Dieses Tutorial erklärt, wie man lineare Differentialgleichungen erster Ordnung mithilfe der Methode des integrierenden Faktors löst. Sie finden hier eine klare Herleitung der Formel, gefolgt von vollständig durchgerechneten Beispielen und Übungsaufgaben mit Antworten.
Allgemeine Form
Eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung hat die Form:
\[ \frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x) \]wobei \( P(x) \) und \( Q(x) \) bekannte Funktionen von \( x \) sind.
Herleitung des integrierenden Faktors
Multiplizieren Sie beide Seiten mit einer unbekannten Funktion \( u(x) \):
\[ u(x)\frac{dy}{dx} + u(x)P(x)y = u(x)Q(x) \]Wir möchten, dass die linke Seite zur Ableitung eines Produkts wird. Unter Verwendung der Produktregel:
\[ \frac{d(uy)}{dx} = y\frac{du}{dx} + u\frac{dy}{dx} \]Damit dies mit dem vorherigen Ausdruck übereinstimmt, fordern wir:
\[ y\frac{du}{dx} = uP(x)y \]Division durch \( y \):
\[ \frac{du}{dx} = uP(x) \]oder
\[ \frac{1}{u}\frac{du}{dx} = P(x) \]Integration:
\[ \ln u = \int P(x)\,dx \]Daher ist der integrierende Faktor:
Die Multiplikation der ursprünglichen Gleichung mit diesem Faktor ergibt:
\[ \frac{d(uy)}{dx} = u(x)Q(x) \]Integration beider Seiten:
\[ u(x)y = \int u(x)Q(x)\,dx \]Schließlich:
Durchgerechnete Beispiele
Schritt-für-Schritt gelöste Beispiele
Beispiel 1
Lösen Sie:
\[ \frac{dy}{dx} - 2xy = x \]Hier ist \( P(x) = -2x \), \( Q(x) = x \).
\[ u(x) = e^{\int -2x\,dx} = e^{-x^2} \] \[ e^{-x^2}y = \int xe^{-x^2}\,dx \] \[ e^{-x^2}y = -\frac{1}{2} e^{-x^2} + C \] \[ y = Ce^{x^2} - \frac{1}{2} \]Beispiel 2
Lösen Sie für \( x > 0 \):
\[ \frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = -2 \] \[ u(x) = e^{\int \frac{1}{x} dx} = x \] \[ xy = \int -2x\,dx = -x^2 + C \] \[ y = \frac{C}{x} - x \]Beispiel 3
\[ x\frac{dy}{dx} + y = -x^3,\quad x > 0 \]Division durch \( x \):
\[ \frac{dy}{dx} + \frac{y}{x} = -x^2 \] \[ u(x) = x \] \[ xy = \int -x^3\,dx = -\frac{x^4}{4} + C \] \[ y = \frac{C}{x} - \frac{x^3}{4} \]Übungen und Antworten
Übungsaufgaben & Lösungen
Lösen Sie:
- \(\dfrac{dy}{dx} + y = 2x + 5\)
- \(\dfrac{dy}{dx} + y = x^4\)
Antworten:
- \( y = 2x + 3 + Ce^{-x} \)
- \( y = x^4 - 4x^3 + 12x^2 - 24x + 24 + Ce^{-x} \)
Weiterführende Literatur
Tipp: Die Methode des integrierenden Faktors ist in der Analysis von grundlegender Bedeutung und kommt häufig in der Physik, den Ingenieurwissenschaften und der angewandten Mathematik vor.