In diesem Tutorial wird erklärt, wie man lineare Differentialgleichungen erster Ordnung mit der Methode des integrierenden Faktors löst. Sie finden eine klare Herleitung der Formel, gefolgt von vollständig ausgearbeiteten Beispielen und Übungsaufgaben mit Lösungen.
Eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung hat die Form
\[ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \]wobei \(P(x)\) und \(Q(x)\) bekannte Funktionen von \(x\) sind.
Multiplizieren Sie beide Seiten mit einer unbekannten Funktion \(u(x)\):
\[ u(x)\frac{dy}{dx}+u(x)P(x)y=u(x)Q(x) \]Wir möchten, dass die linke Seite die Ableitung eines Produkts wird. Mit der Produktregel:
\[ \frac{d(uy)}{dx}=y\frac{du}{dx}+u\frac{dy}{dx} \]Damit dies mit dem vorherigen Ausdruck übereinstimmt, benötigen wir
\[ y\frac{du}{dx}=uP(x)y \]Teilen durch \(y\):
\[ \frac{du}{dx}=uP(x) \]oder
\[ \frac{1}{u}\frac{du}{dx}=P(x) \]Integrieren:
\[ \ln u=\int P(x)\,dx \]Daher ist der integrierende Faktor
\[ u(x)=e^{\int P(x)\,dx} \]Das Multiplizieren der ursprünglichen Gleichung mit diesem Faktor ergibt
\[ \frac{d(uy)}{dx}=u(x)Q(x) \]Beide Seiten integrieren:
\[ u(x)y=\int u(x)Q(x)\,dx \]Schließlich,
\[ y=\frac{1}{u(x)}\int u(x)Q(x)\,dx \]Lösen Sie:
\[ \frac{dy}{dx}-2xy=x \]Hier \(P(x)=-2x\), \(Q(x)=x\).
\[ u(x)=e^{\int -2x\,dx}=e^{-x^2} \] \[ e^{-x^2}y=\int xe^{-x^2}\,dx \] \[ e^{-x^2}y=-\frac12 e^{-x^2}+C \] \[ y=Ce^{x^2}-\frac12 \]Lösen Sie für \(x>0\):
\[ \frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=-2 \] \[ u(x)=e^{\int \frac1x dx}=x \] \[ xy=\int -2x\,dx=-x^2+C \] \[ y=\frac{C}{x}-x \]Teilen durch \(x\):
\[ \frac{dy}{dx}+\frac{y}{x}=-x^2 \] \[ u(x)=x \] \[ xy=\int -x^3\,dx=-\frac{x^4}{4}+C \] \[ y=\frac{C}{x}-\frac{x^3}{4} \]Lösen Sie:
1. \(\dfrac{dy}{dx}+y=2x+5\)
2. \(\dfrac{dy}{dx}+y=x^4\)
1. \(y=2x+3+Ce^{-x}\)
2. \(y=x^4-4x^3+12x^2-24x+24+Ce^{-x}\)
Weitere Tutorials zu Differentialgleichungen
Runge-Kutta-Methode
Tipp: Die Methode des integrierenden Faktors ist grundlegend in der Analysis und tritt häufig in der Physik, den Ingenieurwissenschaften und der angewandten Mathematik auf.