Ableitungen der trigonometrischen Funktionen
Formeln für die Ableitungen der trigonometrischen Funktionen sin(x), cos(x), tan(x), cot(x), sec(x) und csc(x) in der Differentialrechnung werden zusammen mit mehreren Beispielen mit Produkten, Summen und Quotienten trigonometrischer Funktionen vorgestellt.
Formeln für die Ableitungen trigonometrischer Funktionen
1 - Ableitung von sin x
Die Ableitung von \( f(x) = \sin x \) ist gegeben durch
\[ f '(x) = \cos x \]
2 - Ableitung von cos x
Die Ableitung von \( f(x) = \cos x \) ist gegeben durch
\[ f '(x) = - \sin x \]
3 - Ableitung von tan x
Die Ableitung von \( f(x) = \tan x \) ist gegeben durch
\[ f '(x) = \sec^{2} x \]
4 - Ableitung von cot x
Die Ableitung von \( f(x) = \cot x \) ist gegeben durch
\[ f '(x) = - \csc^{2} x \]
5 - Ableitung von sec x
Die Ableitung von \( f(x) = \sec x \) ist gegeben durch
\[ f '(x) = \sec(x) \tan(x) \]
6 - Ableitung von csc x
Die Ableitung von \( f(x) = \csc x \) ist gegeben durch
\[ f '(x) = - \csc x \cot x \]
Beispiele mit den Ableitungen trigonometrischer Funktionen
Beispiel 1
Finden Sie die erste Ableitung von \( f(x) = x \sin x \)
Lösung zu Beispiel 1:
- Sei \( g(x) = x \) und \( h(x) = \sin x \), die Funktion \( f \) kann als Produkt der Funktionen \( g \) und \( h \) betrachtet werden: \( f(x) = g(x) h(x) \). Daher verwenden wir die Produktregel, \( f '(x) = g(x) h '(x) + h(x) g '(x) \), um die Funktion \( f \) wie folgt zu differenzieren
\[ f '(x) = x \cos x + \sin x \cdot 1 = x \cos x + \sin x \]
Beispiel 2
Finden Sie die erste Ableitung von \[ f(x) = \tan x + \sec x \]
Lösung zu Beispiel 2:
- Sei \( g(x) = \tan x \) und \( h(x) = \sec x \), die Funktion \( f \) kann als Summe der Funktionen \( g \) und \( h \) betrachtet werden: \( f(x) = g(x) + h(x) \). Daher verwenden wir die Summenregel, \( f '(x) = g '(x) + h '(x) \), um die Funktion \( f \) wie folgt zu differenzieren
\[ f '(x) = \sec^{2} x + \sec x \tan x = \sec x (\sec x + \tan x) \]
Beispiel 3
Finden Sie die erste Ableitung von \[ f(x) = \dfrac{\sin x}{1 + \cos x} \]
Lösung zu Beispiel 3:
- Sei \( g(x) = \sin x \) und \( h(x) = 1 + \cos x \), die Funktion \( f \) kann als Quotient der Funktionen \( g \) und \( h \) betrachtet werden: \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \). Daher verwenden wir die Quotientenregel, \[ f '(x) = \dfrac{h(x) g '(x) - g(x) h '(x)}{h(x)^{2}} \], um die Funktion \( f \) wie folgt zu differenzieren
\[ g '(x) = \cos x \]
\[ h '(x) = - \sin x \]
\[ f '(x) = \dfrac{(1 + \cos x)(\cos x) - (\sin x)(- \sin x)}{(1 + \cos x)^{2}} \]
\[ = \dfrac{\cos x + \cos^{2} x + \sin^{2} x}{(1 + \cos x)^{2}} \]
- Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \cos^{2} x + \sin^{2} x = 1 \), um den obigen Ausdruck zu vereinfachen
\[ f '(x) = \dfrac{\cos x + 1}{(1 + \cos x)^{2}} = \dfrac{1}{\cos x + 1} \]
Weitere Links und Referenzen
Differentialrechnung