Quadratische Gleichungen lösen mit Diskriminanten (1)

Dies ist eine Anleitung zur Verwendung der Diskriminanzanalyse und die Lösungsformel zu quadratischen Gleichungen zu lösen. Wir diskutieren auch über die Beziehung zwischen der Anzahl der Lösungen der Wert der Diskriminanzanalyse. Die Einzelheiten und Erläuterungen sind im Preis inbegriffen. Übungen mit Antworten werden am Ende dieser Seite.

Übersicht
Eine quadratische Gleichung in einer Variablen ist eine Gleichung, die in der Form geschrieben werden kann


ax 2 + bx + c = 0

wo a, b und c Konstanten sind mit einem nicht gleich Null.

Es gibt mehrere Methoden zur Lösung von quadratischen Gleichungen. In diesem Tutorial verwenden wir die Formeln der quadratischen und der Diskriminanzanalyse.
Die Lösungen für die obige Gleichung durch die quadratische Formeln gegeben.

x 1 = [-b + sqrt (b 2 - 4ac)] / (2a)
und
x 2 = [-b - sqrt (b 2 - 4ac)] / (2a)

Der Begriff b 2 - 4ac heisst Diskriminante und gibt wichtige Informationen über die Anzahl und die Art der Lösungen für die quadratische Gleichung gelöst werden. Drei Fälle sind möglich:
  1. Wenn D> 0, hat die Gleichung 2 echte Lösungen. (siehe Beispiel 1 unten)
  2. Ist D = 0, hat die Gleichung 1 wirkliche Lösung. (siehe Beispiel 2 unten)
  3. Wenn D <0, hat die Gleichung 2 konjugiert imaginären Lösungen. (siehe Beispiel 3 unten)

Beispiel 1: Hier finden Sie alle Lösungen der quadratischen Gleichung unten angegeben.


x 2 + 3x = 4

Lösung Beispiel 1:

  • Angesichts
    x 2 + 3x = 4

  • Schreiben Sie die gegebene Gleichung mit dem rechten Begriff gleich Null.
    x 2 + 3x - 4 = 0

  • Hier finden Sie die Diskriminante D = b 2 - 4ac
    D = b 2 - 4ac = 3 2 - 4 (1) (-4) = 25

  • Da die Diskriminante positiv ist, hat die Gleichung zwei reelle Lösungen gegeben.
    x 1 = [-3 + sqrt (25)] / (2 * 1) = [-3 + 5] / 2 = 1

    x 2 = [-3 - sqrt (25)] / (2 * 1) = [-3 bis 5] / 2 = -4

Check Solutions

  1. x = 1
    Linke Seite der Gleichung x = 2 + 3x = 1 2 + 3 (1) = 1 + 3 = 4
    Rechten Seite der Gleichung = 4.

  2. x = -4
    Linke Seite der Gleichung = (-4) 2 + 3 (-4) = 16 - 12 = 4
    Rechten Seite der Gleichung = 4.

Fazit: Die Lösungen für die gegebenen Gleichung sind 1 und -4.

Matched Übung 1: Hier finden Sie alle Lösungen der quadratischen Gleichung unten angegeben.


x 2 - 3 x + 2 = 0

Antwort:


Beispiel 2: Hier finden Sie alle Lösungen der quadratischen Gleichung


x 2 / 3 + 3 = 2x

Lösung Beispiel 2:

  • Angesichts
    x 2 / 3 + 3 = 2x

  • Beseitigen Sie den Nenner durch Multiplikation alle Glieder in der Gleichung durch 3.
    3 [x 2 / 3 + 3] = 3 * 2x

  • Vereinfachen und schreiben die Gleichung mit den richtigen Begriff gleich Null.
    x 2 - 6x + 9 = 0

  • Verwenden Sie die Lösungsformel. Die Diskriminante D ist gegeben durch
    D = b 2 - 4ac
    = (-6) 2 - 4 (1) (9) = 0

  • Da die Diskriminante ist gleich Null, die beiden Formeln geben die beiden Lösungen der quadratischen Gleichung x = zu einem -b/2a und die Gleichung hat eine Lösung.
    x =-b / 2a = - (-6) / 2 * 1 = 3

Check Solutions

  1. x = 3
    Linke Seite der Gleichung x = 2 / 3 + 3 = 3 2 / 3 + 3 = 6
    Rechten Seite der Gleichung = 2x = 2 (3) = 6.

Schlussbemerkung
Es ist eine wirkliche Lösung der gegebenen Gleichung: x = 3.

Matched Übung 2. Finden Sie alle Lösungen der quadratischen Gleichung.


x 2 / 2 = - 8 - 4x

Antwort:


Beispiel 3: Hier finden Sie alle Lösungen der quadratischen Gleichung


x 2 - 4x + 13 = 0

Lösung Beispiel 3:

  • Angesichts
    x 2 - 4x + 13 = 0

  • Die Diskriminante D ist gegeben durch
    D = b 2 - 4ac
    = (-4) 2 - 4 (1) (13) = -36


  • Da die Diskriminante negativ ist, ist die Quadratwurzel der Diskriminante eine reine imaginäre Zahl.
    sqrt (D) = sqrt (-36) = sqrt (-1) sqrt (36) = 6i
    wobei i die imaginäre Einheit als i = srqt (-1) definiert.

  • Verwenden Sie die quadratische Formeln zu finden, die beiden Lösungen.
    x 1 = (4 + 6i)) / (2 * 1) = 2 + 3i
    x 2 = (4 - 6i) / (2 * 1) = 2 - 3i

Check Solutions

  1. x = 2 + 3i
    Linke Seite der Gleichung x = 2 - 4x + 13 = (2 + 3i) 2 - 4 (2 + 3i) + 13
    = 4 - 9 + 12i - 8 - 12i + 13 = 0
    Rechten Seite der Gleichung = 0

  2. x = 2 - 3i
    Linke Seite der Gleichung x = 2 - 4x + 13 = (2 - 3i) 2 - 4 (2 - 3i) + 13
    = 4 - 9 - 12i - 8 + 12i + 13 = 0
    Rechten Seite der Gleichung = 0

Schlussbemerkung
Die gegebene Gleichung hat zwei imaginären Lösungen 2 + 3i und 2 - 3i-Konjugat von einander.

Matched Übung 3. Finden Sie alle Lösungen der quadratischen Gleichung.


x 2 - 4x + 5 = 0

Antwort:

Übungen. (Siehe Antworten unten)

Lösen Sie die folgenden quadratischen Gleichungen

a)-x 2 + 2x = -3

b) (1 / 2) x 2 + (1 / 3) x = 1 / 6

c) x 2 + 9 = 0

d) - 0,2 x 2 + 2,0 x = + 5,2

e) [3 x 2 + 2x] / 2 = 2

Antworten auf die Übungen vor.

a) -1, 3

b) -1, 1 / 3

c) 3 i, -3 i

d) 5 - i, 5 + i

e) sqrt (13) / 3 - 1 / 3, - sqrt (13) / 3 - 1 / 3

Weitere Referenzen und Links zu quadratischen Gleichungen.


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Aktualisiert: 25. November 2007 (A Dendane)