Die Methode der logarithmischen Differentiation in der Analysis verwendet die Eigenschaften logarithmischer Funktionen, um komplizierte Funktionen und Funktionen abzuleiten, bei denen die üblichen Formeln der Differentiation nicht anwendbar sind. Mehrere Beispiele mit detaillierten Lösungen werden vorgestellt.
Wir stellen zunächst fest, dass es keine Formel gibt, die verwendet werden kann, um diese Funktion direkt abzuleiten. Die erste Ableitung kann berechnet werden, indem man zuerst den natürlichen Logarithmus beider Seiten von \( y = x^{ \sin x } \) nimmt.
\[ \ln y = \ln \left( x^{ \sin x } \right) \]Verwenden Sie die Logarithmuseigenschaften, um die obige Gleichung wie folgt umzuschreiben
\[ \ln y = \sin x \ln x \]Wir differenzieren nun beide Seiten nach \( x \), unter Verwendung der Kettenregel auf der linken Seite und der Produktregel für die Differentiation auf der rechten Seite.
\[ \dfrac{y'}{y} = \cos x \ln x + \sin x \left( \dfrac{1}{x} \right) \]Multiplizieren Sie beide Seiten mit \( y \), um zu erhalten
\[ y' = \left( \cos x \ln x + \dfrac{\sin x}{x} \right) y \]Ersetzen Sie \( y = x^{ \sin x }\)
\[ y' = \left( \cos x \ln x + \dfrac{\sin x}{x} \right) x^{ \sin x } \]Finden Sie die Ableitung \( y' \) der Funktion \( y \), definiert durch
\[ y = x e^{ (-x^{2}) } \]Wir nehmen den Logarithmus beider Seiten
\[ \ln y = \ln x + \ln e^{ (-x^{2}) } \]Vereinfachen Sie den Term \( \ln e^{ (-x^{2}) } \)
\[ \ln y = \ln x - x^{2} \]Differenzieren Sie beide Seiten nach \( x \).
\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{1}{x} - 2x \]Multiplizieren Sie alle Terme mit \( y \) und vereinfachen Sie
\[ y' = \left( \dfrac{1}{x} - 2x \right) y \]Ersetzen Sie \( y = x e^{ (-x^{2})} \)
\[ y' = \left( \dfrac{1}{x} - 2x \right) x e^{ (-x^{2}) } \]Vereinfachen Sie
\[ y' = e^{ (-x^{2})} - 2x^2 e^{ (-x^{2}) } \]Finden Sie die Ableitung \( y' \) der Funktion \( y \), gegeben durch
\[ y = 3 x^{2} e^{ -x } \]Wir nehmen den Logarithmus beider Seiten der gegebenen Funktion
\[ \ln y = \ln 3 + \ln x^{2} + \ln e^{ -x } \]Vereinfachen Sie den Term \( \ln e^{ -x } \)
\[ \ln y = \ln 3 + 2 \ln x - x \]Differenzieren Sie beide Seiten nach \( x \).
\[ \dfrac{y'}{y} = 0 + \dfrac{2}{x} - 1 \]Multiplizieren Sie alle Terme mit \( y \)
\[ y' = \left( \dfrac{2}{x} - 1 \right) y \]Ersetzen Sie \( y = 3 x^{2} e^{ -x } \)
\[ y' = \left( \dfrac{2}{x} - 1 \right) 3 x^{2} e^{ -x } \]Schreiben Sie um als
\[ y' = 3x \left( 2 - x \right) e^{ -x } \]HINWEIS: Differenzieren Sie zur Übung die obige Funktion mit der üblichen Differentiationsformel und vergleichen Sie die Ergebnisse.
Finden Sie die Ableitung \( y' \) der Funktion \( y \), gegeben durch
\[ y = (1 - x)^{2} (x + 1)^{4} \]Nehmen Sie den Logarithmus beider Seiten und entwickeln Sie die erhaltenen Ausdrücke
\[ \ln y = 2 \ln (1 - x) + 4 \ln (x + 1) \]Differenzieren Sie beide Seiten nach \( x \).
\[ \dfrac{y'}{y} = -2 \left( \dfrac{1}{1 - x} \right) + 4 \left( \dfrac{1}{x + 1} \right) \]Multiplizieren Sie alle Terme mit \( y \) und vereinfachen Sie
\[ y' = \left( -2 \left( \dfrac{1}{1 - x} \right) + 4 \left( \dfrac{1}{x + 1} \right) \right) y \] \[ y' = \left( -2 \left( \dfrac{1}{1 - x} \right) + 4 \left( \dfrac{1}{x + 1} \right) \right) (1 - x)^{2} (x + 1)^{4} \] \[ y' = -2\left(1-x\right)\left(x+1\right)^4+4\left(x+1\right)^3\left(1-x\right)^2 \]HINWEIS: Verwenden Sie die übliche Differentiationsformel, um die obige Funktion abzuleiten und vergleichen Sie die Ergebnisse.
Finden Sie die Ableitung \( y' \) der Funktion \( y \), definiert durch
\[ y = \dfrac{ \tan x }{ e^{ x } } \]Nehmen Sie den Logarithmus beider Seiten
\[ \ln y = \ln (\tan x) - \ln e^{ x } \]Vereinfachen Sie \( \ln e^{ x } \).
\[ \ln y = \ln (\tan x) - x \]Differenzieren Sie beide Seiten nach \( x \)
\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{\sec^{2} x}{\tan x} - 1 \]Multiplizieren Sie alle Terme mit \( y \)
\[ y' = \left( \dfrac{\sec^{2} x}{\tan x} - 1 \right) y \] \[ y' = \left( \dfrac{\sec^{2} x}{\tan x} - 1 \right) \dfrac{\tan x}{e^{ x }} \]Vereinfachen Sie
\[ y' = \dfrac{\sec^{2} x - \tan x}{e^{ x }} \]HINWEIS: Verwenden Sie die übliche Differentiationsformel, um die obige Funktion abzuleiten und vergleichen Sie die Ergebnisse.
Finden Sie die Ableitung \( y' \) der Funktion \( y \), gegeben durch
\[ y = \dfrac{(x - 2)(x + 4)}{(x + 1)(x + 5)} \]Nehmen Sie den Logarithmus beider Seiten und entwickeln Sie die erhaltenen Ausdrücke
\[ \ln y = \ln (x - 2) + \ln (x + 4) - \ln (x + 1) - \ln (x + 5) \]Differenzieren Sie beide Seiten nach \( x \)
\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{1}{(x - 2)} + \dfrac{1}{(x + 4)} - \dfrac{1}{(x + 1)} - \dfrac{1}{(x + 5)} \]Multiplizieren Sie alle Terme mit \( y \) und vereinfachen Sie, um zu erhalten
\[ y' = \left( \dfrac{1}{(x - 2)} + \dfrac{1}{(x + 4)} - \dfrac{1}{(x + 1)} - \dfrac{1}{(x + 5)} \right) y \] \[ y' = \left( \dfrac{1}{(x - 2)} + \dfrac{1}{(x + 4)} - \dfrac{1}{(x + 1)} - \dfrac{1}{(x + 5)} \right) \dfrac{(x - 2)(x + 4)}{(x + 1)(x + 5)} \] \[ y' = \dfrac{2(2x^{2} + 13x + 29)}{(x + 1)^{2}(x + 5)^{2}} \]HINWEIS: Verwenden Sie die übliche Differentiationsformel, um die obige Funktion abzuleiten und vergleichen Sie die Ergebnisse.
Verwenden Sie die Methode der Logarithmierung, um \( y' \) zu finden, wenn \( y = uv \), wobei \( u \) und \( v \) Funktionen von \( x \) sind.
Nehmen Sie den Logarithmus beider Seiten und entwickeln Sie die erhaltenen Ausdrücke
\[ \ln y = \ln u + \ln v \]Differenzieren Sie beide Seiten nach \( x \)
\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{u'}{u} + \dfrac{v'}{v} \]Multiplizieren Sie alle Terme mit \( y \) und vereinfachen Sie, um zu erhalten
\[ y' = \left( \dfrac{u'}{u} + \dfrac{v'}{v} \right) y \] \[ y' = \left( \dfrac{u'}{u} + \dfrac{v'}{v} \right) uv \] \[ y' = u'v + v'u \]HINWEIS: Das erhaltene Ergebnis ist die bekannte Produktregel der Differentiation.
Verwenden Sie die Methode der Logarithmierung, um \( y' \) zu finden, wenn \( y = \dfrac{u}{v} \), wobei \( u \) und \( v \) Funktionen von \( x \) sind.
Nehmen Sie den Logarithmus beider Seiten und entwickeln Sie die erhaltenen Ausdrücke unter Verwendung der Logarithmuseigenschaften
\[ \ln y = \ln u - \ln v \]Differenzieren Sie beide Seiten nach \( x \) unter Verwendung der Differentiationsregel des Logarithmus einer Funktion
\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{u'}{u} - \dfrac{v'}{v} \]Multiplizieren Sie alle Terme mit \( y \) und vereinfachen Sie, um zu erhalten
\[ y' = \left( \dfrac{u'}{u} - \dfrac{v'}{v} \right) y \] \[ y' = \left( \dfrac{u'}{u} - \dfrac{v'}{v} \right) \dfrac{u}{v} \] \[ y' = \dfrac{u'v - v'u}{v^{2}} \]HINWEIS: Das erhaltene Ergebnis ist die bekannte Quotientenregel der Differentiation von Funktionen.