Dieser Rechner bestimmt den Prozentsatz der Erdoberfläche, der von einem Satelliten in einer bestimmten Höhe \( H \) (in km) und einem Elevationswinkel \( \gamma \) abgedeckt wird. Die Erde wird als Kugel mit einem Radius \( R = 6378 \) km modelliert. Die abgedeckte Fläche bildet eine Kugelkalotte.
In der folgenden Abbildung kann ein Satellit im Punkt \( S \) im Orbit um die Erde nur einen Teil der Erde abdecken, der die Form einer Kugelkalotte hat.
Die folgende Abbildung zeigt eine zweidimensionale Darstellung eines Satelliten in einer Höhe \( H \) über der Erdoberfläche. \( \alpha \) ist der halbe Winkel im Erdmittelpunkt zwischen der Senkrechten zum Satelliten und dem Radius zum Horizontpunkt. \( \gamma \) ist der vom Horizont aus gemessene Elevationswinkel des Satelliten.
Die Fläche einer Kugelkalotte ist gegeben durch:
\[ A_{cap} = 2\pi R h \]Das Verhältnis \( f \) der Kalottenfläche zur gesamten Erdoberfläche ist:
\[ f = \frac{2\pi R h}{4\pi R^2} = \frac{1}{2} \frac{h}{R} \]Aus der Geometrie folgt \( \cos(\alpha) = \dfrac{R-h}{R} = 1 - \dfrac{h}{R} \), daher:
\[ \frac{h}{R} = 1 - \cos(\alpha) \]Einsetzen in den Ausdruck für \( f \):
\[ f = \frac{1}{2} (1 - \cos(\alpha)) \quad \text{(I)} \]Aus dem Dreieck \( OAS \) erfüllen die Winkel:
\[ \alpha + \gamma + \theta + 90^{\circ} = 180^{\circ} \implies \theta = 90^{\circ} - \alpha - \gamma \]Mit dem Sinussatz im Dreieck \( OAS \):
\[ \frac{\sin(\gamma+90^{\circ})}{R+H} = \frac{\sin(\theta)}{R} \]Da \( \sin(\gamma+90^{\circ}) = \cos(\gamma) \) und \( \sin(\theta) = \sin(90^{\circ}-\alpha-\gamma) = \cos(\alpha+\gamma) \):
\[ \frac{\cos(\gamma)}{R+H} = \frac{\cos(\alpha+\gamma)}{R} \]Über Kreuz multiplizieren:
\[ R \cos(\gamma) = (R+H) \cos(\alpha+\gamma) \]Daher:
\[ \cos(\alpha+\gamma) = \frac{R}{R+H} \cos(\gamma) \]Den Arkuskosinus anwenden:
\[ \alpha + \gamma = \arccos\left(\frac{R}{R+H} \cos(\gamma)\right) \]Schließliches Auflösen nach \( \alpha \):
\[ \alpha = \arccos\left(\frac{R}{R+H} \cos(\gamma)\right) - \gamma \quad \text{(III)} \]Der Rechner verwendet die Formeln (I) und (III), um den Abdeckungsprozentsatz \( f \times 100\% \) und den halben Winkel \( \alpha \) im Erdmittelpunkt zu berechnen.
Geben Sie die Höhe H und den Elevationswinkel γ ein, um den Abdeckungsprozentsatz zu berechnen
| Satellitentyp | Höhe H (km) | Elevation γ | Erwartetes α | Berechnetes α | Erwartete Abdeckung f% | Berechnete Abdeckung f% |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Niedrige Erdumlaufbahn (LEO) | 500 | 0° | 20.1° | -- | 3.0% | -- |
| Niedrige Erdumlaufbahn (LEO) | 500 | 30° | 7.5° | -- | 0.4% | -- |
| Mittlere Erdumlaufbahn (MEO) | 20.000 | 0° | 76.0° | -- | 37.9% | -- |
| Geostationär (GEO) | 35.786 | 0° | 81.3° | -- | 42.4% | -- |
| Geostationär (GEO) | 35.786 | 30° | 52.5° | -- | 19.6% | -- |
| Sehr hohe Umlaufbahn | 100.000 | 0° | 86.6° | -- | 47.0% | -- |
Hinweis: Die "Erwarteten" Werte stammen von Referenzberechnungen mit denselben Formeln. Die "Berechneten" Spalten zeigen, was dieser Rechner ausgibt. Sie sollten eng übereinstimmen!
Volumen einer Kugelkalotte
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