Ableitung hyperbolischer Funktionen
Formeln und Beispiele mit detaillierten Lösungen zu den Ableitungen hyperbolischer Funktionen werden vorgestellt. Für Definitionen und Graphen hyperbolischer Funktionen besuchen Sie Graphen hyperbolischer Funktionen.
Tabelle der hyperbolischen Funktionen und ihrer Ableitungen
| Funktion |
Ableitung |
| \( f(x) = \sinh x \) |
\( f '(x) = \cosh x \) |
| \( f(x) = \cosh x \) |
\( f '(x) = \sinh x \) |
| \( f(x) = \tanh x = \dfrac{\sinh x}{\cosh x} \) |
\( f '(x) = \operatorname{sech}^2 x \) |
| \( f(x) = \coth x = \dfrac{1}{\tanh x} = \dfrac{\cosh x}{\sinh x} \) |
\( f '(x) = - \operatorname{csch}^2 x \) |
| \( f(x) = \operatorname{csch} x = \dfrac{1}{\sinh x} \) |
\( f '(x) = - \operatorname{csch} x \coth x \) |
| \( f(x) = \operatorname{sech} x = \dfrac{1}{\cosh x} \) |
\( f '(x) = - \operatorname{sech} x \tanh x \) |
Beispiele mit Lösungen
Beispiel 1
Finden Sie die Ableitung von \( f(x) = \sinh (x^2) \)
Lösung zu Beispiel 1:
Setze \( u = x^2 \) und \( y = \sinh u \) und wende die Kettenregel an, um die Ableitung der gegebenen Funktion \( f \) zu finden.
\( f '(x) = \dfrac{dy}{du} \dfrac{du}{dx} \)
\( \dfrac{dy}{du} = \cosh u \), siehe Formel oben, und \( \dfrac{du}{dx} = 2x \)
\( f '(x) = 2x \cosh u = 2x \cosh (x^2) \)
Ersetze \( u = x^2 \) in \( f '(x) \), um zu erhalten
\[ f '(x) = 2x \cosh (x^2) \]
Beispiel 2
Finden Sie die Ableitung von \( f(x) = 2 \sinh x + 4 \cosh x \)
Lösung zu Beispiel 2:
Sei \( g(x) = 2 \sinh x \) und \( h(x) = 4 \cosh x \), die Funktion \( f \) ist die Summe der Funktionen \( g \) und \( h \): \[ f(x) = g(x) + h(x) \]. Wende die Summenregel an, \( f '(x) = g '(x) + h '(x) \), um die Ableitung der Funktion \( f \) zu finden.
\[ f '(x) = 2 \cosh x + 4 \sinh x \]
Beispiel 3
Finden Sie die Ableitung von \( f(x) = \dfrac{\cosh x}{\sinh (x^2)} \)
Lösung zu Beispiel 3:
Sei \( g(x) = \cosh x \) und \( h(x) = \sinh x^2 \), die Funktion \( f \) ist der Quotient der Funktionen \( g \) und \( h \): \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \). Daher verwenden wir die Quotientenregel
, \[ f '(x) = \dfrac{h(x) g '(x) - g(x) h '(x)}{h(x)^2} \] um die Ableitung der Funktion \( f \) zu finden.
\( g '(x) = \sinh x \)
\( h '(x) = 2x \cosh x^2 \) (siehe Beispiel 2 oben)
\[ f '(x) = \dfrac{( \sinh x^2 ) ( \sinh x ) - ( \cosh x ) ( 2x \cosh x^2 )}{( \sinh x^2 )^2} \]
Beispiel 4
Finden Sie die Ableitung von \( f(x) = (\sinh x)^2 \)
Lösung zu Beispiel 4:
Setze \( u = \sinh x \) und \( y = u^2 \). Wende die Kettenregel an, um die Ableitung der Funktion \( f \) zu finden.
\( f '(x) = \dfrac{dy}{du} \dfrac{du}{dx} \)
\( \dfrac{dy}{du} = 2u \) und \( \dfrac{du}{dx} = \cosh x \)
\( f '(x) = 2u \cosh x \)
Setze \( u = \sinh x \) in das oben erhaltene \( f '(x) \) ein
\[ f '(x) = 2 \sinh x \cosh x \]
Übungen
Finden Sie die Ableitung jeder Funktion.
1 - \( f(x) = \sinh (x^3) \)
2 - \( g(x) = - \sinh x + 4 \cosh (x + 2) \)
3 - \( h(x) = \dfrac{\cosh x^2}{\sinh x} \)
4 - \( j(x) = - (\cosh x)^2 \)
Lösungen zu den obigen Übungen
1 - \( f '(x) = (3x^2) \cosh (x^3) \)
2 - \( g '(x) = - \cosh x + 4 \sinh (x + 2) \)
3 - \( h '(x) = \dfrac{(2 x \sinh x^2)(\sinh x) - (\cosh x^2)(\cosh x)}{(\sinh x)^2} \)
4 - \( j '(x) = - 2 (\cosh x)(\sinh x) \)
Weitere Referenzen und Links
Differentialrechnung und Ableitungen
Graphen hyperbolischer Funktionen
Ableitungsregeln von Funktionen in der Analysis