Finden Sie die erste Ableitung von \( y = u^v \) mit allen Zwischenschritten.
Hinweis: Im Allgemeinen ist eine Funktion der Form \( y = u^v \), wobei \( u \) und \( v \) Funktionen sind, weder eine Potenzfunktion der Form \( x^k \) noch eine Exponentialfunktion der Form \( b^x \). Daher können die üblichen Formeln der
Differentiation möglicherweise nicht angewendet werden. Hier schlagen wir eine Methode vor, um die erste Ableitung einer Funktion der Form \( y = u^v \) zu finden, wobei \( u \) und \( v \) Funktionen sind, deren Ableitungen existieren.
Gegeben sei \[ y = u^v \]
Bilden Sie den natürlichen Logarithmus \( \ln \) auf beiden Seiten der obigen Gleichung
\[ \ln y = \ln (u^v) \]
Wenden Sie die Eigenschaften der Logarithmusfunktionen \( \ln u^v = v \ln u \; \) auf die rechte Seite der obigen Gleichung an und erhalten Sie
\[ \ln y = v \ln u \]
Leiten Sie beide Seiten der obigen Gleichung nach \( x \) ab, unter Verwendung der Kettenregel und der Produktregel.
\[ \dfrac{dy}{dx} \dfrac{1}{y} = \dfrac{dv}{dx} \ln u + v \dfrac{du}{dx} \dfrac{1}{u} \]
Multiplizieren Sie beide Seiten mit \( y \)
\[ \dfrac{dy}{dx} = y \left( \dfrac{dv}{dx} \ln u + v \dfrac{du}{dx} \dfrac{1}{u} \right) \]
Ersetzen Sie \( y \) durch \( u^v \), um die endgültige Antwort zu erhalten
\[ \boxed {\dfrac{dy}{dx} = u^v \left( \dfrac{dv}{dx} \ln u + v \dfrac{du}{dx} \dfrac{1}{u} \right) } \]
Finden Sie die erste Ableitung von