Differenzierung logarithmischer Funktionen

Beispiele für die Ableitungen von Logarithmusfunktionen in der Analysis werden vorgestellt. Mehrere Beispiele mit detaillierten Lösungen, die Produkte, Summen und Quotienten von Exponentialfunktionen betreffen, werden untersucht.

Erste Ableitung einer Logarithmusfunktion zu einer beliebigen Basis

Die erste Ableitung von \( f(x) = \log_b x \) ist gegeben durch \[ f '(x) = \dfrac{1}{x \ln b} \] Hinweis: wenn \( f(x) = \ln x \), dann ist \( f '(x) = \dfrac{1}{x} \)

Beispiele mit Lösungen

Beispiel 1

Finden Sie die Ableitung von \[ f(x) = \log_3 x \]
Lösung zu Beispiel 1:
Wenden Sie die obige Formel an, um zu erhalten \[ f '(x) = \dfrac{1}{x \ln 3} \]

Beispiel 2

Finden Sie die Ableitung von \[ f(x) = \ln x + 6x^2 \] Lösung zu Beispiel 2:
Seien \( g(x) = \ln x \) und \( h(x) = 6x^2 \), die Funktion \( f \) ist die Summe der Funktionen \( g \) und \( h \): \( f(x) = g(x) + h(x) \). Verwenden Sie die Summenregel \( f '(x) = g '(x) + h '(x) \), um die Ableitung der Funktion \( f \) zu finden \[ f '(x) = \dfrac{1}{x} + 12x \]

Beispiel 3

Finden Sie die Ableitung von \[ f(x) = \dfrac{\log_3 x}{1 - x} \]
Lösung zu Beispiel 3:
Seien \( g(x) = \log_3 x \) und \( h(x) = 1 - x \), die Funktion \( f \) ist der Quotient der Funktionen \( g \) und \( h \): \[ f(x) = \dfrac{g(x)}{h(x)} \] Daher verwenden wir die Quotientenregel \( f '(x) = \dfrac{(h(x) g '(x) - g(x) h '(x))}{(h(x))^2} \), um die Ableitung der Funktion \( f \) zu finden. \[ g '(x) = \dfrac{1}{(x \ln 3)} \] \[ h '(x) = -1 \] \[ f '(x) = \dfrac{(1 - x)(\dfrac{1}{(x \ln 3)}) - (\log_3 x)(-1)}{(1 - x)^2} \]

Beispiel 4

Finden Sie die Ableitung von \[ f(x) = \ln(-4x + 1) \]
Lösung zu Beispiel 4:
Sei \( u = -4x + 1 \) und \( y = \ln u \). Verwenden Sie die Kettenregel, um die Ableitung der Funktion \( f \) wie folgt zu finden. \[ f '(x) = \dfrac{dy}{du} \cdot \dfrac{du}{dx} \] \[ \dfrac{dy}{du} = \dfrac{1}{u} \) und \( \dfrac{du}{dx} = -4 \] \[ f '(x) = \dfrac{1}{u}(-4) = \dfrac{-4}{u} \] Ersetzen Sie \( u = -4x + 1 \) in \( f '(x) \) oben \[ f '(x) = \dfrac{-4}{(-4x + 1)} \]

Übungen

Finden Sie die Ableitung jeder Funktion.
  1. \( f(x) = \ln(x^2) \)
  2. \( g(x) = \ln x - x^7 \)
  3. \( h(x) = \dfrac{\ln x}{(2x - 3)} \)
  4. \( j(x) = \ln (x + 3) \ln (x - 1) \)

Lösungen zu den obigen Übungen

  1. \( f '(x) = \dfrac{2}{x} \)
  2. \( g '(x) = \dfrac{1}{x} - 7x^6 \)
  3. \( h '(x) = \dfrac{(2x - 3 - 2x \ln x)}{x(2x -3)^2} \)
  4. \( j '(x) = \dfrac{\ln (x + 3)}{x - 1} + \dfrac{\ln (x - 1)}{x + 3} \)

Weitere Referenzen und Links

Differenzierung und Ableitungen