Beispiele für die Ableitungen von logarithmischen Funktionen in der Analysis werden vorgestellt. Mehrere Beispiele mit detaillierten Lösungen zu Produkten, Summen und Quotienten von logarithmischen Funktionen werden untersucht.
Erste Ableitung einer logarithmischen Funktion zu einer beliebigen Basis
Die erste Ableitung von \( f(x) = \log_b x \) ist gegeben durch:
Hinweis: Wenn \( f(x) = \ln x \) ist, dann ist \( f'(x) = \dfrac{1}{x} \).
Beispiele mit Lösungen
Beispiel 1
Finden Sie die Ableitung von \( f(x) = \log_3 x \)
Lösung zu Beispiel 1
Wenden Sie die obige Formel an, um Folgendes zu erhalten:
\[ f'(x) = \dfrac{1}{x \ln 3} \]Beispiel 2
Finden Sie die Ableitung von \( f(x) = \ln x + 6x^2 \)
Lösung zu Beispiel 2
Sei \( g(x) = \ln x \) und \( h(x) = 6x^2 \). Die Funktion \( f \) ist die Summe der Funktionen \( g \) und \( h \): \( f(x) = g(x) + h(x) \). Verwenden Sie die Summenregel \( f'(x) = g'(x) + h'(x) \), um die Ableitung der Funktion \( f \) zu finden:
\[ f'(x) = \dfrac{1}{x} + 12x \]Beispiel 3
Finden Sie die Ableitung von \( f(x) = \dfrac{\log_3 x}{1 - x} \)
Lösung zu Beispiel 3
Sei \( g(x) = \log_3 x \) und \( h(x) = 1 - x \). Die Funktion \( f \) ist der Quotient der Funktionen \( g \) und \( h \): \( f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \). Daher verwenden wir die Quotientenregel:
\[ f'(x) = \dfrac{h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{[h(x)]^2} \]Wir finden die einzelnen Ableitungen:
\[ g'(x) = \dfrac{1}{x \ln 3} \] \[ h'(x) = -1 \]Setzen Sie in die Formel der Quotientenregel ein:
\[ f'(x) = \dfrac{(1 - x)\left(\dfrac{1}{x \ln 3}\right) - (\log_3 x)(-1)}{(1 - x)^2} \]Beispiel 4
Finden Sie die Ableitung von \( f(x) = \ln(-4x + 1) \)
Lösung zu Beispiel 4
Sei \( u = -4x + 1 \) und \( y = \ln u \). Verwenden Sie die Kettenregel, um die Ableitung der Funktion \( f \) zu finden:
\[ f'(x) = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \]Da \( \dfrac{dy}{du} = \dfrac{1}{u} \) und \( \dfrac{du}{dx} = -4 \) ist:
\[ f'(x) = \dfrac{1}{u}(-4) = \dfrac{-4}{u} \]Setzen Sie \( u = -4x + 1 \) wieder ein:
\[ f'(x) = \dfrac{-4}{-4x + 1} \]Übungen
Finden Sie die Ableitung jeder Funktion:
- \( f(x) = \ln(x^2) \)
- \( g(x) = \ln x - x^7 \)
- \( h(x) = \dfrac{\ln x}{2x - 3} \)
- \( j(x) = \ln(x + 3) \ln(x - 1) \)
Lösungen zu den obigen Übungen
- \( f'(x) = \dfrac{2}{x} \)
- \( g'(x) = \dfrac{1}{x} - 7x^6 \)
- \( h'(x) = \dfrac{2x - 3 - 2x \ln x}{x(2x - 3)^2} \)
- \( j'(x) = \dfrac{\ln(x + 3)}{x - 1} + \dfrac{\ln(x - 1)}{x + 3} \)