In diesem Tutorial wird erklärt, wie man homogene lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten löst, wenn die charakteristische (Hilfs-)Gleichung zwei verschiedene reelle Wurzeln hat. Schritt-für-Schritt-Beispiele und Übungen sind enthalten.
Betrachten Sie die Differentialgleichung
\[ y'' + a y' + b y = 0 \]Wir bilden die charakteristische (Hilfs-)Gleichung
\[ k^2 + a k + b = 0 \]Wenn diese quadratische Gleichung zwei verschiedene reelle Wurzeln \( k_1 \neq k_2 \) hat, dann lautet die allgemeine Lösung
\[ y = A e^{k_1 x} + B e^{k_2 x} \]wobei \( A \) und \( B \) Konstanten sind.
Lösen Sie:
\[ y'' + 2y' - 3y = 0 \]Die Hilfsgleichung lautet
\[ k^2 + 2k - 3 = 0 \]Faktorisieren:
\[ (k+3)(k-1)=0 \]Wurzeln:
\[ k_1=-3,\quad k_2=1 \]Allgemeine Lösung:
\[ y = A e^{-3x} + B e^{x} \]Lösen Sie:
\[ y'' + 3y' - 10y = 0 \]mit
\[ y(0)=1,\quad y'(0)=0 \]Hilfsgleichung:
\[ k^2+3k-10=0 \]Wurzeln:
\[ k_1=2,\quad k_2=-5 \]Allgemeine Lösung:
\[ y=Ae^{2x}+Be^{-5x} \]Anfangsbedingungen anwenden:
\[ A+B=1 \] \[ 2A-5B=0 \]Auflösen ergibt:
\[ A=\frac{5}{7},\quad B=\frac{2}{7} \]Endgültige Lösung:
\[ y=\frac{5}{7}e^{2x}+\frac{2}{7}e^{-5x} \]