Finden Sie die erste Ableitung von \( y = u^v \) unter Angabe aller Schritte.
Ableitung von \( u^v \)
Hinweis: Im Allgemeinen ist eine Funktion der Form \( y = u^v \), bei der \( u \) und \( v \) Funktionen sind, weder eine Potenzfunktion der Form \( x^k \) noch eine Exponentialfunktion der Form \( b^x \), und daher können die gängigen Ableitungsformeln der Differentiation nicht direkt angewendet werden. Hier schlagen wir eine Methode vor, um die erste Ableitung einer Funktion der Form \( y = u^v \) zu finden, bei der \( u \) und \( v \) Funktionen sind, deren Ableitungen existieren.
Gegeben:
\[ y = u^v \]Nehmen Sie den natürlichen Logarithmus (\( \ln \)) von beiden Seiten:
\[ \ln y = \ln (u^v) \]Wenden Sie die Eigenschaft logarithmischer Funktionen \( \ln(u^v) = v \ln u \) auf der rechten Seite an:
\[ \ln y = v \ln u \]Differenzieren Sie beide Seiten nach \( x \) unter Verwendung der Kettenregel und der Produktregel:
\[ \dfrac{dy}{dx} \dfrac{1}{y} = \dfrac{dv}{dx} \ln u + v \dfrac{du}{dx} \dfrac{1}{u} \]Multiplizieren Sie beide Seiten mit \( y \):
\[ \dfrac{dy}{dx} = y \left( \dfrac{dv}{dx} \ln u + v \dfrac{du}{dx} \dfrac{1}{u} \right) \]Ersetzen Sie \( y \) wieder durch \( u^v \), um die endgültige Formel zu erhalten:
Übungen und Antworten
Übungsaufgaben & Lösungen
Finden Sie die erste Ableitung von:
- \( y = (x+3)^{x - 2} \)
- \( y = (x^2+2)^{\ln x + 1} \)
Antworten zu obigen Übungen:
- \( \dfrac{dy}{dx} = (x+3)^{x - 2} \left( \ln (x+3) + \dfrac{x - 2}{x+3} \right) \)
- \( \dfrac{dy}{dx} = (x^2+2)^{\ln x + 1} \left( \dfrac{1}{x} \ln (x^2+2) + (\ln x + 1) \dfrac{2x}{x^2+2} \right) \)