Beispiel 1
Verwenden Sie die Definition der Ableitung, um die Ableitung der Funktion \( f \) zu finden, definiert durch
\[
f(x) = m x + b
\]
wobei \( m \) und \( b \) Konstanten sind.
Lösung zu Beispiel 1
Wir müssen zuerst den Differenzenquotienten berechnen.
\[
\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{m(x+h)+b -(mx+b)}{h}
\]
Vereinfachen
\[
= \dfrac{m h}{h} = m
\]
Die Ableitung \( f '\) ist gegeben durch den Grenzwert von \( m \) (einer Konstanten), wenn \( {h\to\ 0} \). Daher
\[
f'(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h}= \lim_{h\to\ 0} m = m
\]
Die Ableitung einer linearen Funktion \( f(x) = m x + b \) ist gleich der Steigung \( m \) ihres Graphen, der eine Gerade ist.
Beispiel 2
Verwenden Sie die Definition, um die Ableitung von
\[
f(x) = a x^2 + bx + c
\]
zu finden.
Lösung zu Beispiel 2
Wir finden zuerst den Differenzenquotienten
\[
\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{a(x + h)^2 + b(x + h) + c - ( a x^2 + b x + c )}{h}
\]
Expandieren Sie die Ausdrücke im Zähler und fassen Sie gleichartige Terme zusammen.
\[
= \dfrac{a x^2 + 2 a x h + a h^2 + b x + b h + c - a x^2 - b x - c}{h}
\]
Vereinfachen.
\[
= \dfrac{2 a x h + b h + a h^2}{h} = 2 a x + b + a h
\]
Die Ableitung von \( f(x) = a x^2 + bx + c \) ist gegeben durch den Grenzwert des Differenzenquotienten. Daher
\[
f '(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to\ 0} (2 a x + b + a h) = 2 a x + b
\]
Beispiel 3
Finden Sie die Ableitung, unter Verwendung der Definition, der Funktion f gegeben durch
\[ f(x) = \sin x\]
Lösung zu Beispiel 3
Wir berechnen zuerst den Differenzenquotienten
\[
\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{\sin (x + h) - \sin x }{h}
\]
Verwenden Sie die trigonometrische Formel, um die Differenz sin (x + h) - sin x im Zähler in ein Produkt umzuwandeln.
\[
\dfrac{\sin (x + h) - \sin x }{h} = \dfrac{2 \cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)}{h}
\]
Schreiben Sie den obigen Differenzenquotienten wie folgt um.
\[
\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{\cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)}{h/2}
\]
Die Ableitung ist gegeben durch den Grenzwert des Differenzenquotienten. Daher
\[
f '(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{\cos [ (2 x + h)/2 ] \sin (h/2)}{h/2}
\]
Verwenden Sie die Theoreme des Grenzwerts des Produkts zweier Funktionen, um zu schreiben
\[
f '(x) = \lim_{h\to\ 0} \cos [ (2 x + h)/2 ] \times \lim_{h\to\ 0} \dfrac{\sin (h/2)}{h/2}
\]
Die Grenzwerte im obigen Produkt sind gegeben durch
\[ \lim_{h\to\ 0} \cos [ (2 x + h)/2 ] = \cos (2 x / 2) = \cos x \]
und
\[ \lim_{h\to\ 0} \dfrac{\sin (h/2)}{h/2} = \lim_{t\to\ 0} \dfrac{\sin (t)}{t} = 1 \]
Die Ableitung von \( f(x) = \sin x \) ist gegeben durch den Grenzwert des Differenzenquotienten. Daher
\[
f '(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \cos x \times 1 = \cos x
\]
Beispiel 4
Verwenden Sie die Definition, um abzuleiten
\[ f(x) = \sqrt x \]
Beispiel 5
Verwenden Sie die Definition, um abzuleiten
\[ f(x) = \dfrac{1}{x} \]
Lösung zu Beispiel 5
Der Differenzenquotient ist gegeben durch
\[
\dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \dfrac{\dfrac{1}{x+h} - \dfrac{1}{x}}{h}
\]
Bringen Sie die zwei rationalen Ausdrücke im Zähler auf den gleichen Nenner und schreiben Sie das Obige um als.
\[
= \dfrac{\dfrac{x}{x(x+h)} - \dfrac{x+h}{x(x+h)}}{h}
\]
was sich vereinfacht zu.
\[
= \dfrac{x-(x+h)}{x(x+h)h}
\]
\[
= \dfrac{-1}{x(x+h)}
\]
Die Ableitung von \( f(x) = \dfrac{1}{x} \) ist gegeben durch den Grenzwert des Differenzenquotienten. Daher
\[
f '(x) = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} = \lim_{h\to\ 0} \dfrac{-1}{x(x+h)} = -\dfrac{1}{x^2}
\]