Produktregel der Differentiation mit Beispielen

Die Schritte zum Beweis der Produktregel der Differentiation werden zusammen mit Beispielen, Übungen und Lösungen vorgestellt.

Definition der Ableitung einer Funktion

Die Ableitung \( f'(x) \) der Funktion \( f(x) \) ist definiert als \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \; \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \qquad (1) \]

Ableitung des Produkts zweier Funktionen

Die Funktion \( f(x) \) sei gegeben durch das Produkt zweier Funktionen \( u(x) \) und \( v(x) \), geschrieben als \[ \quad f(x) = u(x) v(x) \] Unter Verwendung der Definition der Ableitung in \( (1) \) ist die Ableitung von \( f(x) = u(x) v(x) \) gegeben durch \[ \qquad \displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \; \dfrac{u(x+h) v(x+h) - u(x) v(x)}{h} \qquad (2) \] Das Subtrahieren und Addieren derselben Größe im Zähler von \( (2) \) ändert ihn nicht.
Subtrahiere und addiere \( u(x) v(x+h) \) im Zähler von \( (2) \) und schreibe \[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \; \dfrac{u(x+h) v(x+h) - u(x) v(x) - u(x) v(x+h) + u(x) v(x+h) }{h} \qquad (3) \] Teile \( (3) \) auf und schreibe es wie folgt um \[ \qquad \displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \left( \; \dfrac{u(x+h) v(x+h) - u(x) v(x+h)}{h} + \dfrac{u(x) v(x+h) - u(x) v(x) }{h} \right) \qquad (4) \] Aus den Eigenschaften von Grenzwerten ist der Grenzwert einer Summe gleich der Summe der Grenzwerte, daher \[ \qquad \displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \; \dfrac{u(x+h) v(x+h) - u(x) v(x+h)}{h} + \lim_{h \to 0} \left ( \dfrac{u(x) v(x+h) - u(x) v(x) }{h} \right) \qquad (5) \] Verwende Faktorisieren, um das Obige umzuschreiben als \[ \qquad \displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \; v(x+h) \dfrac{u(x+h) - u(x) }{h} + \lim_{h \to 0} u(x) \dfrac{ v(x+h) - v(x) }{h} \qquad (6) \] Aus den Eigenschaften von Grenzwerten ist der Grenzwert eines Produkts gleich dem Produkt der Grenzwerte, daher kann das Obige geschrieben werden als \[ \qquad \displaystyle f'(x) = \lim_{h \to 0} \; v(x+h) \cdot \lim_{h \to 0} \; \dfrac{u(x+h) - u(x) }{h} + \lim_{h \to 0} u(x) \cdot \lim_{h \to 0} \; \dfrac{ v(x+h) - v(x) }{h} \qquad (7) \] Berechne die einzelnen Grenzwerte in \( (7) \) \[ \qquad \displaystyle \lim_{h \to 0} \; v(x+h) = v(x) \] \[ \qquad \displaystyle \lim_{h \to 0} u(x) = u(x) \] \[ \qquad \displaystyle \lim_{h \to 0} \; \dfrac{u(x+h) - u(x) }{h} = u'(x) \] , gemäß der Definition der Ableitung in \( (1) \). \[ \qquad \displaystyle \lim_{h \to 0} \; \dfrac{ v(x+h) - v(x) }{h} = v'(x) \] , gemäß der Definition der Ableitung in \( (1) \). Setze die einzelnen Grenzwerte oben in \( (7) \) ein, um zu erhalten \[ \qquad \displaystyle f'(x) = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) \] Daher ist die Regel für die Ableitung eines Produkts gegeben durch \[ (u v)' = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) \qquad (I) \]

Beispiele mit Lösungen

Beispiel 1

Finde die Ableitungen von
a) \( \quad f(x) = x \; \ln(x) \) b) \( \quad g(x) = \sin(x) e^x \)
Lösung
a)
Sei \( u(x) = x \) und \( v(x) = \ln x \) und schreibe \( f(x) \) als das Produkt von \( u \) und \( v \) wie folgt \[ \quad f(x) = u(x) \; v(x) \] Schreibe, dass \[ \quad f'(x) = (u(x) \; v(x))' \] Verwende die Produktregel in \( (I) \) \[ \quad f'(x) = (u(x) \; v(x))' = u'(x) v(x) + u(x) v'(x) \quad (8) \] Berechne die Ableitungen \( u' \) und \( v' \) \[ \quad u'(x) = 1 \] und \( v'(x) = \dfrac{1}{x} \) Setze \( u, u', v, v' \) durch ihre Ausdrücke in \( (8) \) oben ein, um zu erhalten \[ \quad f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} \] Vereinfache, um die endgültige Antwort zu erhalten \[ \quad f'(x) = \ln x + 1 \]
b)
Sei \( w(x) = \sin(x) \) und \( z(x) = e^x \) und schreibe \( g(x) \) als das Produkt von \( w \) und \( z \) wie folgt \[ \quad g(x) = w(x) \; z(x) \] Schreibe, dass \[ \quad g'(x) = ( w(x) \; z(x) )' \] Verwende die Produktregel in \( (I) \) \[ \quad g'(x) = (w(x) \; z(x))' = w'(x) z(x) + w(x) z'(x) \quad (9) \] Berechne die Ableitungen \( w' \) und \( z' \) \[ \quad w'(x) = \cos(x) \] und \( z'(x) = e^x \) Setze \( w, w', z, z' \) durch ihre Ausdrücke in \( (9) \) oben ein, um zu erhalten \[ \quad g'(x) = \cos(x) \cdot e^x + \sin(x) \cdot e^x \] Faktorisiere \( e^x \), um die endgültige Antwort zu erhalten \[ \quad g'(x) = \left( \cos(x) + \sin(x) \right) \; e^x \]

Beispiel 2

Berechne die Ableitung von \[ h(x) = (2x+3) \cos (x) \ln x \]

Lösung
Die Funktion \( h(x) \) ist durch das Produkt von drei Funktionen gegeben. Sei \( u = 2x+3 \), \( v = \cos(x) \) und \( w = \ln x \) und schreibe \( h(x) \) als \[ \quad h(x) = u(x) v(x) w(x) \] Verwende die Produktregel in \( I \), um zu schreiben \[ \quad h'(x) = u(x) (v(x) w(x))' + u'(x) (v(x) w(x)) \] Verwende die Produktregel in \( (I) \) ein weiteres Mal für den Term \( (v(x) w(x))' \) und schreibe \[ \quad h'(x) = u(x) (v'(x) w(x) + v(x) w'(x) ) + u'(x) (v(x) w(x)) \] Erweitere und schreibe eine Form, die leicht zu behalten ist \[ \quad h'(x) = \color{red}{u'(x)} v(x) w(x) + u(x) \color{red}{v'(x)} w(x) + u(x) v(x) \color{red}{w'(x)} \quad (10) \] Berechne die Ableitungen von \( u, v , w \) \[ u'(x) = 2 \] , \( v'(x) = - \sin(x) \) , \( w'(x) = \dfrac{1}{x} \] Setze \( u, u', v, v', w, w') \) durch ihre Ausdrücke in \( (10) \) oben ein, um zu erhalten \[ \quad h'(x) = 2 \cos(x) \ln x - (2x+3) \sin(x) \ln x + \dfrac{(2x+3) \cos(x)}{x} \]

Übungen

Finde die Ableitungen der Funktionen

\( \quad f(x) = (3x-5) \cos(x) \)
\( \quad g(x) = (-4x+3) e^x \)
\( \quad h(x) = x^3 \sin(x) e^x \)

Lösungen zu den obigen Übungen

\( \quad f'(x) = 3\cos (x) - (3x-5) \sin (x) \)
\( \quad g'(x) = -4e^x + (-4x+3)e^x = (-4 x - 1) e^x \)
\( \quad h'(x) = 3x^2\sin (x)e^x + x^3 \cos (x)e^x + x^3 \sin(x) e^x = 3x^2\sin (x)e^x + (\cos (x) + \sin(x) ) x^3 e^x\)