Gleichungen lösen durch Substitution

Die leistungsfähige Methode der Substitution wird verwendet, um verschiedene Arten von Gleichungen zu lösen.

Beispiel 1: Löse die Gleichung

x - 3 sqrt (x) = - 2

Lösung Beispiel 1:

  • Sei u = sqrt (x), so dass u 2 = x. Wir ersetzen x und sqrt (x) von u und u 2 jeweils mit einer Gleichung zu erhalten u.
    u 2 - 3 u = - 2

  • Das oben genannte ist eine quadratische Gleichung, so schreiben sie, dass ihre richtige Begriff gleich Null ist.
    u 2 - 3 u + 2 = 0

  • Verwenden Sie eine Methode, um die obige Gleichung zu lösen für u zu erhalten:
    u = 1 oder u = 2

  • Wir ersetzen u durch sqrt (x) und für x lösen
    sqrt (x) = 1 oder sqrt (x) = 2

    x = 1 oder x = 4

Beispiel 2: Verwenden Sie die Methode der sustitution die Gleichung zu lösen

1 / (x - 1) 2 - 1 / (x - 1) - 2 = 0

Lösung Beispiel 2:

  • Sei u = 1 / (x - 1) und die Substitution in die obige Gleichung zu einer Gleichung in u. erhalten
    u 2 - u - 2 = 0

  • Lösen Sie die obigen quadratischen Gleichung zu erhalten:
    u = - 1 oder u = 2

  • Wir ersetzen u durch 1 / (x - 1) und für x lösen
    1 / (x - 1) = - 1 oder 1 / (x - 1) = 2

    x = 0 oder x = 3 / 2

Beispiel 3: Verwenden Sie die Methode der sustitution die Gleichung zu lösen

- (x + 3) 6 + 4 (x + 3)3 = - 21

Lösung Beispiel 3:

  • Sei u = (x + 3)3 und Ersatzmitglieder in die obige Gleichung zu erhalten, eine Gleichung in u.
    - u 2 + 4 u = -21

    u 2 - 4 u - 21 = 0

  • Lösen Sie die obigen quadratischen Gleichung zu erhalten:
    u = - 3 oder u = 7

  • Wir ersetzen u durch (x + 3)3 und lösen nach x
    (x + 3)3 = - 3 oder (x + 3)3 = 7

  • Wir lösen für x

    x = - 3 - Kubikwurzel (3)

    oder

    x = - 3 + Kubikwurzel (7)

Beispiel 4: Verwenden Sie die Methode der sustitution die Gleichung zu lösen

3 e 2 x - e x - 2 = 0

Lösung zu Beispiel 4:

  • Sei u = e x, so dass u 2 = e 2 x Ersatz und in der obigen Gleichung zu erhalten:
    3 u 2 - u - 2 = 0

  • Verwenden Sie eine Methode zur Lösung der oben genannten quadratischen Gleichung.
    u = 1

    oder

    u = - 2 / 3

  • Wir ersetzen u durch e x und für x lösen
    e x = 1 oder e x = - 2 / 3

  • Wir lösen e x = 1 zu erhalten:

    x = 0

  • Die zweite Gleichung x = e - 2 / 3 hat keine Lösung, da e x ist immer positiv.


Beispiel 5: Verwenden Sie die Methode der sustitution die Gleichung zu lösen

sin 2 x - 4 sin x - 5 = 0
für x im Intervall [0, 2 Pi). Geben Sie x im Bogenmaß.

Lösung zu Beispiel 5:

  • Sei u = sin x und Ersatzmitglieder in die obige Gleichung zu erhalten:
    u 2 - 4 u - 5 = 0

  • Lösen Sie die obigen quadratischen Gleichung.
    u = - 1

    oder

    u = 5

  • Wir ersetzen u durch sin x und für x lösen
    sin x = - 1 oder sin x = 5

  • Wir lösen sin x = - 1 zu erhalten:

    x = 3 Pi / 2

  • Die Palette der sin x ist die Menge von Werten im Intervall [- 1, 1] und damit die Gleichung sin x = 5 hat keine Lösung.

Weitere Referenzen und Links zum Thema, wie man Gleichungen lösen, Systeme von Gleichungen und Ungleichungen.


Home Page - Online-Rechner - Trigonometrie - Antennen - Graphing - Precalculus Tutorials - Tutorials Calculus
Calculus Fragen - Geometrie Tutorials - Precalculus Applets - Angewandte Mathematik - Vorkurs Fragen und Probleme --
Gleichungen, Systeme und Ungleichheit - Geometrie-Rechner - Math Software - Elementare Statistik --
Autor - e-mail

Aktualisiert: 25. November 2007 (A Dendane)