Die Schritte zum Beweis der Quotientenregel der Differentiation aus der Produktregel der Differentiation werden zusammen mit Beispielen, Übungen und Lösungen vorgestellt.
Ableitung des Quotienten zweier Funktionen (Beweis)
Sei die Funktion \( f(x) \) durch den Quotienten zweier Funktionen \( u(x) \) und \( v(x) \) gegeben, geschrieben als:
\[ f(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)} \qquad (1) \]Multiplizieren Sie beide Seiten der obigen Gleichung mit \( v(x) \) und vereinfachen Sie:
\[ f(x)v(x) = u(x) \]Nehmen Sie die Ableitung von beiden Seiten nach \( x \):
\[ (f(x)v(x))' = u'(x) \]Wenden Sie die Produktregel der Differentiation auf die linke Seite an:
\[ f'(x)v(x) + f(x)v'(x) = u'(x) \]Lösen Sie die Gleichung nach \( f'(x) \) auf:
\[ f'(x) = \dfrac{u'(x) - f(x)v'(x)}{v(x)} \]Ersetzen Sie \( f(x) \) durch \( \dfrac{u(x)}{v(x)} \), wie in (1) angegeben:
\[ f'(x) = \dfrac{u'(x) - \dfrac{u(x)}{v(x)}v'(x)}{v(x)} \]Schreiben Sie den Zähler mit einem gemeinsamen Nenner um und vereinfachen Sie:
\[ f'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} \]Beispiele mit Lösungen
Beispiel 1
Finden Sie die Ableitungen von:
a) \( f(x) = \dfrac{x}{\ln x} \) b) \( g(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \)
Lösung zu Beispiel 1
a) Sei \( u(x) = x \) und \( v(x) = \ln x \). Schreiben Sie \( f(x) = \dfrac{u}{v} \).
Unter Verwendung der Quotientenregel (I):
\[ f'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} \qquad (2) \]Da \( u'(x) = 1 \) und \( v'(x) = \dfrac{1}{x} \) ist:
\[ f'(x) = \dfrac{1 \cdot \ln x - x \cdot \dfrac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \dfrac{\ln x - 1}{(\ln x)^2} \]b) Sei \( w(x) = \sin x \) und \( z(x) = \cos x \). Schreiben Sie \( g(x) = \dfrac{w}{z} \).
Unter Verwendung der Quotientenregel (I):
\[ g'(x) = \dfrac{w'(x)z(x) - w(x)z'(x)}{(z(x))^2} \qquad (3) \]Da \( w'(x) = \cos x \) und \( z'(x) = -\sin x \) ist:
\[ g'(x) = \dfrac{\cos x \cos x - \sin x(-\sin x)}{(\cos x)^2} = \dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \]Unter Verwendung der Identität \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \):
\[ g'(x) = \dfrac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \]Beispiel 2
Berechnen Sie die Ableitung von:
\[ h(x) = \dfrac{x \ln x}{\sin x \, e^x} \]Lösung zu Beispiel 2
Sei \( u(x) = x \ln x \) und \( v(x) = \sin x \, e^x \). Schreiben Sie \( h(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)} \).
Unter Verwendung der Quotientenregel (I):
\[ h'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} \qquad (4) \]Berechnen Sie \( u'(x) \) unter Verwendung der Produktregel:
\[ u'(x) = (x)'\ln x + x(\ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \ln x + 1 \]Berechnen Sie \( v'(x) \) unter Verwendung der Produktregel:
\[ v'(x) = (\sin x)'e^x + \sin x(e^x)' = \cos x \, e^x + \sin x \, e^x = (\cos x + \sin x)e^x \]Setzen Sie in (4) ein:
\[ h'(x) = \dfrac{(\ln x + 1)(\sin x \, e^x) - (x \ln x)((\cos x + \sin x)e^x)}{(\sin x \, e^x)^2} \]Klammern Sie \( e^x \) aus und kürzen Sie es weg:
\[ h'(x) = \dfrac{(\ln x + 1)\sin x - x \ln x(\cos x + \sin x)}{\sin^2 x \, e^x} \]Übungen
Finden Sie die Ableitungen der Funktionen:
- \( f(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin x} \)
- \( g(x) = \dfrac{-2x + 4}{e^x} \)
- \( h(x) = \dfrac{2x \, e^x}{x \sin x} \)
Lösungen zu den obigen Übungen
- \( f'(x) = \dfrac{-\sin x \sin x - \cos x \cos x}{\sin^2 x} = \dfrac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x} = -\csc^2 x \)
- \( g'(x) = \dfrac{-2e^x - (-2x + 4)e^x}{(e^x)^2} = -\dfrac{2(-x + 3)}{e^x} \)
- \( h'(x) = \dfrac{(2(1 + x)e^x)(x \sin x) - (2x \, e^x)(\sin x + x \cos x)}{(x \sin x)^2} = 2(\csc x - \cot x \csc x)e^x \)