Ein Analysis-Tutorial darüber, wie man die erste Ableitung von \( f(x) = \arctan(\tan(x)) \) findet und \( f \) sowie \( f' \) in seinem natürlichen Definitionsbereich grafisch darstellt.
Graphen von \( \tan(x) \) und \( \arctan(\tan(x)) \)
\( f(x) \) ist für alle Werte \( x \in \mathbb{R} \) definiert, außer für \( x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \), wobei \( k \) eine ganze Zahl ist.
Da \( \tan(x) \) periodisch ist, ist auch \( f(x) = \arctan(\tan(x)) \) eine periodische Funktion.
Wenn \( x \) von \( -\frac{\pi}{2} \) auf \( \frac{\pi}{2} \) (exklusive) ansteigt, steigt \( \tan(x) \) von sehr kleinen Werten (\(-\infty\)) auf sehr große Werte (\(+\infty\)), und \( \arctan(\tan(x)) \) steigt von \( -\frac{\pi}{2} \) auf \( \frac{\pi}{2} \) (exklusive), da \( \tan(x) \) bei \( -\frac{\pi}{2} \) und \( \frac{\pi}{2} \) undefiniert ist. Tatsächlich gilt für \( x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \): \( \arctan(\tan(x)) = x \).
Da \( \tan(x) \) eine Periode von \( \pi \) hat, hat auch \( \arctan(\tan(x)) \) eine Periode von \( \pi \). Die folgende Abbildung zeigt die Graphen von \( \arctan(\tan(x)) \) und \( \tan(x) \) von \( -\frac{\pi}{2} \) bis \( \frac{3\pi}{2} \).
Definitionsbereich von \( f \): \( \mathbb{R} - \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z} \right\} \)
Wertebereich von \( f \): \( \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \)
Die folgende Abbildung zeigt den Graphen von \( \arctan(\tan(x)) \) über drei Perioden.
Ableitung von \( f(x) = \arctan(\tan(x)) \) und ihr Graph
\( f(x) \) ist eine zusammengesetzte Funktion, und die Ableitung wird mithilfe der Kettenregel wie folgt berechnet:
Sei \( u = \tan(x) \), folglich \( f(x) = \arctan(u(x)) \).
Wenden Sie die Kettenregel der Differentiation an:
\[ f'(x) = \frac{du}{dx} \cdot \frac{d}{du}(\arctan(u)) = \frac{1}{\cos^2(x)} \cdot \frac{1}{u^2 + 1} \]Setzen Sie \( u = \tan(x) \) ein:
\[ f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} \cdot \frac{1}{\tan^2(x) + 1} \]Da \( 1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} \) ist:
Unten sind \( \arctan(\tan(x)) \) in Rot und seine Ableitung in Blau dargestellt. Beachten Sie, dass die Ableitung für Werte von \( x \), für die \( \cos(x) = 0 \) ist (also bei \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \), wobei \( k \) eine ganze Zahl ist), undefiniert ist. Auch \( f(x) \) selbst ist an diesen Punkten undefiniert.
