Die Schritte zum Beweis der Produktregel der Differentiation werden zusammen mit Beispielen, Übungen und Lösungen vorgestellt.
Ableitung des Produkts zweier Funktionen (Beweis)
Die Ableitung \( f'(x) \) der Funktion \( f(x) \) ist definiert als:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \qquad (1) \]Sei die Funktion \( f(x) \) durch das Produkt zweier Funktionen \( u(x) \) und \( v(x) \) gegeben, geschrieben als:
\[ f(x) = u(x)v(x) \]Unter Verwendung der Definition der Ableitung in (1) ist die Ableitung von \( f(x) = u(x)v(x) \) gegeben durch:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x)}{h} \qquad (2) \]Das Subtrahieren und Addieren derselben Größe (\( u(x)v(x+h) \)) im Zähler von (2) verändert dessen Wert nicht:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x) - u(x)v(x+h) + u(x)v(x+h)}{h} \qquad (3) \]Teilen Sie den Bruch in zwei Teile auf:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \left( \dfrac{u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x+h)}{h} + \dfrac{u(x)v(x+h) - u(x)v(x)}{h} \right) \qquad (4) \]Nach den Eigenschaften von Grenzwerten ist der Grenzwert einer Summe gleich der Summe der Grenzwerte:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x+h)}{h} + \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x)v(x+h) - u(x)v(x)}{h} \qquad (5) \]Verwenden Sie die Ausklammerung, um die Terme umzuschreiben:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \left[ v(x+h) \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h} \right] + \lim_{h \to 0} \left[ u(x) \dfrac{v(x+h) - v(x)}{h} \right] \qquad (6) \]Da der Grenzwert eines Produkts das Produkt der Grenzwerte ist:
\[ f'(x) = \left( \lim_{h \to 0} v(x+h) \right) \left( \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h} \right) + \left( \lim_{h \to 0} u(x) \right) \left( \lim_{h \to 0} \dfrac{v(x+h) - v(x)}{h} \right) \qquad (7) \]Auswertung der einzelnen Grenzwerte:
- \( \lim_{h \to 0} v(x+h) = v(x) \)
- \( \lim_{h \to 0} u(x) = u(x) \)
- \( \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h} = u'(x) \) (gemäß Definition 1)
- \( \lim_{h \to 0} \dfrac{v(x+h) - v(x)}{h} = v'(x) \) (gemäß Definition 1)
Setzen Sie diese Grenzwerte wieder in (7) ein, um Folgendes zu erhalten:
\[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \]Beispiele mit Lösungen
Beispiel 1
Finden Sie die Ableitungen von:
a) \( f(x) = x \ln(x) \) b) \( g(x) = \sin(x)e^x \)
Lösung zu Beispiel 1
a) Sei \( u(x) = x \) und \( v(x) = \ln x \). Schreiben Sie \( f(x) = u(x)v(x) \).
Unter Verwendung der Produktregelformel (I):
\[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \]Da \( u'(x) = 1 \) und \( v'(x) = \dfrac{1}{x} \) ist:
\[ f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \ln x + 1 \]b) Sei \( w(x) = \sin(x) \) und \( z(x) = e^x \). Schreiben Sie \( g(x) = w(x)z(x) \).
Unter Verwendung der Produktregelformel (I):
\[ g'(x) = w'(x)z(x) + w(x)z'(x) \]Da \( w'(x) = \cos(x) \) und \( z'(x) = e^x \) ist:
\[ g'(x) = \cos(x)e^x + \sin(x)e^x = (\cos x + \sin x)e^x \]Beispiel 2
Berechnen Sie die Ableitung von:
\[ h(x) = (2x + 3)\cos(x)\ln x \]Lösung zu Beispiel 2
Die Funktion \( h(x) \) ist das Produkt aus drei Funktionen. Sei \( u = 2x + 3 \), \( v = \cos(x) \) und \( w = \ln x \), sodass \( h(x) = u(x)v(x)w(x) \) gilt.
Anwendung der Produktregel für drei Funktionen:
\[ h'(x) = u'(x)v(x)w(x) + u(x)v'(x)w(x) + u(x)v(x)w'(x) \]Berechnen Sie die einzelnen Ableitungen:
\[ u'(x) = 2, \quad v'(x) = -\sin(x), \quad w'(x) = \dfrac{1}{x} \]Setzen Sie diese Ausdrücke in die Formel ein:
\[ h'(x) = 2\cos(x)\ln x - (2x + 3)\sin(x)\ln x + \dfrac{(2x + 3)\cos(x)}{x} \]Übungen
Finden Sie die Ableitungen der Funktionen:
- \( f(x) = (3x - 5)\cos(x) \)
- \( g(x) = (-4x + 3)e^x \)
- \( h(x) = x^3 \sin(x)e^x \)
Lösungen zu den obigen Übungen
- \( f'(x) = 3\cos(x) - (3x - 5)\sin(x) \)
- \( g'(x) = -4e^x + (-4x + 3)e^x = (-4x - 1)e^x \)
- \( h'(x) = 3x^2\sin(x)e^x + x^3\cos(x)e^x + x^3\sin(x)e^x = 3x^2\sin(x)e^x + (\cos(x) + \sin(x))x^3e^x \)