Ableitungen der trigonometrischen Funktionen

Formeln, Regeln, Schritt-für-Schritt durchgerechnete Beispiele mit Produkten und Quotienten

Formeln für die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x) und csc(x) in der Analysis werden zusammen mit mehreren Beispielen zu Produkten, Summen und Quotienten trigonometrischer Funktionen vorgestellt.

Formeln für die Ableitungen trigonometrischer Funktionen

1. Ableitung von \( \sin x \): \[ \dfrac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \]
2. Ableitung von \( \cos x \): \[ \dfrac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \]
3. Ableitung von \( \tan x \): \[ \dfrac{d}{dx}(\tan x) = \sec^2 x \]
4. Ableitung von \( \cot x \): \[ \dfrac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x \]
5. Ableitung von \( \sec x \): \[ \dfrac{d}{dx}(\sec x) = \sec x \tan x \]
6. Ableitung von \( \csc x \): \[ \dfrac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x \]

Beispiele zur Anwendung der Ableitungen trigonometrischer Funktionen

Beispiel 1

Finden Sie die erste Ableitung von \( f(x) = x \sin x \)

Lösung zu Beispiel 1

Sei \( g(x) = x \) und \( h(x) = \sin x \). Die Funktion \( f \) kann als Produkt der Funktionen \( g \) und \( h \) angesehen werden: \( f(x) = g(x)h(x) \). Daher verwenden wir die Produktregel \( f'(x) = g(x)h'(x) + h(x)g'(x) \), um die Funktion \( f \) wie folgt zu differenzieren:

\[ f'(x) = x \cos x + \sin x \cdot 1 = x \cos x + \sin x \]

Beispiel 2

Finden Sie die erste Ableitung von:

\[ f(x) = \tan x + \sec x \]
Lösung zu Beispiel 2

Sei \( g(x) = \tan x \) und \( h(x) = \sec x \). Die Funktion \( f \) kann als Summe der Funktionen \( g \) und \( h \) angesehen werden: \( f(x) = g(x) + h(x) \). Daher verwenden wir die Summenregel \( f'(x) = g'(x) + h'(x) \), um die Funktion \( f \) wie folgt zu differenzieren:

\[ f'(x) = \sec^2 x + \sec x \tan x = \sec x (\sec x + \tan x) \]

Beispiel 3

Finden Sie die erste Ableitung von:

\[ f(x) = \dfrac{\sin x}{1 + \cos x} \]
Lösung zu Beispiel 3

Sei \( g(x) = \sin x \) und \( h(x) = 1 + \cos x \). Die Funktion \( f \) kann als Quotient der Funktionen \( g \) und \( h \) angesehen werden: \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \). Daher verwenden wir die Quotientenregel:

\[ f'(x) = \dfrac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2} \]

Wir finden die einzelnen Ableitungen:

\[ g'(x) = \cos x \] \[ h'(x) = -\sin x \]

Setzen Sie in die Formel der Quotientenregel ein:

\[ f'(x) = \dfrac{(1 + \cos x)(\cos x) - (\sin x)(-\sin x)}{(1 + \cos x)^2} \] \[ = \dfrac{\cos x + \cos^2 x + \sin^2 x}{(1 + \cos x)^2} \]

Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \) zur Vereinfachung:

\[ f'(x) = \dfrac{\cos x + 1}{(1 + \cos x)^2} = \dfrac{1}{\cos x + 1} \]

Weitere Links und Literaturhinweise