Beispiele mit detaillierten Lösungen dazu, wie man die Ableitung (Differentiation) einer Umkehrfunktion findet, werden vorgestellt. Außerdem sind weitere Übungen mit Antworten enthalten.
Formel (Satz) für die Ableitung von Umkehrfunktionen
Sei \( f \) eine Funktion und \( f^{-1} \) ihre Umkehrfunktion. Eine der grundlegenden Eigenschaften von Umkehrfunktionen ist, dass:
\[ f(f^{-1}(x)) = x \]Sei \( y = f^{-1}(x) \), sodass:
\[ f(y) = x \]Differenzieren Sie beide Seiten unter Verwendung der Kettenregel auf der linken Seite:
\[ \dfrac{df}{dy} \dfrac{dy}{dx} = 1 \]Lösen Sie nach \( \dfrac{dy}{dx} \) auf:
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{df^{-1}}{dx} = \dfrac{1}{\dfrac{df}{dy}} \]was auch geschrieben werden kann als:
wobei \( f' \) die erste Ableitung von \( f \) ist.
Beispiele mit detaillierten Lösungen
Beispiel 1
Finden Sie die Ableitung der Umkehrfunktion von \( f \), gegeben durch:
\[ f(x) = \dfrac{x}{2} - 1 \]Lösung zu Beispiel 1 (Klicken, um Methoden anzuzeigen)
Wir stellen zwei Methoden vor, um die obige Frage zu beantworten. Bei der ersten Methode berechnen wir die Umkehrfunktion und danach deren Ableitung. Bei der zweiten Methode verwenden wir die oben hergeleitete Formel.
Methode 1: Explizite Umkehrfunktion
Die erste Methode besteht darin, die Umkehrfunktion der Funktion \( f \) zu finden und sie zu differenzieren. Um die Umkehrfunktion von \( f \) zu finden, schreiben wir sie zunächst als Gleichung:
\[ y = \dfrac{x}{2} - 1 \]Lösen Sie nach \( x \) auf:
\[ x = 2y + 2 \]Vertauschen Sie \( x \) und \( y \), um die Umkehrfunktion zu erhalten:
\[ y = f^{-1}(x) = 2x + 2 \]Die Ableitung der Umkehrfunktion ist:
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{df^{-1}}{dx} = 2 \]Methode 2: Verwendung der Formel aus dem Umkehrsatz
Gegeben ist \( f(x) = \dfrac{x}{2} - 1 \), folglich:
\[ f'(x) = \dfrac{1}{2} \]Setzen Sie \( f' \) durch \( \dfrac{1}{2} \) in die Formel \( \dfrac{df^{-1}}{dx} = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))} \) ein:
\[ \dfrac{df^{-1}}{dx} = \dfrac{1}{\frac{1}{2}} = 2 \]Beachten Sie, dass die erste Methode nur verwendet werden kann, wenn wir die Umkehrfunktion explizit finden können.
Beispiel 2
Finden Sie die Ableitung \( \dfrac{dy}{dx} \), wobei \( y = \arcsin x \).
Lösung zu Beispiel 2 (Klicken, um die Lösung anzuzeigen)
\( \arcsin x \) ist die Umkehrfunktion von \( \sin x \) und daher:
\[ \sin(\arcsin(x)) = x \qquad (I) \]Gegeben sei \( y = \arcsin x \). Wenden Sie den Sinus auf beide Seiten an:
\[ \sin y = \sin(\arcsin x) \]Vereinfachen Sie unter Verwendung von (I):
\[ \sin y = x \]Differenzieren Sie beide Seiten nach \( x \) unter Verwendung der Kettenregel auf der linken Seite:
\[ \dfrac{dy}{dx} \cos y = 1 \]Lösen Sie nach \( \dfrac{dy}{dx} \) auf:
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\cos y} \]Führen Sie die Substitution \( y = \arcsin x \) durch:
\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1}{\cos(\arcsin x)} \qquad (II) \]Vereinfachen Sie \( \cos(\arcsin x) \) unter Verwendung der trigonometrischen Identität \( \cos x = \sqrt{1 - \sin^2 x} \):
\[ \cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - \sin^2(\arcsin x)} \]Vereinfachen Sie mithilfe der Eigenschaft der Umkehrfunktionen \( \sin(\arcsin x) = x \):
\[ \cos(\arcsin x) = \sqrt{1 - x^2} \]Setzen Sie das Ergebnis wieder in (II) ein, um die endgültige Antwort zu erhalten:
\[ \boxed{\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{d(\arcsin x)}{dx} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}}} \]Beachten Sie, dass das obige Ergebnis auch mithilfe des Formelsatzes hätte ermittelt werden können, aber hier haben wir gezeigt, wie man die Ableitung der Umkehrfunktion findet, ohne sich die Formel merken zu müssen.
Übungen
Übungsaufgaben & Lösungen
Finden Sie die Ableitung der Umkehrfunktion jeder unten angegebenen Funktion:
- \( f(x) = 3x - 4 \)
- \( g(x) = \arccos x \)
- \( h(x) = \arctan x \)
Antworten zu den obigen Übungen
- \( (f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{3} \)
- \( (g^{-1})'(x) = -\dfrac{1}{\sqrt{1 - x^2}} \)
- \( (h^{-1})'(x) = \dfrac{1}{\sqrt{1 + x^2}} \)