Die Vektoren \( \vec {AB} \) und \( \vec {AC} \) seien durch ihre Endpunkte wie folgt definiert:
\( \vec {AB} \; = \; \lt B_x - A_x , B_y - A_y , B_z - A_z \gt \)
\( \vec {AC} \; = \; \lt C_x - A_x , C_y - A_y , C_z - A_z \gt \)
Das Kreuzprodukt der Vektoren \( \vec {AB} \) und \( \vec {AC} \) ist orthogonal zu der Ebene, die durch die drei Punkte \( A \), \( B \) und \( C \)
Das Kreuzprodukt der Vektoren \( \vec {AB} \) und \( \vec {AC} \) ist gegeben durch
\( \vec{AB} \times \vec{AC} \; = \; \lt AB_y \cdot AC_z - AB_z \cdot AC_y , AB_z \cdot AC_x - AB_x \cdot AC_z , AB_x \cdot AC_y-AB_y \cdot AC_x \gt \)
Sei \( M \) ein beliebiger Punkt auf der Ebene, der durch seine Koordinaten wie folgt definiert wird
\( M \; = \; ( x , y , z ) \)
Der Vektor \( \vec {AM} \) sei definiert durch
\( \vec {AM} \; = \; \lt x - A_x, y -A_y , z - A_z \gt \)
Damit ein Punkt \( M = (x,y,z) \) auf der Ebene liegt, die durch die drei Punkte \( A \), \( B \) und \( C \) definiert wird, müssen wir den Punkt haben Produkt der Vektoren \( \vec {AM} \) und \( \vec{AB} \times \vec{AC} \) gleich Null. Daher die Gleichung der Ebene:
\( \vec {AM} \cdot (\vec{AB} \times \vec{AC}) = 0 \)
Ersetzen Sie die Komponenten und schreiben Sie die obige Gleichung um als
\( (x - A_x) \cdot (AB_y \cdot AC_z - AB_z \cdot AC_y) + (y -A_y) \cdot (AB_z \cdot AC_x - AB_x \cdot AC_z) + (z - A_z) \cdot (AB_x \cdot AC_y-AB_y \cdot AC_x) = 0 \)
sei
\( a \; = \; (AB_y \cdot AC_z - AB_z \cdot AC_y) \)
\( b \; = \; (AB_z \cdot AC_x - AB_x \cdot AC_z) \)
\( c \; = \; (AB_x \cdot AC_y-AB_y \cdot AC_x) \)
\( d \; = \; - A_x \cdot a - A_y \cdot b - A_z \cdot c \)
Schreiben Sie die Gleichung der Ebene um als:
\( a x + by + cz + d = 0 \)
