Rechteckabmessungen: Länge & Breite finden

Formeln und Lösungsmethode

Gegeben sind der Umfang \( P = 2L + 2W \) und die Fläche \( A = L \times W \) eines Rechtecks. Wir können seine Länge \(L\) und Breite \(W\) ermitteln.

Schritt-für-Schritt-Herleitung

1. Aus dem Umfang: \( \displaystyle L + W = \frac{P}{2} \)
2. Sei \( S = \frac{P}{2} \). Dann gilt \( W = S - L \).
3. Einsetzen in die Flächenformel: \( \displaystyle L \times (S - L) = A \)
4. Dies vereinfacht sich zur quadratischen Gleichung: \( \displaystyle L^2 - S\,L + A = 0 \)
5. Lösen nach \(L\) mit der Mitternachtsformel: \[ L = \frac{S \pm \sqrt{S^2 - 4A}}{2} \]
6. Die Breite ist dann \( W = S - L \). Die Diagonale wird mit dem Satz des Pythagoras ermittelt: \( d = \sqrt{L^2 + W^2} \).

Existenzbedingung

Ein Rechteck mit gegebenem Flächeninhalt \(A\) und Umfang \(P\) existiert nur dann, wenn die Diskriminante \( \; S^2 - 4A \; \) nicht-negativ ist: \[ \left(\frac{P}{2}\right)^2 - 4A \ge 0 \quad \text{oder äquivalent} \quad P^2 \ge 16A \]

Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, existiert kein reelles Rechteck mit diesen Abmessungen.

Beispiel

Für \(P = 14\) und \(A = 12\) (die Standardwerte):

• \(S = \frac{P}{2} = 7\)
• Diskriminante: \(7^2 - 4 \times 12 = 49 - 48 = 1\)
• \(\sqrt{\Delta} = 1\)
• Länge = \(\frac{7 + 1}{2} = 4\), Breite = \(\frac{7 - 1}{2} = 3\)
• Überprüfung: Umfang = \(2(4+3) = 14\) ✓, Fläche = \(4 \times 3 = 12\) ✓
• Diagonale = \(\sqrt{4^2 + 3^2} = 5\)

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