Ableitung der Umkehrfunktion

Beispiele mit detaillierten Lösungen, wie man die Ableitung (Differentiation) einer Umkehrfunktion findet, werden vorgestellt. Ebenfalls enthalten sind weitere Übungen mit Antworten.

Formel für die Ableitung der Umkehrfunktion (Satz)

Es sei \( f \) eine Funktion und \( f^{-1} \) ihre Umkehrfunktion. Eine der Eigenschaften der Umkehrfunktion ist, dass \[ f(f^{-1}(x)) = x \] Es sei \( y = f^{-1}(x) \), so dass \[ f(y) = x \] Differenziere beide Seiten unter Verwendung der Kettenregel auf der linken Seite. \[ \dfrac{df}{dy} \dfrac{dy}{dx} = 1 \] Löse nach \( \dfrac{dy}{dx} \) auf \[ \boxed { \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{df^{-1}}{dx} = \dfrac{1}{ \dfrac{df}{dy}} } \] was auch geschrieben werden kann als \[ \boxed { \dfrac{df^{-1}}{dx} = \dfrac{1}{ f'(f^{-1}(x)) } } \] wobei \( f' \) die erste Ableitung von \( f \) ist.

Beispiel 1

Finde die Ableitung der Umkehrfunktion von \( f \), gegeben durch \[ f(x)= \dfrac{x}{2} - 1 \]

Lösung zu Beispiel 1

Wir stellen zwei Methoden zur Beantwortung der obigen Frage vor. In der ersten Methode berechnen wir die Umkehrfunktion und dann ihre Ableitung. In der zweiten Methode verwenden wir die oben entwickelte Formel.

Methode 1

Die erste Methode besteht darin, die Umkehrfunktion von \( f \) zu finden und sie abzuleiten. Um die Umkehrfunktion von \( f \) zu finden, schreiben wir sie zuerst als Gleichung \[ y = \dfrac{x}{2} - 1 \] Löse nach \( x \) auf. \[ x = 2 y + 2 \] Vertausche \( x \) und \( y \), um die Umkehrfunktion zu erhalten. \[ y = f^{-1} (x) = 2 x + 2 \] Dies ergibt die Umkehrfunktion von \( f \), deren Ableitung gegeben ist durch \[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac {df^{-1}}{dx} = 2 \]

Methode 2

Die zweite Methode beginnt mit einer der wichtigsten Eigenschaften von Umkehrfunktionen.
Gegeben \[ f(x)= \dfrac{x}{2} - 1 \] daher \[ f'(x) = \dfrac{1}{2} \]
Setze \( f' \) durch \( \dfrac{1}{2} \) in der Formel \( \dfrac{df^{-1}}{dx} = \dfrac{1}{ f'(f^{-1}(x)) } \) ein, um zu erhalten \[ \dfrac{df^{-1}}{dx} = \dfrac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \] Hinweis, dass die erste Methode nur angewendet werden kann, wenn wir die Umkehrfunktion explizit finden können.

Beispiel 2

Finde die Ableitung \( \dfrac{dy}{dx} \), wobei \( y = \arcsin x \).

Lösung zu Beispiel 2

\( \arcsin x \) ist die Umkehrfunktion von \( \sin x \) und daher
\[ \sin(\arcsin(x)) = x \qquad (I) \]
Gegeben \[ y = \arcsin x \]
Bilde den Sinus auf beiden Seiten des Obigen
\[ \sin y = \sin(\arcsin x ) \] Vereinfache unter Verwendung von (I) \[ \sin y = x \] Differenziere beide Seiten der obigen Gleichung nach \( x \) unter Verwendung der Kettenregel auf der linken Seite.
\[ \dfrac {dy}{dx} \cos y = 1 \] Löse nach \( \dfrac {dy}{dx} \) auf
\[ \dfrac {dy}{dx} = \dfrac{1}{\cos y} \] Setze \( y = \arcsin x \) in das Obige ein \[ \dfrac {dy}{dx} = \dfrac{1}{\cos (\arcsin x) } \qquad (II) \] Vereinfache \( \cos \arcsin x \) unter Verwendung der trigonometrischen Identität \( \cos x = \sqrt {1 - \sin^2 x} \), indem du schreibst \[ \cos (\arcsin x) = \sqrt {1 - \sin^2( \arcsin x)} \] Vereinfache unter Verwendung der Eigenschaft von Umkehrfunktionen: \( \sin (\arcsin x) = x \) was ergibt \[ \cos (\arcsin x) = \sqrt {1 - x^2} \] Setze in (II) oben ein, um die endgültige Antwort zu erhalten \[ \boxed { \dfrac {dy}{dx} = \dfrac{d(\arcsin(x)}{dx} = \dfrac{1}{ \sqrt {1 - x^2} } } \] Hinweis, dass das obige Ergebnis auch mit der obigen Formel (dem Satz) hätte erzielt werden können, aber hier haben wir gezeigt, wie man die Ableitung der Umkehrfunktion findet, ohne die Formel zu kennen.

Übungen

Finde die Ableitung der Umkehrfunktion für jede der unten angegebenen Funktionen.

\( f(x) = 3x - 4 \)
\( g(x) = \arccos x \)
\( h(x) = \arctan x \)

Antworten zu den obigen Übungen

\( (f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{3} \)
\( (g^{-1})'(x) = -\dfrac{1}{\sqrt {1-x^2}} \)
\( (h^{-1})'(x) = \dfrac{1}{\sqrt {1+x^2}} \)