Ein Analysis-Tutorial, wie man die erste Ableitung von \( f(x) = \arccos(\cos(x)) \) findet und \( f \) und \( f' \) für \( x \in \mathbb{R} \) zeichnet.
Da der Definitionsbereich von \( f \) \( \mathbb{R} \) ist und \( \cos(x) \) periodisch ist, ist \( f(x) = \arccos(\cos(x)) \) ebenfalls eine periodische Funktion.
Wenn \( x \) von \( 0 \) auf \( \pi \) ansteigt, fällt \( \cos(x) \) von \( 1 \) auf \( -1 \) und \( \arccos(\cos(x)) \) steigt von \( 0 \) auf \( \pi \). Tatsächlich gilt für \( x \in [0, \pi] \), dass \( \arccos(\cos(x)) = x \) ist. Wenn \( x \) von \( [\pi, 2\pi] \) ansteigt, steigt \( \cos(x) \) von \( -1 \) auf \( 1 \) und \( \arccos(\cos(x)) \) fällt von \( \pi \) auf \( 0 \).
Da \( \cos(x) \) eine Periode von \( 2\pi \) hat, hat \( \arccos(\cos(x)) \) ebenfalls eine Periode von \( 2\pi \). Die Grafik unten zeigt die Graphen von \( \arccos(\cos(x)) \) und \( \sin(x) \) von \( 0 \) bis \( 2\pi \).
Die Grafik unten zeigt die Graphen von \( \arccos(\cos(x)) \) und \( \cos(x) \) über 3 Perioden.
Definitionsbereich von \( f \): \( (-\infty, +\infty) \)
Wertebereich von \( f \): \( [0, \pi] \)
\( f(x) \) ist eine zusammengesetzte Funktion, und die Ableitung wird mit der Kettenregel wie folgt berechnet. Sei \( u = \cos(x) \), also \( f(x) = \arccos(u(x)) \).
Wenden Sie die Kettenregel der Differentiation an:
\[ f'(x) = \frac{du}{dx} \cdot \frac{d(\arccos(u))}{du} = (-\sin(x)) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}\right) \]
Setzen Sie \( u = \cos(x) \) ein: \[ f'(x) = \sin(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2(x)}} \]
Vereinfachen: \[ f'(x) = \frac{\sin(x)}{\sqrt{\sin^2(x)}} = \frac{\sin(x)}{|\sin(x)|} \]
Unten ist \( \arccos(\cos(x)) \) in rot und seine Ableitung in blau dargestellt. Beachten Sie, dass die Ableitung für Werte von \( x \), für die \( \sin(x) = 0 \) ist, also an den Stellen \( x = k\pi \), wobei \( k \) eine ganze Zahl ist, nicht definiert ist. Für diese gleichen \( x \)-Werte hat \( \arccos(\cos(x)) \) entweder einen Maximalwert von \( \pi \) oder einen Minimalwert von \( 0 \).
Beachten Sie, dass, obwohl \( \arccos(\cos(x)) \) für alle Werte von \( x \) stetig ist, seine Ableitung an der Stelle \( x = k\pi \) nicht definiert ist.
