Die Methode der logarithmischen Differentiation in der Analysis nutzt die Eigenschaften von logarithmischen Funktionen, um komplizierte Funktionen und Funktionen zu differenzieren, bei denen die üblichen Formeln der Differentiation nicht direkt anwendbar sind. Mehrere Beispiele mit detaillierten Lösungen werden vorgestellt.
Beispiele mit detaillierten Lösungen
Beispiel 1
Finden Sie die Ableitung von:
\[ y = x^{\sin x} \]Lösung zu Beispiel 1
Wir stellen zunächst fest, dass es keine Standardformel gibt, mit der diese Funktion direkt differenziert werden kann. Die erste Ableitung kann berechnet werden, indem man den natürlichen Logarithmus von beiden Seiten von \( y = x^{\sin x} \) nimmt:
\[ \ln y = \ln \left( x^{\sin x} \right) \]Verwenden Sie die Logarithmengesetze, um die rechte Seite umzuformulieren:
\[ \ln y = \sin x \ln x \]Wir differenzieren nun beide Seiten nach \( x \), wobei wir die Kettenregel auf der linken Seite und die Produktregel auf der rechten Seite anwenden:
\[ \dfrac{y'}{y} = \cos x \ln x + \sin x \left( \dfrac{1}{x} \right) \]Multiplizieren Sie beide Seiten mit \( y \):
\[ y' = \left( \cos x \ln x + \dfrac{\sin x}{x} \right) y \]Setzen Sie \( y = x^{\sin x} \) ein:
\[ y' = \left( \cos x \ln x + \dfrac{\sin x}{x} \right) x^{\sin x} \]Beispiel 2
Finden Sie die Ableitung \( y' \) der durch Folgendes definierten Funktion \( y \):
\[ y = x e^{-x^2} \]Lösung zu Beispiel 2
Wir nehmen den natürlichen Logarithmus von beiden Seiten:
\[ \ln y = \ln x + \ln e^{-x^2} \]Vereinfachen Sie den Term \( \ln e^{-x^2} \):
\[ \ln y = \ln x - x^2 \]Differenzieren Sie beide Seiten nach \( x \):
\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{1}{x} - 2x \]Multiplizieren Sie alle Terme mit \( y \):
\[ y' = \left( \dfrac{1}{x} - 2x \right) y \]Setzen Sie \( y = x e^{-x^2} \) ein:
\[ y' = \left( \dfrac{1}{x} - 2x \right) x e^{-x^2} \]Vereinfachen Sie:
\[ y' = e^{-x^2} - 2x^2 e^{-x^2} \]Beispiel 3
Finden Sie die Ableitung \( y' \) der durch Folgendes gegebenen Funktion \( y \):
\[ y = 3x^2 e^{-x} \]Lösung zu Beispiel 3
Wir nehmen den natürlichen Logarithmus von beiden Seiten:
\[ \ln y = \ln 3 + \ln(x^2) + \ln e^{-x} \]Vereinfachen Sie die Terme:
\[ \ln y = \ln 3 + 2 \ln x - x \]Differenzieren Sie beide Seiten nach \( x \):
\[ \dfrac{y'}{y} = 0 + \dfrac{2}{x} - 1 \]Multiplizieren Sie alle Terme mit \( y \):
\[ y' = \left( \dfrac{2}{x} - 1 \right) y \]Setzen Sie \( y = 3x^2 e^{-x} \) ein:
\[ y' = \left( \dfrac{2}{x} - 1 \right) 3x^2 e^{-x} \]Schreiben Sie um als:
\[ y' = 3x(2 - x) e^{-x} \]HINWEIS: Verwenden Sie als Übung die übliche Produktregel der Differentiation, um die obige Funktion zu differenzieren und die Ergebnisse zu vergleichen.
Beispiel 4
Finden Sie die Ableitung \( y' \) der durch Folgendes gegebenen Funktion \( y \):
\[ y = (1 - x)^2 (x + 1)^4 \]Lösung zu Beispiel 4
Nehmen Sie den natürlichen Logarithmus von beiden Seiten und entwickeln Sie die Ausdrücke:
\[ \ln y = 2 \ln(1 - x) + 4 \ln(x + 1) \]Differenzieren Sie beide Seiten nach \( x \):
\[ \dfrac{y'}{y} = -2 \left( \dfrac{1}{1 - x} \right) + 4 \left( \dfrac{1}{x + 1} \right) \]Multiplizieren Sie alle Terme mit \( y \):
\[ y' = \left( -2 \left( \dfrac{1}{1 - x} \right) + 4 \left( \dfrac{1}{x + 1} \right) \right) (1 - x)^2 (x + 1)^4 \]Vereinfachen Sie:
\[ y' = -2(1 - x)(x + 1)^3 + 4(x + 1)^3(1 - x)^2 \]HINWEIS: Verwenden Sie die übliche Produkt- und Kettenregel, um die ursprüngliche Funktion direkt zu differenzieren und das Ergebnis zu überprüfen.
Beispiel 5
Finden Sie die Ableitung \( y' \) der durch Folgendes definierten Funktion \( y \):
\[ y = \dfrac{\tan x}{e^x} \]Lösung zu Beispiel 5
Nehmen Sie den natürlichen Logarithmus von beiden Seiten:
\[ \ln y = \ln(\tan x) - \ln e^x \]Vereinfachen Sie \( \ln e^x = x \):
\[ \ln y = \ln(\tan x) - x \]Differenzieren Sie beide Seiten nach \( x \):
\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{\sec^2 x}{\tan x} - 1 \]Multiplizieren Sie alle Terme mit \( y \):
\[ y' = \left( \dfrac{\sec^2 x}{\tan x} - 1 \right) \dfrac{\tan x}{e^x} \]Vereinfachen Sie:
\[ y' = \dfrac{\sec^2 x - \tan x}{e^x} \]HINWEIS: Verwenden Sie die Quotientenregel, um diese Funktion direkt zu differenzieren und zu überprüfen.
Beispiel 6
Finden Sie die Ableitung \( y' \) der durch Folgendes gegebenen Funktion \( y \):
\[ y = \dfrac{(x - 2)(x + 4)}{(x + 1)(x + 5)} \]Lösung zu Beispiel 6
Nehmen Sie den natürlichen Logarithmus von beiden Seiten und entwickeln Sie ihn unter Verwendung der Logarithmengesetze:
\[ \ln y = \ln(x - 2) + \ln(x + 4) - \ln(x + 1) - \ln(x + 5) \]Differenzieren Sie beide Seiten nach \( x \):
\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{1}{x + 4} - \dfrac{1}{x + 1} - \dfrac{1}{x + 5} \]Multiplizieren Sie alle Terme mit \( y \):
\[ y' = \left( \dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{1}{x + 4} - \dfrac{1}{x + 1} - \dfrac{1}{x + 5} \right) \dfrac{(x - 2)(x + 4)}{(x + 1)(x + 5)} \]Vereinfachen Sie:
\[ y' = \dfrac{2(2x^2 + 13x + 29)}{(x + 1)^2 (x + 5)^2} \]HINWEIS: Verwenden Sie direkt die Quotientenregel, um die Ergebnisse zu vergleichen.
Beispiel 7
Verwenden Sie die logarithmische Differentiation, um die Produktregel \( y = uv \) zu beweisen, wobei \( u \) und \( v \) Funktionen von \( x \) sind.
Lösung zu Beispiel 7
Nehmen Sie den natürlichen Logarithmus von beiden Seiten und entwickeln Sie ihn:
\[ \ln y = \ln u + \ln v \]Differenzieren Sie beide Seiten nach \( x \):
\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{u'}{u} + \dfrac{v'}{v} \]Multiplizieren Sie alle Terme mit \( y \):
\[ y' = \left( \dfrac{u'}{u} + \dfrac{v'}{v} \right) y = \left( \dfrac{u'}{u} + \dfrac{v'}{v} \right) uv \] \[ y' = u'v + v'u \]HINWEIS: Das erhaltene Ergebnis ist die wohlbekannte Produktregel der Differentiation.
Beispiel 8
Verwenden Sie die logarithmische Differentiation, um die Quotientenregel \( y = \dfrac{u}{v} \) zu beweisen, wobei \( u \) und \( v \) Funktionen von \( x \) sind.
Lösung zu Beispiel 8
Nehmen Sie den natürlichen Logarithmus von beiden Seiten und entwickeln Sie ihn unter Verwendung der Logarithmengesetze:
\[ \ln y = \ln u - \ln v \]Differenzieren Sie beide Seiten nach \( x \):
\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{u'}{u} - \dfrac{v'}{v} \]Multiplizieren Sie alle Terme mit \( y \):
\[ y' = \left( \dfrac{u'}{u} - \dfrac{v'}{v} \right) y = \left( \dfrac{u'}{u} - \dfrac{v'}{v} \right) \dfrac{u}{v} \] \[ y' = \dfrac{u'v - v'u}{v^2} \]HINWEIS: Das erhaltene Ergebnis ist die wohlbekannte Quotientenregel der Differentiation.