Dreieck in einen Kreis einbeschrieben – Aufgabe mit Lösung

Da \(O\) auf \(AC\) liegt, ist \(AC\) ein Durchmesser des Kreises. Nach dem Satz des Thales hat das Dreieck \(ABC\) einen rechten Winkel bei \(B\).

Sei:

• \(A_t\) = Fläche des Dreiecks \(ABC\)
• \(A_s\) = Fläche des schraffierten Bereichs

Wir fordern \(A_s = 2 A_t\).

Die kombinierte Fläche von Dreieck und schraffiertem Bereich entspricht der halben Kreisfläche: \[ A_t + A_s = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (10)^2 = 50\pi. \] Einsetzen von \(A_s = 2A_t\): \[ A_t + 2A_t = 50\pi \quad \Rightarrow \quad 3A_t = 50\pi \quad \Rightarrow \quad A_t = \frac{50\pi}{3}. \]

Mit dem Winkel \(A\) (innen im Dreieck): \[ \sin A = \frac{CB}{AC} = \frac{CB}{20} \quad \Rightarrow \quad CB = 20 \sin A, \] \[ \cos A = \frac{AB}{AC} = \frac{AB}{20} \quad \Rightarrow \quad AB = 20 \cos A. \] Die Fläche \(A_t\) kann auch ausgedrückt werden als: \[ A_t = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CB = \frac{1}{2} (20 \cos A)(20 \sin A) = 200 \cos A \sin A. \] Mit der Identität \(\sin 2A = 2 \sin A \cos A\): \[ A_t = 100 \sin 2A. \] Gleichsetzen mit dem früheren Ausdruck: \[ 100 \sin 2A = \frac{50\pi}{3} \quad \Rightarrow \quad \sin 2A = \frac{\pi}{6} \approx 0{,}5236. \]

Auflösen nach \(2A\): \[ 2A = \arcsin(0{,}5236) \approx 31{,}6^\circ \quad \text{oder} \quad 2A = 180^\circ - 31{,}6^\circ = 148{,}4^\circ. \] Somit: \[ A \approx 15{,}8^\circ \quad \text{oder} \quad A \approx 74{,}2^\circ. \]

Erste Lösung (\(A \approx 15{,}8^\circ\)): \[ AB = 20 \cos 15{,}8^\circ \approx 19{,}24 \text{ cm}, \quad CB = 20 \sin 15{,}8^\circ \approx 5{,}45 \text{ cm}. \] Zweite Lösung (\(A \approx 74{,}2^\circ\)): \[ AB = 20 \cos 74{,}2^\circ \approx 5{,}45 \text{ cm}, \quad CB = 20 \sin 74{,}2^\circ \approx 19{,}24 \text{ cm}. \] Die beiden Lösungen entsprechen zwei kongruenten rechtwinkligen Dreiecken (die Rollen von \(AB\) und \(CB\) sind vertauscht).