Gleichungen lösen der quadratischen Form - Tutorial

Dies ist eine Anleitung auf die Lösung von Gleichungen, die zu quadratischen Form reduziert werden kann. Die Einzelheiten und Erläuterungen sind im Preis inbegriffen.

Übersicht

Eine quadratische Gleichung hat die Form

ax 2 + bx + c = 0

mit einem nicht gleich 0 ist.

Es gibt mehrere Methoden zur Lösung von quadratischen Gleichungen. In diesem Tutorial verwenden wir die Methode der quadratischen Formel und der Methode der Factoring.


Beispiel 1: Hier finden Sie alle reellen Lösungen der Gleichung.

x 4 + x 2 - 6 = 0

Lösung Beispiel 1:

  • Angesichts
    x 4 + x 2 - 6 = 0

  • Da (x 2 )2 = x 4, let u = x 2 und schreiben die Gleichung in der Bezeichnung des u.
    u 2 + u - 6 = 0

  • Factor der linken Seite.
    (u + 3) (u - 2) = 0

  • Verwenden Sie die Null-Faktor Satz auf einfache Gleichungen zu erhalten.
    a) (u + 3) = 0
    b) u - 2 = 0

  • Lösung der Gleichung a).
    u = -3

  • Lösung der Gleichung b).
    u = 2

  • Verwenden Sie die Tatsache, dass u = x 2, die erste Lösung in u gibt,
    x 2 = -3

  • und die zweite Lösung gibt.
    x 2 = 2

  • Das Quadrat einer reellen Zahl darf nicht negativ sein und damit die Gleichung x 2 = -3 hat noch keine wirklichen Lösungen. Die zweite Gleichung wird durch Extraktion der Wurzel gelöst und gibt zwei Lösungen.
    x = sqrt (2)

    x =-sqrt (2)

Check Solutions

  1. x = sqrt (2)
    Linke Seite der Gleichung = sqrt (2) 4 + sqrt (2) 2 - 6
    = 4 + 2 - 6
    = 0
    Rechten Seite der Gleichung = 0.

  2. x =-sqrt (2)
    Linke Seite der Gleichung = (-sqrt (2)) 4 + (-sqrt (2)) 2 - 6
    = 4 + 2 - 6
    = 0
    Rechten Seite der Gleichung = 0.

Fazit: Die echte Lösungen für die gegebenen Gleichung sind sqrt (2) und -sqrt (2)

Matched Übung 1: Hier finden Sie alle reellen Lösungen der Gleichung.

x 4 - 2x2 - 3 = 0

Antwort


Beispiel 2: Hier finden Sie alle reellen Lösungen der Gleichung

2 x + 3 * sqrt (x) = 5

Lösung Beispiel 2:

  • Angesichts
    2 x + 3 * sqrt (x) = 5

  • Beachten Sie, dass sqrt (x) bedeutet x ist positiv oder Null ist. Seit [sqrt (x)] = 2 x, let u = sqrt (x) und schreiben die Gleichung in der Bezeichnung des u.
    2u 2 + 3u = 5

  • Schreiben Sie die Gleichung mit der rechten Seite gleich 0 ist.
    2u 2 + 3u - 5 = 0

  • Verwenden Sie die Lösungsformel. Die Diskriminante D ist gegeben durch
    D = b 2 - 4ac
    = (3) 2 - 4 (2) (-5)
    = 49

  • Verwenden Sie die quadratische Formel, um die beiden Lösungen wie folgt schreiben.
    u 1 = (-b + sqrt (D)) / 2a
    und
    u 2 = (-b - sqrt (D)) / 2a

  • Stellvertreter b, D und durch ihre Werte.
    u 1 = (-3 + sqrt (49)) / 4
    und
    u 2 = (-3 - sqrt (49)) / 4

  • Vereinfachen Sie die obigen Ausdrücke.
    u 1 = 1 und u 2 = -5 / 2

  • Wir verwenden nun die Tatsache, dass u = sqrt (x) und für x lösen Die erste Lösung u 1 gibt
    sqrt (x) = 1

  • Square beiden Seiten zu erhalten, um
    x = 1

  • Die zweite Lösung u 2 gibt
    sqrt (x) = -5 / 2

  • Diese letzte Gleichung haben keine wirklichen Lösungen, da die Quadratwurzel aus einer reellen positiven Zahl muss eine reelle positive Zahl ist.

Check Lösungen x = 1 = Left Side 2 (1) + 3 * sqrt (1)
"5"
Right Side = 5

Schlussbemerkung
Die eigentliche Lösung der gegebenen Gleichung ist x = 1.

Matched Übung 2. Finden Sie alle reellen Lösungen der Gleichung.

x - 3 * sqrt (x) - 4 = 0

Antwort

Weitere Referenzen und Links zum Thema, wie man Gleichungen lösen, Systeme von Gleichungen und Ungleichungen.


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Aktualisiert: 25. November 2007 (A Dendane)

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