Finden Sie die Fläche zwischen Kurven mithilfe von bestimmten Integralen. Es werden Tutorials zur Anwendung von Integralen zur Berechnung von Flächen zwischen Kurven mit Beispielen und detaillierten Lösungen vorgestellt. Dieses Tutorial ist eine Fortsetzung des Tutorials zur Fläche unter einer Kurve. Es beginnt mit einigen offensichtlichen Beispielen und geht zu anspruchsvolleren über, die versucht werden sollten, wenn eine gute Vorbereitung auf die Anwendungen von Integralen erreicht werden soll.
Formeln für Flächen zwischen Kurven
Wir können die Fläche zwischen zwei Kurven ermitteln, indem wir die Fläche, die der unteren Kurve entspricht, von der Fläche der oberen Kurve subtrahieren, wie folgt:
1) Wenn \(f \) und \( h \) Funktionen von \( x \) sind, so dass \( f(x) \ge h(x) \) für alle \( x \) im Intervall \( [ x_1 , x_2 ] \) gilt, dann ist die unten gezeigte Fläche (in blau) gegeben durch
\[ \color{red}{\text{Fläche} = \int_{x_1}^{x_2} \left(f(x) - h(x) \right) dx } \quad (1) \]
Abbildung 1. Endliche Fläche zwischen zwei als Funktionen von x definierten Kurven
2 - Wenn \( Z \) und \( X \) Funktionen von y sind, so dass \( Z(y) \ge X(y) \) für alle \( y \) im Intervall \( [ y_1 , y_2 ] \) gilt, dann ist die unten in blau gezeigte Fläche gegeben durch
\[ \color{red}{\text{Fläche} = \int_{y_1}^{y_2} \left(Z(y) - X(y)\right) dy } \quad (2) \]
Abbildung 2. Endliche Fläche zwischen zwei als Funktionen von y definierten Kurven
Beispiele mit Lösungen
Beispiel 1
Finden Sie die Fläche der Region, die von den Kurven eingeschlossen wird, die durch die Gleichungen \( y = x^2 - 2x + 2 \) und \( y = - x^2 + 6 \) definiert sind.
Lösung zu Beispiel 1
Wir zeichnen zuerst die beiden Gleichungen und untersuchen die von den Kurven eingeschlossene Region.
Abbildung 3. Fläche zwischen Kurven Beispiel 1.
Die Region, um deren Fläche es geht, wird oben durch die Kurve \( y = - x^2 + 6 \) und unten durch die Kurve \( y = x^2 - 2x + 2 \) begrenzt. Der linke Endpunkt und der rechte Endpunkt der Region sind die Schnittpunkte der Kurven und können durch Lösen des Gleichungssystems gefunden werden
\[
\begin{cases}
y = x^2 - 2x + 2 \\
y = - x^2 + 6. \\
\end{cases}
\]
Setze \( y \) durch \( x^2 - 2x + 2 \) ein, um \( y \) zu eliminieren und eine Gleichung in einer Variablen zu erhalten.
\[ x^2 - 2x + 2 = - x^2 + 6 \]
in Standardform umschreiben
\[ 2 x^2 - 2x - 4 = 0 \]
linke Seite faktorisieren
\[ 2(x+1)(x-2) = 0 \]
was die Lösungen liefert
\[ x = -1 \quad \text{und} \quad x = 2 \]
Zwischen den Schnittpunkten ist \( -x^2 + 6 \) größer oder gleich \( x^2 - 2x + 2 \).
Sei \( f(x) = -x^2 + 6 \) und \( h(x) = x^2 - 2x + 2 \) und wende Formel (1) oben an, um die Fläche A der Region zwischen den beiden Kurven zu finden.
Die Integrationsgrenzen sind die oben gefundenen x-Koordinaten der Schnittpunkte: \( -1 \) und \( 2 \).
\[
\begin{aligned}
A &= \int_{-1}^{2} \big(f(x) - h(x)\big)\, dx \\
&= \int_{-1}^{2} \big((-x^2 + 6) - (x^2 - 2x + 2)\big)\, dx \\
&= \int_{-1}^{2} \big(-2x^2 + 2x + 4\big)\, dx \\
&= \Big[-\tfrac{2}{3}x^3 + x^2 + 4x\Big]_{-1}^{2} \\
&= 9
\end{aligned}
\]
Schlussfolgerung: Die Fläche der Region, die von den Kurven \( y = x^2 - 2x + 2 \) und \( y = -x^2 + 6 \) eingeschlossen wird, ist gleich \( 9 \).
Beispiel 2
Finden Sie die Fläche der Region, die von den Kurven eingeschlossen wird, die durch die Gleichungen \( y = \sqrt{x + 2} \), \( y = x \) und \( y = 0 \) definiert sind.
Lösung zu Beispiel 2
Wir zeichnen zuerst alle drei Kurven und untersuchen die eingeschlossene Region.
Zwei Methoden zur Lösung dieses Problems
Methode 1
Verwenden Sie die Gleichungen der Kurven als \( y \) als Funktion von \( x \) und integrieren Sie über \( x \) mit der obigen Formel (1).
Abbildung 4. Fläche zwischen Kurven Beispiel 2.
Die Region von \( x = -2 \) bis \( x = 0 \) liegt unter der Kurve \( y = \sqrt{x + 2} \) und daher kann ihre Fläche \( A_1 \) wie folgt berechnet werden
\[
\begin{aligned}
A_1 &= \int_{-2}^{0} \sqrt{x + 2}\, dx \\
&= \left[ \frac{2}{3} (x + 2)^{3/2} \right]_{-2}^{0} \\
&= \frac{2}{3} \big(2^{3/2}\big)
\end{aligned}
\]
Die Region von \( x = 0 \) nach rechts wird durch den Schnittpunkt der beiden Kurven begrenzt, der durch Lösen des Gleichungssystems gefunden wird
\[
\begin{cases}
y = \sqrt{x + 2} \\
y = x \\
\end{cases}
\]
was ergibt
\[ \sqrt{x + 2} = x \]
Quadrieren Sie beide Seiten der obigen Gleichung, um zu erhalten
\[ x + 2 = x^2 \]
Lösen Sie das Obige, um eine gültige Lösung zu finden (denken Sie daran, den Definitionsbereich der Lösungen zu überprüfen; \( \sqrt{x + 2} \) muss reell sein).
\[ x = 2 \]
Die Fläche A2 der Region von x = 0 bis x = 2 (Schnittpunkt) wird mit der Formel für die Fläche zwischen zwei Kurven wie folgt ermittelt
\[
\begin{aligned}
A_2 &= \int_{0}^{2} \big(\sqrt{x + 2} - x\big)\, dx \\
&= \left[ \frac{2}{3}(x + 2)^{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} \\
&= \frac{2}{3}(4)^{3/2} - 2 - \frac{2}{3}(2)^{3/2}
\end{aligned}
\]
Die Gesamtfläche ist gegeben durch
\[A_1 + A_2 = \dfrac{2}{3} (2^{3/2}) + \dfrac{2}{3}(4^{3/2}) - 2 - \dfrac{2}{3} (2^{3/2}) = \dfrac{10}{3} \; \text{unit}^2\]
Methode 2
Verwenden Sie die Gleichungen der Kurven als x als Funktion von y und integrieren Sie über y mit der zweiten obigen Formel.
Die Gleichung \( x \) in Abhängigkeit von \( y \) der Kurve auf der rechten Seite ist \( x = y \); die Gleichung der Kurve auf der linken Seite ist gegeben als
\[ y = \sqrt {x + 2} \]
Quadrieren Sie beide Seiten und lösen Sie nach x auf, um zu erhalten
\[ x = y^2 - 2 \]
Die Region, deren Fläche wir finden müssen, wird von \( y = 0 \) bis \( y = 2 \) (y-Koordinate des Schnittpunkts) begrenzt. Die Gesamtfläche dieser Region ist gegeben durch
\[
\begin{aligned}
\text{Fläche}
&= \int_{0}^{2} \big( y - (y^2 - 2) \big)\, dy \\
&= \int_{0}^{2} \left( -y^2 + y + 2 \right)\, dy \\
&= \left[ -\frac{y^3}{3} + \frac{y^2}{2} + 2y \right]_{0}^{2} \\
&= \frac{10}{3} \; \text{unit}^2
\end{aligned}
\]
Beachten Sie, dass die zweite Methode viel schneller ist.
Beispiel 3
Finden Sie die Fläche der Region, die von den Kurven \( y = \sin(x) \), \( y = \cos(x) \), \( x = 0 \) und \( x = 2 \pi \) eingeschlossen wird.
Lösung zu Beispiel 3
Wir zeichnen zuerst \( sin(x) \) und \( cos(x) \) von \( 0 \) bis \( 2\pi \).
Abbildung 5. Fläche zwischen Kurven Beispiel 3.
Wir müssen zuerst die x-Koordinaten der Schnittpunkte durch Lösen des Gleichungssystems finden
\[ y = \sin(x) \quad \text{und} \quad y = \cos(x) \]
was die Gleichung ergibt
\[ \sin(x) = \cos(x) \]
Teilen Sie beide Seiten durch \( \cos(x) \), um zu erhalten
\[ \tan(x) = 1 \]
Die Lösungen zwischen \( x = 0 \) und \( x = 2\pi \) für die obige Gleichung sind
\( x = \pi/4 \) und \( x = 5 \pi/4 \) wie in der Grafik gezeigt.
Wir identifizieren nun 3 Regionen, begrenzt durch \( x = 0 \), \( x = 2\pi \) und die Schnittpunkte, wie folgt:
Region 1
von \( x = 0 \) bis \( x = \pi/4 \) und ihre Fläche \( A_1 \) ist gegeben durch (unter Berücksichtigung, dass \( \cos x \ge \sin x \) in dieser Region ist)
\[
\begin{aligned}
A_1 &= \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (\cos x - \sin x)\, dx \\
&= \Big[\sin x + \cos x\Big]_{0}^{\frac{\pi}{4}} \\
&= \left(\sin\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right) + \cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)\right)
- (\sin 0 + \cos 0) \\
&= \left(\tfrac{\sqrt{2}}{2} + \tfrac{\sqrt{2}}{2}\right) - (0 + 1) \\
&= \sqrt{2} - 1 \;\text{unit}^2
\end{aligned}
\]
Region 2
von \( x = \pi/4 \) bis \( x = 5\pi/4 \) und ihre Fläche A2 ist gegeben durch (unter Berücksichtigung, dass \( \sin x \ge \cos x \) in dieser Region ist)
\[
\begin{aligned}
A_2 &= \int_{\pi/4}^{5\pi/4} \big(\sin x - \cos x\big)\, dx \\[4pt]
&= \Big[-\cos x - \sin x\Big]_{\pi/4}^{5\pi/4} \\[4pt]
&= \Big[(-\cos(5\pi/4) - \sin(5\pi/4)) - (-\cos(\pi/4) - \sin(\pi/4))\Big] \\[6pt]
&= \Big[-\Big(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Big) - \Big(-\tfrac{\sqrt{2}}{2}\Big)\Big]
- \Big[-\tfrac{\sqrt{2}}{2} - \tfrac{\sqrt{2}}{2}\Big] \\[6pt]
&= \Big[\tfrac{\sqrt{2}}{2} + \tfrac{\sqrt{2}}{2}\Big]
- \Big[-\sqrt{2}\Big] \\[4pt]
&= \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}\;\text{unit}^2
\end{aligned}
\]
Region 3
von \( x = 5\pi/4 \) bis \( x = 2\pi \) und ihre Fläche \( A_3 \) ist gegeben durch (unter Berücksichtigung, dass \( \cos x \ge \sin x \) in dieser Region ist)
\[
\begin{aligned}
A_3 &= \int_{\tfrac{5\pi}{4}}^{2\pi} (\cos x - \sin x)\, dx \\
&= \Big[\sin x + \cos x\Big]_{\tfrac{5\pi}{4}}^{2\pi} \\
&= \big(\sin(2\pi) + \cos(2\pi)\big) - \big(\sin(\tfrac{5\pi}{4}) + \cos(\tfrac{5\pi}{4})\big) \\
&= (0 + 1) - \Big(-\tfrac{\sqrt{2}}{2} - \tfrac{\sqrt{2}}{2}\Big) \\
&= 1 + \sqrt{2}\;\text{unit}^2
\end{aligned}
\]
Die Gesamtfläche \( A \) wird durch Addition der Flächen \( A_1 \), \( A_2 \) und \( A_3 \) erhalten
\[
A = A_1 + A_2 + A_3 = 4 \sqrt 2 \; \text{unit}^2
\]
Beispiel 4
Unten sind \( y = 3x - x^2 \) und \( y = 0.5 x \) grafisch dargestellt. Finden Sie das Verhältnis der Fläche von Region A zur Fläche von Region B.
Abbildung 6. Fläche zwischen Kurven Beispiel 4.
Lösung zu Beispiel 4
Wir berechnen zuerst die Fläche \( A \) der Region A als die Fläche einer Region zwischen zwei Kurven \( y = 3 x - x^2 \) und \( y = 0.5 x \), \( x = 0 \) und dem Schnittpunkt der beiden Kurven. Finden Sie zuerst den Schnittpunkt durch Lösen des Gleichungssystems
\[
\begin{cases}
y = 3x - x^2 \\
y = 0.5 x \\
\end{cases}
\]
was durch Substitution ergibt
\[ 3x - x^2 = 0.5 x \]
\[ 2.5x - x^2 = 0 \]
Faktorisieren
\[ x(2.5 - x) = 0 \]
um zwei Lösungen zu erhalten: \[ x = 0 \quad \text{und} \quad x = 2.5 \]
Die Fläche der Region A wird wie folgt berechnet
\[
\begin{aligned}
A &= \int_{0}^{2.5} \big(3x - x^2 - 0.5x\big)\, dx \\
&= \int_{0}^{2.5} \big(2.5x - x^2\big)\, dx \\
&= \Big[\tfrac{2.5x^2}{2} - \tfrac{x^3}{3}\Big]_{0}^{2.5} \\
&= \tfrac{125}{48}\; \text{units}^2
\end{aligned}
\]
Wir müssen nun die Fläche \( B \) der Region B finden, die leicht berechnet werden kann, indem die Fläche von A von der Gesamtfläche \( A_t = A + B \) unter der Kurve von \( y = 3x - x^2 \) subtrahiert wird, die gegeben ist durch
\[
A_t = \int_{0}^{3} ( 3x - x^2 ) dx = \left [ 3 x^2 / 2 - x^3/3 \right ]_{0}^{3} = 9/2 \; \text{unit}^2
\]
Beachten Sie, dass die Integrationsgrenzen \( 0 \) und \( 3 \) die x-Achsenabschnitte sind, die durch Lösen der Gleichung
\( 3x - x^2 = 0 \) erhalten werden, welche die Lösungen \( 0 \) und \( 3 \) hat.
Das Verhältnis r der Fläche von A zur Fläche von B
\[
\text{r} = \dfrac{A}{B} = \dfrac{A}{A_t - A} = \dfrac{125/48}{9/2 - 125/48} = 125 / 91
\]
Beispiel 5
Finden Sie die Fläche der überlappenden Region der Kreise mit den Gleichungen: \( x^2 + y^2 = 4 \) und \( x^2 + (y - 2)^2 = 1 \).
Lösung zu Beispiel 5
Wir zeichnen zuerst die Gleichungen der gegebenen Kreise, um die überlappende Region zu identifizieren, die hellblau eingefärbt ist.
Abbildung 7. Fläche zwischen überlappenden Kreisen, Beispiel 5.
Die Region, deren Fläche gefunden werden soll, wird durch den Schnittpunkt der beiden Kreise begrenzt, daher müssen wir die x-Koordinaten der beiden Schnittpunkte durch Lösen des Gleichungssystems finden, das durch die Gleichungen der Kreise gegeben ist.
\[
\begin{cases}
x^2 + y^2 = 4 \\
x^2 + (y - 2)^2 = 1 \\
\end{cases}
\]
erweitern Sie die linke Seite der Gleichung \( x^2 + (y - 2)^2 = 1 \)
\[ x^2 + y^2 - 4y + 4 = 1 \]
Subtrahieren Sie nun seitenweise die Gleichungen \( x^2 + y^2 = 4 \) und \( x^2 + y^2 - 4y + 4 = 1 \), um eine Gleichung in einer Variablen zu erhalten
\[ - 4 y + 4 = -3 \]
Lösen Sie nach \( y \) auf
\[ y = 7/4 \]
Wir setzen \( y \) durch \( 7/4 \) in die Gleichung \( x^2 + y^2 = 4 \) ein und lösen nach \( x \) auf, um zwei Lösungen zu erhalten, die die x-Koordinaten der Schnittpunkte der beiden Kreise sind.
\[ x = \sqrt{15} / 4 \quad und \quad x = - \sqrt{15} / 4 \]
Wir müssen nun die Gleichungen der Kurven finden, die die Region bilden, deren Fläche gefunden werden soll.
Lösen Sie \( x^2 + y^2 = 4 \) nach \( y \) auf, um 2 Lösungen zu erhalten.
\[ y = \sqrt{4 - x^2} \quad und \quad y = - \sqrt{4 - x^2} \]
Wir wählen die obere Hälfte \( y = \sqrt{4 - x^2} \) dieses (großen) Kreises, wie in den obigen Grafiken gezeigt.
Lösen Sie \( x^2 + (y - 2)^2 = 1 \) nach y auf, um 2 Lösungen zu erhalten.
\[ y = 2 - \sqrt{1 - x^2} \quad und \quad y = 2 + \sqrt{1 - x^2} \]
Wir wählen die untere Hälfte \( y = 2 - \sqrt{1 - x^2} \) dieses (kleinen) Kreises, wie in den obigen Grafiken gezeigt.
Aufgrund der Symmetrie der beiden Kreise in Bezug auf die y-Achse können wir die halbe Fläche A' berechnen: von \( x = 0 \) bis \(x = \sqrt{15} / 4 \) der überlappenden Region und dann mit 2 multiplizieren. A' wird wie folgt als Fläche zwischen zwei Kurven berechnet.
\[
\text{A'} = \int_{0}^{\sqrt{15} / 4} ( (\sqrt{4 - x^2}) - (2 - \sqrt{1 - x^2}) ) dx
\]
Wenden Sie die Summen- und Differenzregel der Integration an, um das obige Integral wie folgt zu schreiben.
\[
\text{A'} = \int_{0}^{\sqrt{15} / 4} \sqrt{4 - x^2} \; dx - \int_{0}^{\sqrt{15} / 4} 2 \; dx + \int_{0}^{\sqrt{15} / 4} \sqrt{1 - x^2} \; dx
\]
Verwenden Sie die Formel für die Integration.
\[
\int \sqrt{a^2 - x^2}dx = (x/2)\sqrt{a^2-x^2} + \dfrac{a^2}{2} \arcsin(x/a) + C
\]
um zu erhalten
\[
\text{A'} = [ \dfrac{x}{2} \sqrt{4-x^2} + 2 \arcsin(x/2) - 2x + \dfrac{x}{2} \sqrt{1-x^2} + \dfrac{1}{2} \arcsin(x)]_{0}^{\sqrt{15} / 4} \approx 0.70153
\]
Die Gesamtfläche A der überlappenden Region ist das Doppelte
\[
A \approx 1.4 \; \text{unit}^2
\]
Übungen
Finden Sie die Fläche der Region, die von \( y = (x-1)^2 + 3 \) und \( y = 7 \) eingeschlossen wird.
Finden Sie die Fläche der Region, die links von x = 0, rechts von x = 2, oben von \( y = x^3 \) und unten von \( y = -1 \) begrenzt wird.
Finden Sie die Fläche, die von den Kurven \( y = \dfrac{1}{x^2} \), \( y = x \) und \( y = 3 \) eingeschlossen wird.
