \) werden die Ergebnisse in wissenschaftlicher Notation angezeigt (z. B. \( 22! = 1,1240007277776077 \times 10^{21} \)).
Alle folgenden Beispiele werden automatisch mit Ihrem aktuellen Wert von \( n \) aktualisiert.
Die Anzahl der Möglichkeiten, \( r \) Elemente aus \( n \) verschiedenen Elementen anzuordnen (wobei die Reihenfolge wichtig ist), beträgt:
\[ P(n, r) = \frac{n!}{(n - r)!} \]
Berechnen Sie für \( r = 3 \) den Wert \( P(n, 3) \) mit Ihrem aktuellen \( n \):
| \( n \) | \( P(n, 3) = \dfrac{n!}{(n-3)!} \) | Numerischer Wert |
|---|---|---|
| 10 | \( \frac{10!}{7!} \) | — |
Die Anzahl der Möglichkeiten, \( r \) Elemente aus \( n \) auszuwählen (wobei die Reihenfolge keine Rolle spielt), beträgt:
\[ C(n, r) = \frac{n!}{r! \, (n - r)!} \]
Berechnen Sie für \( r = 2 \) den Wert \( C(n, 2) \) mit Ihrem aktuellen \( n \):
| \( n \) | \( C(n, 2) = \dfrac{n!}{2! \, (n-2)!} \) | Numerischer Wert |
|---|---|---|
| 10 | \( \frac{10!}{2! \cdot 8!} \) | — |
Die Exponentialfunktion kann als unendliche Reihe mithilfe von Fakultäten ausgedrückt werden:
\[ e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots \]
Mit \( x = 1 \) approximiert die Summe der ersten \( n+1 \) Terme die Eulersche Zahl \( e \).
Die Partialsumme nähert sich \( e \approx 2{,}718281828459045 \) an.