Ein Analysis-Tutorial, wie man die erste Ableitung von \( f(x) = \arctan(\tan(x)) \) findet und \( f \) und \( f' \) in ihrer natürlichen Definitionsmenge graphisch darstellt.
\( f(x) \) ist definiert für alle \( x \in \mathbb{R} \) außer \( x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \), wobei \( k \) eine ganze Zahl ist.
Da \( \tan(x) \) periodisch ist, ist \( f(x) = \arctan(\tan(x)) \) ebenfalls eine periodische Funktion.
Wenn \( x \) von \( -\frac{\pi}{2} \) auf \( \frac{\pi}{2} \) (ausschließlich) zunimmt, nimmt \( \tan(x) \) von sehr kleinen Werten (\(-\infty\)) auf sehr große Werte (\(+\infty\)) zu, und \( \arctan(\tan(x)) \) nimmt von \( -\frac{\pi}{2} \) auf \( \frac{\pi}{2} \) (ausschließlich) zu, da \( \tan(x) \) bei \( -\frac{\pi}{2} \) und \( \frac{\pi}{2} \) nicht definiert ist. Tatsächlich gilt für \( x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}) \), dass \( \arctan(\tan(x)) = x \) ist.
Da \( \tan(x) \) eine Periode von \( \pi \) hat, hat \( \arctan(\tan(x)) \) ebenfalls eine Periode von \( \pi \). Die folgende Grafik zeigt die Graphen von \( \arctan(\tan(x)) \) und \( \tan(x) \) von \( -\frac{\pi}{2} \) bis \( \frac{3\pi}{2} \).
Definitionsbereich von \( f \): \( \mathbb{R} - \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z} \right\} \)
Wertebereich von \( f \): \( \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \)
Die folgende Grafik zeigt die Graphen von \( \arctan(\tan(x)) \) über drei Perioden.
\( f(x) \) ist eine verkettete Funktion, und die Ableitung wird mit der Kettenregel wie folgt berechnet:
Sei \( u = \tan(x) \), also \( f(x) = \arctan(u(x)) \).
Wende die Kettenregel der Differentiation an:
\[ f'(x) = \frac{du}{dx} \cdot \frac{d}{du}(\arctan(u)) = \frac{1}{\cos^2(x)} \cdot \frac{1}{u^2 + 1} \]
Setze \( u = \tan(x) \) ein: \[ f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} \cdot \frac{1}{\tan^2(x) + 1} \]
Da \( 1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} \), \[ f'(x) = 1, \quad \text{für } x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi, \; k \in \mathbb{Z}. \]
Unten ist \( \arctan(\tan(x)) \) in rot und seine Ableitung in blau dargestellt. Beachten Sie, dass die Ableitung für Werte von \( x \), für die \( \cos(x) = 0 \) gilt, nicht definiert ist, das heißt, an den Stellen \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \), wobei \( k \) eine ganze Zahl ist. Auch \( f(x) \) selbst ist an denselben Stellen nicht definiert.
