Geometrie des Torus
Ein Torus (Ring) wird durch Rotation eines kleinen Kreises mit Durchmesser \( d \) entlang eines großen Kreises mit Radius \( R \) (Abstand von der Röhrenmitte zur Torusmitte) erzeugt.
Aus dem Diagramm: \( r_2 = R + d/2 \), \( r_1 = R - d/2 \). Addition ergibt \( r_1 + r_2 = 2R \), Subtraktion ergibt \( r_2 - r_1 = d \).
Stellen Sie sich vor, Sie schneiden den Torus auf und rollen ihn zu einem Zylinder ab (Abbildung 3). Der Zylinder hat den Durchmesser \( d = r_2 - r_1 \) und die Länge entspricht dem Umfang des großen Kreises: \( 2\pi R = \pi (r_1 + r_2) \).
Volumenformel
Volumen des Zylinders = Grundfläche × Höhe = \( \pi (d/2)^2 \times (2\pi R) \). Ersetzen Sie \( d = r_2 - r_1 \) und \( R = (r_1+r_2)/2 \):
\[ V = \pi \left( \frac{r_2 - r_1}{2} \right)^2 \times 2\pi \left( \frac{r_1 + r_2}{2} \right) = \frac{1}{4}\pi^2 (r_2 - r_1)^2 (r_1 + r_2) \]Mantelfläche
Mantelfläche des Zylinders = Umfang der Grundfläche × Höhe = \( (\pi d) \times (2\pi R) \). Ersetzen Sie \( d \) und \( R \):
\[ A_L = \pi (r_2 - r_1) \times \pi (r_1 + r_2) = \pi^2 (r_2 - r_1)(r_1 + r_2) \]
✅ Im Rechner verwendete endgültige Formeln ✅
\( V = \frac{\pi^2}{4}(r_2-r_1)^2(r_1+r_2) \) | \( A_L = \pi^2 (r_2^2-r_1^2) \)