Formeln und Beispiele mit detaillierten Lösungen zu den Ableitungen von Hyperbelfunktionen werden vorgestellt. Definitionen und Graphen von Hyperbelfunktionen finden Sie unter Graphen von Hyperbelfunktionen.
Tabelle der Hyperbelfunktionen und ihrer Ableitungen
| Funktion | Ableitung |
|---|---|
| \( f(x) = \sinh x \) | \( f'(x) = \cosh x \) |
| \( f(x) = \cosh x \) | \( f'(x) = \sinh x \) |
| \( f(x) = \tanh x = \dfrac{\sinh x}{\cosh x} \) | \( f'(x) = \operatorname{sech}^2 x \) |
| \( f(x) = \coth x = \dfrac{1}{\tanh x} = \dfrac{\cosh x}{\sinh x} \) | \( f'(x) = -\operatorname{csch}^2 x \) |
| \( f(x) = \operatorname{csch} x = \dfrac{1}{\sinh x} \) | \( f'(x) = -\operatorname{csch} x \coth x \) |
| \( f(x) = \operatorname{sech} x = \dfrac{1}{\cosh x} \) | \( f'(x) = -\operatorname{sech} x \tanh x \) |
Beispiele mit Lösungen
Beispiel 1
Finden Sie die Ableitung von \( f(x) = \sinh(x^2) \)
Lösung zu Beispiel 1
Sei \( u = x^2 \) und \( y = \sinh u \). Verwenden Sie die Kettenregel, um die Ableitung der gegebenen Funktion \( f \) zu finden:
\[ f'(x) = \dfrac{dy}{du} \dfrac{du}{dx} \]Da \( \dfrac{dy}{du} = \cosh u \) (siehe Formel oben) und \( \dfrac{du}{dx} = 2x \) ist:
\[ f'(x) = 2x \cosh u \]Setzen Sie \( u = x^2 \) wieder ein:
\[ f'(x) = 2x \cosh(x^2) \]Beispiel 2
Finden Sie die Ableitung von \( f(x) = 2 \sinh x + 4 \cosh x \)
Lösung zu Beispiel 2
Sei \( g(x) = 2 \sinh x \) und \( h(x) = 4 \cosh x \). Die Funktion \( f \) ist die Summe der Funktionen \( g \) und \( h \): \( f(x) = g(x) + h(x) \). Verwenden Sie die Summenregel \( f'(x) = g'(x) + h'(x) \):
\[ f'(x) = 2 \cosh x + 4 \sinh x \]Beispiel 3
Finden Sie die Ableitung von \( f(x) = \dfrac{\cosh x}{\sinh(x^2)} \)
Lösung zu Beispiel 3
Sei \( g(x) = \cosh x \) und \( h(x) = \sinh(x^2) \). Die Funktion \( f \) ist der Quotient der Funktionen \( g \) und \( h \): \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \). Daher verwenden wir die Quotientenregel:
\[ f'(x) = \dfrac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2} \]Wir finden die einzelnen Ableitungen:
\[ g'(x) = \sinh x \] \[ h'(x) = 2x \cosh(x^2) \quad \text{(siehe Beispiel 1 oben)} \]Setzen Sie in die Formel der Quotientenregel ein:
\[ f'(x) = \dfrac{(\sinh(x^2))(\sinh x) - (\cosh x)(2x \cosh(x^2))}{(\sinh(x^2))^2} \]Beispiel 4
Finden Sie die Ableitung von \( f(x) = (\sinh x)^2 \)
Lösung zu Beispiel 4
Sei \( u = \sinh x \) und \( y = u^2 \). Verwenden Sie die Kettenregel:
\[ f'(x) = \dfrac{dy}{du} \dfrac{du}{dx} \]Da \( \dfrac{dy}{du} = 2u \) und \( \dfrac{du}{dx} = \cosh x \) ist:
\[ f'(x) = 2u \cosh x \]Setzen Sie \( u = \sinh x \) wieder ein:
\[ f'(x) = 2 \sinh x \cosh x \]Übungen
Finden Sie die Ableitung jeder Funktion:
- \( f(x) = \sinh(x^3) \)
- \( g(x) = -\sinh x + 4 \cosh(x + 2) \)
- \( h(x) = \dfrac{\cosh(x^2)}{\sinh x} \)
- \( j(x) = -(\cosh x)^2 \)
Lösungen zu den obigen Übungen
- \( f'(x) = (3x^2) \cosh(x^3) \)
- \( g'(x) = -\cosh x + 4 \sinh(x + 2) \)
- \( h'(x) = \dfrac{(2x \sinh(x^2))(\sinh x) - (\cosh(x^2))(\cosh x)}{(\sinh x)^2} \)
- \( j'(x) = -2(\cosh x)(\sinh x) \)