Definition der ersten Ableitung
Verwenden Sie die Definition der Ableitung, um Funktionen zu differenzieren. Dieses Tutorial wird am besten verstanden, wenn es zusammen mit dem Differenzenquotienten verwendet wird.
Die Ableitung \( f' \) der Funktion \( f \) ist definiert als:
wenn dieser Grenzwert existiert. Um die Ableitung also aus ihrer Definition zu finden, müssen wir den Grenzwert des Differenzenquotienten bestimmen, während \( h \) gegen Null geht.
Beispiele mit detaillierten Lösungen
Beispiel 1
Verwenden Sie die Definition der Ableitung, um die Ableitung der Funktion \( f \) zu finden, die definiert ist durch:
\[ f(x) = mx + b \]wobei \( m \) und \( b \) Konstanten sind.
Lösung zu Beispiel 1
Wir müssen zuerst den Differenzenquotienten berechnen:
\[ \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{m(x+h) + b - (mx + b)}{h} \]Vereinfachen:
\[ = \dfrac{mh}{h} = m \]Die Ableitung \( f' \) ist gegeben durch den Grenzwert von \( m \) (was eine Konstante ist) für \( h \to 0 \). Daher:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} m = m \]Die Ableitung einer linearen Funktion \( f(x) = mx + b \) ist gleich der Steigung \( m \) ihres Graphen, der eine Gerade ist.
Beispiel 2
Verwenden Sie die Definition, um die Ableitung von Folgendem zu finden:
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \]Lösung zu Beispiel 2
Wir finden zuerst den Differenzenquotienten:
\[ \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{a(x + h)^2 + b(x + h) + c - (ax^2 + bx + c)}{h} \]Expandieren Sie die Ausdrücke im Zähler und fassen Sie gleichartige Terme zusammen:
\[ = \dfrac{ax^2 + 2axh + ah^2 + bx + bh + c - ax^2 - bx - c}{h} \]Vereinfachen:
\[ = \dfrac{2axh + bh + ah^2}{h} = 2ax + b + ah \]Die Ableitung von \( f(x) = ax^2 + bx + c \) ist durch den Grenzwert des Differenzenquotienten gegeben. Daher:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} (2ax + b + ah) = 2ax + b \]Beispiel 3
Finden Sie die Ableitung der durch Folgendes gegebenen Funktion \( f \) unter Verwendung der Definition:
\[ f(x) = \sin x \]Lösung zu Beispiel 3
Wir berechnen zuerst den Differenzenquotienten:
\[ \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{\sin(x + h) - \sin x}{h} \]Verwenden Sie die trigonometrische Formel, um eine Differenz \( \sin(x + h) - \sin x \) im Zähler in ein Produkt umzuwandeln:
\[ \dfrac{\sin(x + h) - \sin x}{h} = \dfrac{2 \cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{h} \]Schreiben Sie den obigen Differenzenquotienten wie folgt um:
\[ \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{\cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \]Die Ableitung ist durch den Grenzwert des Differenzenquotienten gegeben. Daher:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{\cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \]Verwenden Sie die Grenzwertsätze für das Produkt zweier Funktionen:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \times \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \]Die Grenzwerte im obigen Produkt sind gegeben durch:
\[ \lim_{h \to 0} \cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) = \cos\left(\frac{2x}{2}\right) = \cos x \]und
\[ \lim_{h \to 0} \dfrac{\sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(t)}{t} = 1 \]Die Ableitung von \( f(x) = \sin x \) ist daher:
\[ f'(x) = \cos x \times 1 = \cos x \]Beispiel 4
Verwenden Sie die Definition zur Differentiation von:
\[ f(x) = \sqrt{x} \]Lösung zu Beispiel 4
Der Differenzenquotient ist gegeben durch:
\[ \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \]Multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit \( \sqrt{x+h} + \sqrt{x} \), expandieren Sie, fassen Sie gleichartige Terme zusammen und vereinfachen Sie:
\[ = \dfrac{\sqrt{x+h} - \sqrt{x}}{h} \times \dfrac{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \dfrac{(\sqrt{x+h})^2 - (\sqrt{x})^2}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} \] \[ = \dfrac{(x+h) - x}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \dfrac{h}{h(\sqrt{x+h} + \sqrt{x})} = \dfrac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} \]Die Ableitung von \( f(x) = \sqrt{x} \) ist durch den Grenzwert des Differenzenquotienten gegeben. Daher:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{1}{\sqrt{x+h} + \sqrt{x}} = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \]Beispiel 5
Verwenden Sie die Definition zur Differentiation von:
\[ f(x) = \dfrac{1}{x} \]Lösung zu Beispiel 5
Der Differenzenquotient ist gegeben durch:
\[ \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \dfrac{\dfrac{1}{x+h} - \dfrac{1}{x}}{h} \]Bringen Sie die beiden rationalen Ausdrücke im Zähler auf denselben Nenner und schreiben Sie sie um:
\[ = \dfrac{\dfrac{x}{x(x+h)} - \dfrac{x+h}{x(x+h)}}{h} = \dfrac{\dfrac{x - (x+h)}{x(x+h)}}{h} \] \[ = \dfrac{-h}{x(x+h)h} = \dfrac{-1}{x(x+h)} \]Die Ableitung von \( f(x) = \dfrac{1}{x} \) ist durch den Grenzwert des Differenzenquotienten gegeben. Daher:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{-1}{x(x+h)} = -\dfrac{1}{x^2} \]