Quotientenregel der Differentiation mit Beispielen

Die Schritte zum Beweis der Quotientenregel der Differentiation aus der Produktregel der Differentiation werden zusammen mit Beispielen, Übungen und Lösungen vorgestellt.

Ableitung des Quotienten zweier Funktionen

Die Funktion \( f(x) \) sei gegeben als der Quotient zweier Funktionen \( u(x) \) und \( v(x) \), geschrieben als \[ f(x) = \dfrac{u(x)}{ v(x)} \qquad (1) \] Multiplizieren Sie beide Seiten der obigen Gleichung mit \( v(x) \) und vereinfachen Sie, um zu erhalten \[ f(x) v(x) = u(x) \] Bilden Sie die Ableitung beider Seiten der obigen Gleichung \[ ( f(x) v(x))' = u'(x) \] Wenden Sie die Produktregel der Differentiation auf die linke Seite an \[ \quad f'(x) v(x) + f(x) v'(x) = u'(x) \] Lösen Sie die obige Gleichung nach \( f'(x) \) auf \[ \quad f'(x) = \dfrac{ u'(x) - f(x) v'(x) }{ v(x) }\] Ersetzen Sie \( f(x) \) durch \( \dfrac{u(x)}{ v(x)} \), wie in \( (1) \) oben angegeben \[ \quad f'(x) = \dfrac{ u'(x) - \dfrac{u(x)}{ v(x)} v'(x) }{ v(x) }\] Schreiben Sie den Ausdruck im Zähler mit einem gemeinsamen Nenner um und vereinfachen Sie, um \( f'(x) \) zu schreiben als \[ f'(x) = \dfrac{ u'(x) v(x) - u(x) v'(x) }{ (v(x))^2 }\] Schließlich die Quotientenregel der Differentiation \[ \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{ u'(x) v(x) - u(x) v'(x) }{ (v(x))^2 } \qquad (I) \]

Beispiele mit Lösungen

Beispiel 1

Finden Sie die Ableitungen von
a) \( \quad f(x) = \dfrac{x}{\ln x} \) b) \( \quad g(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \)

Lösung
a)
Sei \( u(x) = x \) und \( v(x) = \ln x \) und schreiben Sie \( f(x) \) als Quotienten von \( u \) und \( v \) wie folgt
\[ f(x) = \dfrac {u} {v} \] Verwenden Sie die Quotientenregel in \( (I) \), um die Ableitung \( f'(x) \) zu schreiben als \[ f'(x) = \dfrac{u'(x) v(x) - u(x) v'(x) }{(v(x))^2} \qquad (2) \] Gegeben \( u(x) = x \) und \( v(x) = \ln x \), sind die Ableitungen \( u' \) und \( v' \) gegeben durch \[ u' = 1 \) und \( v' = \dfrac{1}{x} \] Ersetzen Sie \( u, u', v, v' \) durch ihre Ausdrücke in \( (2) \) oben, um zu erhalten \[ \quad f'(x) = \dfrac{ 1 \cdot \ln x - x \cdot \dfrac{1}{x} }{ \ln^2 x } \] Vereinfachen Sie, um zu erhalten \[ \quad f'(x) = \dfrac{ \ln x - 1} { \ln^2 x } \] b)
Sei \( w(x) = \sin x \) und \( z(x) = \cos x \) und schreiben Sie \( g(x) \) als Quotienten von \( w \) und \( z \) wie folgt \[ \quad f(x) = \dfrac {w} {z} \] Verwenden Sie die Quotientenregel in \( (I) \), um die Ableitung \( g'(x) \) zu schreiben als \[ g'(x) = \dfrac{w'(x) z(x) - w(x) z'(x) }{(z(x))^2} \qquad (3) \] Gegeben \( w(x) = \sin x \) und \( z(x) = \cos x \), die Ableitungen \( w' \) und \( z' \) \[ w' = \cos x \) und \( z' = - \sin x \] Ersetzen Sie \( w, w', z, z' \) durch ihre Ausdrücke in \( (3) \) oben, um zu erhalten \[ g'(x) = \dfrac{ \cos x \cos x - \sin x (- \sin x) }{ \cos^2 x } \] Der Zähler des Obigen ist gleich \( \cos x \cos x - \sin x (- \sin x) = \cos^2 x + \sin^2 x = 1\), daher vereinfachen Sie, um zu erhalten \[ g'(x) = \dfrac{ 1 }{ \cos^2 x } \] Verwenden Sie die Identität \( \sec x = \dfrac{1}{\cos x} \), um die endgültige Antwort zu schreiben als \[ g'(x) = \sec^2 x \]

Beispiel 2

Berechnen Sie die Ableitung von \[ h(x) = \dfrac{x \; \ln x}{\sin x \; e^x} \] Lösung
Sei \( u(x) = x \; \ln x \) und \( v(x) = \sin x \; e^x \) und schreiben Sie \( h(x) \) als den Quotienten \[ h(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)} \] Verwenden Sie die Quotientenregel in \( (I) \), um die Ableitung \( h'(x) \) zu schreiben als \[ \quad h'(x) = \dfrac{ u'(x) v(x) - u(x) v'(x) }{ (v(x))^2 } \qquad (4) \] Gegeben \( u(x) = x \; \ln x \), was das Produkt zweier Funktionen ist, wird die Ableitung \( u' \) unter Verwendung der Produktregel der Differentiation berechnet \[ u'(x) = (x)'\ln x + x (\ln x)' = \ln x + x \dfrac{1}{x} = \ln x + 1 \] \[ v(x) = \sin x \; e^x \] ist ebenfalls das Produkt zweier Funktionen, die Ableitung \( v' \) wird unter Verwendung der Produktregel der Differentiation berechnet \[ v'(x) = (\sin x)'e^x + \sin x (e^x)' = \cos x e^x + \sin x e^x = (\cos x + \sin x) e^x \] Ersetzen Sie \( u, u', v, v' \) durch ihre Ausdrücke in \( (4) \) oben, um zu erhalten \[ \quad h'(x) = \dfrac{ (\ln x + 1) (\sin x \; e^x) - (x \; \ln x )((\cos x + \sin x) e^x) }{ (\sin x \; e^x )^2 } \] was umgeschrieben werden kann als \[ \quad h'(x) = \dfrac{ (\ln x + 1) \sin x - x \; \ln x \; (\cos x + \sin x) }{ \sin^2 x \; e^{x} } \]

Übungen

Finden Sie die Ableitungen der Funktionen

\( \quad f(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin x} \)
\( \quad g(x) = \dfrac{-2x+4}{e^x} \)
\( \quad h(x) = \dfrac{ 2x \; e^x}{ x \sin x} \)

Lösungen zu den obigen Übungen

\( \quad f'(x) = \dfrac{-\sin x \sin x - \cos x \cos x}{\sin^2 x} = \dfrac{-(\sin^2 x + \cos^ x)}{\sin^2 x} = \dfrac{-1}{\sin^2 x} = - \csc^2 x \)
\( \quad g'(x) = \dfrac{-2 \; e^x - (-2x+4) \; e^x}{ (e^x)^2} = -\dfrac{2\left(-x+3\right)}{e^x} \)
\( \quad h(x) = \dfrac{ (2(1+x)\; e^x) (x \sin x) - (2x \; e^x) ( \sin x + x \; \cos x)}{ (x \; \sin x)^2} \\ \qquad \qquad = \dfrac{ 2 x \sin x \; e^x + 2 x^2 \sin x \; e^x - 2 x \sin x \; e^x - 2 x^2 \cos x \; e^x} { (x \; \sin x)^2} \\ \qquad \qquad = 2\left(\csc \left(x\right)-\cot \left(x\right)\csc \left(x\right)\right) e^x \)