Verständnis des Linienschnittpunkts im 3D-Raum
Im 3D-Raum können sich zwei Linien schneiden (sich in einem einzigen Punkt treffen), parallel sein (kein Schnittpunkt) oder windschief sein (nicht parallel und treffen sich nie).
Wir präsentieren einen Rechner und einen Schritt-für-Schritt-Löser, um Schnittpunkte zweier Linien im 3D-Raum zu finden, falls vorhanden.
Linie durch zwei Punkte:
$$L_1: \vec{r_1}(t) = \langle x_A, y_A, z_A \rangle + t\,\langle x_B-x_A, y_B-y_A, z_B-z_A \rangle$$
$$L_2: \vec{r_2}(s) = \langle x_C, y_C, z_C \rangle + s\,\langle x_D-x_C, y_D-y_C, z_D-z_C \rangle$$
Parameterform:
$$L_1: \begin{cases} x = x_1 + t\,a_1 \\ y = y_1 + t\,b_1 \\ z = z_1 + t\,c_1 \end{cases}$$
$$L_2: \begin{cases} x = x_2 + s\,a_2 \\ y = y_2 + s\,b_2 \\ z = z_2 + s\,c_2 \end{cases}$$
Um den Schnittpunkt zu finden: Lösen Sie das System:
$$\begin{cases}
x_A + t\,(x_B-x_A) = x_C + s\,(x_D-x_C) \\
y_A + t\,(y_B-y_A) = y_C + s\,(y_D-y_C) \\
z_A + t\,(z_B-z_A) = z_C + s\,(z_D-z_C)
\end{cases}$$
Wichtig: Lösen Sie zwei Gleichungen nach t und s auf und überprüfen Sie dann, ob sie die dritte Gleichung erfüllen. Wenn die dritte Gleichung erfüllt ist, schneiden sich die Linien. Wenn nicht, sind sie windschief. Wenn die Richtungsvektoren parallel sind, sind die Linien entweder parallel oder identisch.