Dieses Tutorial erklärt, wie man homogene lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten löst, wenn die charakteristische (Hilfs-)Gleichung zwei verschiedene reelle Wurzeln hat. Schritt-für-Schritt-Beispiele und Übungen sind enthalten.
Allgemeine Methode
Betrachten Sie die Differentialgleichung:
\[ y'' + ay' + by = 0 \]Wir bilden die charakteristische (Hilfs-)Gleichung:
\[ k^2 + ak + b = 0 \]Wenn diese quadratische Gleichung zwei verschiedene reelle Wurzeln \( k_1 \neq k_2 \) hat, lautet die allgemeine Lösung:
wobei \( A \) und \( B \) willkürliche Konstanten sind.
Durchgerechnete Beispiele
Schritt-für-Schritt gelöste Beispiele
Beispiel 1
Lösen Sie:
\[ y'' + 2y' - 3y = 0 \]Lösung:
Die Hilfsgleichung lautet:
\[ k^2 + 2k - 3 = 0 \]Faktorisieren:
\[ (k + 3)(k - 1) = 0 \]Wurzeln:
\[ k_1 = -3, \quad k_2 = 1 \]Allgemeine Lösung:
\[ y = Ae^{-3x} + Be^{x} \]Beispiel 2 (Mit Anfangsbedingungen)
Lösen Sie:
\[ y'' + 3y' - 10y = 0 \]unter den Anfangsbedingungen:
\[ y(0) = 1, \quad y'(0) = 0 \]Lösung:
Hilfsgleichung:
\[ k^2 + 3k - 10 = 0 \implies (k + 5)(k - 2) = 0 \]Wurzeln:
\[ k_1 = 2, \quad k_2 = -5 \]Allgemeine Lösung:
\[ y = Ae^{2x} + Be^{-5x} \]Wenden Sie die Anfangsbedingungen an, um \( A \) und \( B \) zu finden:
1) \( y(0) = A e^0 + B e^0 = A + B = 1 \)
Berechnen Sie die Ableitung \( y'(x) = 2Ae^{2x} - 5Be^{-5x} \):
2) \( y'(0) = 2A - 5B = 0 \)
Das Lösen des Gleichungssystems ergibt:
\[ A = \frac{5}{7}, \quad B = \frac{2}{7} \]Endgültige Lösung:
\[ y = \frac{5}{7}e^{2x} + \frac{2}{7}e^{-5x} \]Übungsaufgaben und Antworten
Übungsaufgaben & Lösungen
Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen:
- \( y'' + 5y' - 6y = 0 \)
- \( y'' + y' - 2y = 0 \), mit \( y(0) = 2 \), \( y'(0) = 0 \)
Antworten:
- \( y = Ae^{x} + Be^{-6x} \)
- \( y = \dfrac{4}{3}e^{x} + \dfrac{2}{3}e^{-2x} \)