Eine Differentialgleichung ist eine Gleichung, die eine unbekannte Funktion und eine oder mehrere ihrer Ableitungen enthält. Wenn \( y = f(x) \), können Ausdrücke wie \( y' \), \( y'' \) oder höhere Ableitungen in der Gleichung vorkommen.
Ordnung einer Differentialgleichung
Die Ordnung einer Differentialgleichung ist als die Ordnung der höchsten in der Gleichung vorkommenden Ableitung definiert.
Beispiele: Bestimmung der Ordnung
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\( y' = 3x \)
Die höchste Ableitung ist \( y' \). Daher handelt es sich um eine Differentialgleichung erster Ordnung. -
\( y'' + y' + y = 3x \)
Die höchste Ableitung ist \( y'' \). Daher handelt es sich um eine Differentialgleichung zweiter Ordnung. -
\( -2y''' + y'' + y^4 = 3x \)
Die höchste Ableitung ist \( y''' \). Daher handelt es sich um eine Differentialgleichung dritter Ordnung.
Verifizieren einer Lösung
Eine Funktion \( y = f(x) \) wird als Lösung einer Differentialgleichung bezeichnet, wenn nach dem Einsetzen von \( y \) und ihren Ableitungen in die Gleichung beide Seiten gleich werden.
Beispiel: Verifizieren einer Lösung
Verifizieren Sie, dass \( y = Ce^{4x} + e^{3x} \) eine Lösung der Differentialgleichung ist:
\[ y' - 4y = -e^{3x} \]Berechnen Sie zuerst die Ableitung:
\[ y' = 4Ce^{4x} + 3e^{3x} \]Setzen Sie \( y \) und \( y' \) in die linke Seite ein:
\[ \begin{aligned} y' - 4y &= 4Ce^{4x} + 3e^{3x} - 4(Ce^{4x} + e^{3x}) \\ &= 4Ce^{4x} + 3e^{3x} - 4Ce^{4x} - 4e^{3x} \\ &= e^{3x}(3 - 4) \\ &= -e^{3x} \end{aligned} \]Dies stimmt mit der rechten Seite der Differentialgleichung überein. Daher ist \( y = Ce^{4x} + e^{3x} \) tatsächlich eine Lösung.
Lösen einer einfachen Differentialgleichung
Die meisten Anwendungen von Differentialgleichungen beinhalten das Finden der unbekannten Funktion.
Beispiel: Finden der allgemeinen Lösung
Lösen Sie:
\[ y' = 2x \]Integrieren Sie beide Seiten:
\[ \int y' \, dx = \int 2x \, dx \]Dies ergibt:
\[ y + C_1 = x^2 + C_2 \]Zusammenfassen der Konstanten:
\[ y = x^2 + C \]wobei \( C = C_2 - C_1 \) eine arbiträre Konstante ist.