Es wird ein Online-Rechner zur Berechnung des Prozentsatzes der von einem Satelliten abgedeckten Erdfläche (angenommen als Kugel) unter Berücksichtigung seiner Höhe und seines Höhenwinkels vorgestellt.
In der Abbildung unten kann ein Satellit am Punkt \( S \), der die Erde umkreist, nur einen Teil der Erde abdecken, der die Form einer Kugelkappe hat.
Die folgende Abbildung zeigt eine zweidimensionale Darstellung eines Satelliten in einer Höhe \( H \) über der Erdoberfläche. \( \theta \) ist der Erfassungswinkel und \( \gamma \) ist der Höhenwinkel des Satelliten, gemessen in Bezug auf die Tangente an die Erde.
Die Fläche der Kugelkappe ist gegeben durch
\[ \displaystyle \text{A}_{cap} = 2\pi R h \]
Das Verhältnis \( f \) der \( \displaystyle \text{A}_{cap} \) und der Gesamtfläche der Erde ist gegeben durch
\[ f = \dfrac{2\pi R h}{4 \pi R^2} = \dfrac{1}{2} \dfrac{h}{R} \]
Dabei ist \( R \approx 6378 \) km der Radius der Erde und \( h \) die Höhe der Kugelkappe (in Rot).
\( \quad \cos(\alpha) = \dfrac{\overline{OD}}{\overline{OA}} = \dfrac{R-h}{R} = 1 - \dfrac{h}{R} \)
daher
\( \quad \dfrac{h}{R} = 1 - \cos(\alpha) \)
Ersetzen Sie \( \dfrac{h}{R} \) in der Formel für \( f \) oben, um zu erhalten
\[ f = \dfrac{1}{2} (1 - \cos(\alpha)) \quad \quad (I)\]
Wir müssen jetzt \( \alpha \) finden
\( \quad \alpha + \gamma + \theta + 90^{\circ} = 180^{\circ} \)
Verwenden Sie zum Schreiben das Sinusgesetz im Dreieck \( OAS \).
\( \quad \dfrac{\sin(\gamma+90^{\circ})}{ \overline{OS} } = \dfrac{\sin(\theta)}{ \overline{OA}} \quad \quad (II) \)
Beachten Sie, dass
\( \quad \sin(\gamma+90^{\circ}) = \cos(\gamma) \)
\( \quad \theta = 90^{\circ}-\alpha - \gamma \)
\( \quad \sin(\theta) = \sin(90^{\circ}-\alpha - \gamma ) = \cos(\alpha + \gamma) \)
\( \quad \overline{OS} = H + R \)
\( \quad \overline{OA} = R \)
Setzen Sie Gleichung (II) ein und schreiben Sie sie um als
\( \quad \dfrac{\cos(\gamma)}{ H+R } = \dfrac{\cos(\alpha + \gamma)}{ \overline{R}} \)
Verwenden Sie zum Erhalten das Kreuzprodukt
\( \quad \cos(\alpha + \gamma) = \dfrac{R}{H+R} \cos(\gamma) \)
Nimm \( arccos \) von beiden Seiten
\( \quad \alpha + \gamma = \arccos (\dfrac{R}{H+R} \cos(\gamma)) \)
\[ \alpha = \arccos (\dfrac{R}{H+R} \cos(\gamma)) - \gamma \quad \quad (III) \]
Dieser Rechner verwendet die Formeln \( I \) und \( III \), um den Prozentsatz \( f \) der vom Satelliten abgedeckten Erdfläche in einer Höhe \( H \) und einem Elevationswinkel \( \gamma \).
Geben Sie die Höhe \( H \) des Satelliten als positive reelle Zahl ein. Geben Sie den Höhenwinkel \( \gamma \) ein, dessen Wert im Bereich \( [0 \; , \; 90^{\circ}] \) liegt, und drücken Sie "Calculate".
Die Ausgabe ist der Prozentsatz der Erdoberfläche, der vom Satelliten abgedeckt wird.
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