Beispiel 1
Verwenden Sie die Definition der Ableitung, um die Ableitung der durch definierten Funktion \( f \) zu finden
\[
f(x) = m x + b
\]
wobei \( m \) und \( b \) Konstanten sind.
Lösung zu Beispiel 1
Wir müssen zunächst den Differenzenquotienten berechnen.
\(
\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{m(x+h)+b -(mx+b)}{h}
\)
Vereinfachen
\(
= \dfrac{m h}{h} = m
\)
Die Ableitung \( f '\) ist durch den Grenzwert von \( m \) (der eine Konstante ist) als \( {h\to\ 0} \) gegeben. Somit
\(
f'(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}= \lim_{h\to\ 0} m = m
\)
Die Ableitung einer linearen Funktion \( f(x) = m x + b \) ist gleich der Steigung \( m \) ihres Graphen, der eine Gerade ist.
Beispiel 2
Verwenden Sie die Definition, um die Ableitung von zu finden
\[
f(x) = a x^2 + bx + c
\]
Lösung für Beispiel 2
Wir ermitteln zunächst den Differenzquotienten
\(
\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{a(x + h)^2 + b(x + h) + c - ( a x^2 + b x + c )}{h}
\)
Erweitern Sie die Ausdrücke im Zähler und gruppieren Sie ähnliche Begriffe.
\(
= \dfrac{a x^2 + 2 a x h + a h^2 + b x + b h + c - a x^2 - b x - c}{h}
\)
Vereinfachen.
\(
= \dfrac{2 a x h + b h + a h^2}{h} = 2 a x + b + a h
\)
Die Ableitung von \( f(x) = a x^2 + bx + c \) ist durch den Grenzwert des Differenzenquotienten gegeben. Somit
\(
f '(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to\ 0} (2 a x + b + a h) = 2 a x + b
\)
Beispiel 3
Finden Sie die Ableitung der Funktion f anhand der Definition von
\[ f(x) = \sin x\]
Lösung zu Beispiel 3
Wir berechnen zunächst den Differenzenquotienten
\(
\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{\sin (x + h) - \sin x }{h}
\)
Verwenden Sie die trigonometrische Formel, um eine Differenz sin (x + h) - sin x im Zähler in ein Produkt umzuwandeln.
\(
\dfrac{\sin (x + h) - \sin x }{h} = \dfrac{2 \cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)}{h}
\)
Schreiben Sie den obigen Differenzenquotienten wie folgt um.
\(
\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{\cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)}{h/2}
\)
Die Ableitung ergibt sich aus dem Grenzwert des Differenzenquotienten. Somit
\(
f '(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \\ = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{\cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)}{h/2}
\)
Verwenden Sie zum Schreiben die Sätze über den Grenzwert des Produkts zweier Funktionen
\(
f '(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)}{h/2} = \lim_{h\to\ 0} cos [ (2 x + h)/2 ] \times \lim_{h\to\ 0} \dfrac{\sin (h/2)}{h/2}
\)
Die Grenzwerte im oben genannten Produkt sind angegeben durch
\( \lim_{h\to\ 0} \cos [ (2 x + h)/2 ] = \cos (2 x / 2) = \cos x \)
Und
\( \lim_{h\to\ 0} \dfrac{\sin (h/2)}{h/2} = \lim_{t\to\ 0} \dfrac{\sin (t)}{t} = 1 \)
Die Ableitung von \( f(x) = \sin x \) ist durch den Grenzwert des Differenzenquotienten gegeben. Somit
\(
f '(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \cos x \times 1 = \cos x
\)
Beispiel 4
Nutzen Sie die Definition zur Differenzierung
\[ f(x) = \sqrt x \]
Beispiel 5
Nutzen Sie die Definition zur Differenzierung
\[ f(x) = \dfrac{1}{x} \]
Lösung zu Beispiel 5
Der Differenzenquotient ergibt sich aus
\(
\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{\dfrac{1}{x+h} - \dfrac{1}{x}}{h}
\)
Setzen Sie die beiden rationalen Ausdrücke im Zähler auf denselben Nenner und schreiben Sie das Obige um als.
\(
= \dfrac{\dfrac{x}{x(x+h)} - \dfrac{x+h}{x(x+h)}}{h}
\)
was vereinfacht.
\(
= \dfrac{x-(x+h)}{x(x+h)h}
\)
\(
= \dfrac{-1}{x(x+h)}
\)
Die Ableitung von \( f(x) = \dfrac{1}{x} \) ist durch den Grenzwert des Differenzenquotienten gegeben. Somit
\(
f '(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{-1}{x(x+h)} = -\dfrac{1}{x^2}
\)
