Online-Rechner, um herauszufinden, ob drei gegebene Linien \( L_1 \), \( L_2 \) und \( L_3 \) sind gleichzeitig, d. h. sie verlaufen alle durch denselben Punkt.
Finden Sie, falls vorhanden, den Schnittpunkt dreier Geraden.
Die drei Geraden seien durch die Gleichungen gegeben:
\( L_1: \quad a_1 x + b_1 y = c_1 \)
\( L_2: \quad a_2 x + b_2 y = c_2 \)
\( L_3: \quad a_3 x + b_3 y = c_3 \)
Finden Sie ggf. den Schnittpunkt der Geraden \( L_1 \) und \( L_2 \) durch das Lösen der
Gleichungssysteme , die diesen beiden Linien entsprechen.
\(\quad a_1 x + b_1 y = c_1 \)
\(\quad a_2 x + b_2 y = c_2 \)
Unter Verwendung der Cramer-Regel (Determinanten) werden \( x \) und \( y \) Koordinaten des Schnittpunkts der Geraden \( L_1 \) und \( L_2 \) sind gegeben durch:
\( x_0 = \dfrac{
\begin{vmatrix}
c_1 & b_1\\
c_2 & b_2
\end{vmatrix}
}{\begin{vmatrix}
a_1 & b_1\\
a_2 & b_2
\end{vmatrix}} \quad \) , \( \quad y_0 = \dfrac{\begin{vmatrix}
a_1 & c_1\\
a_2 & c_2
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
a_1 & b_1\\
a_2 & b_2
\end{vmatrix}} \)
Als nächstes müssen wir überprüfen, ob der Punkt \( x_0, y_0 \) auf der Linie \( L_3 \) liegt, indem wir überprüfen, ob die Gleichung \[ a_ 3 x_0 + b_ 3 y_0 = c_3 \] erfüllt ist.
Beispiel
Lassen Sie uns die drei durch die Gleichungen gegebenen Zeilen anzeigen: (Dies sind die Standardwerte, die im Rechner unten angezeigt werden, wenn Sie die Seite zum ersten Mal öffnen.)
\( L_1: \quad 2 x + y = -1 \)
\( L_2: \quad 3 x + 2 y = -1 \)
\( L_1: \quad -3 x + 4 y = 7 \)
Verwenden Sie die Cramer-Regel, um den Schnittpunkt der Linien \( L_1 \) und \( L_2 \) zu finden.
\( x_0 = \dfrac{
\begin{vmatrix}
-1 & 1\\
-1 & 2
\end{vmatrix}
}{\begin{vmatrix}
2 & 1\\
3 & 2
\end{vmatrix}} = -1 \quad \) , \( \quad y_0 = \dfrac{\begin{vmatrix}
2 & -1\\
3 & -1
\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}
2 & 1\\
3 & 2
\end{vmatrix}} = 1\)
Überprüfen Sie, ob \( L_3 \) durch den oben gefundenen Schnittpunkt \( (-1 , 1) \) verläuft, indem Sie \( x \) durch \( -1 \) und \( y \) durch \( 1 \) ersetzen ) in der Geradengleichung \( L_3 \)
\( -3 (x_0) + 4 (y_0) = -3 (-1) + 4 (1) = 7 \)
Daher sind die rechte und die linke Seite der Gleichung \( L_3 \) gleich und daher verlaufen die drei Geraden im Punkt \( (-1 , 1) \) gleichzeitig.
Überprüfen Sie analytisch und mit dem obigen Rechner, ob die folgenden Linien gleichzeitig sind, und ermitteln Sie ihre Schnittpunkte.
a)
\( L_1: \quad - 2 x + 7y = 11 \)
,
\( L_2: \quad 3 x + 7 y = 1 \)
,
\( L_3: \quad 6 x - y = -13\)
b)
\( L_1: \quad -7 x + y = -32 \)
,
\( L_2: \quad -2 x + y = -12 \)
,
\( L_3: \quad x - 7y =32\)
c)
\( L_1: \quad - x - 2y = 3 \)
,
\( L_2: \quad y = -2\)
,
\( L_3: \quad 3x - 4y = 11\)
