Berechnen Sie die Fläche zwischen Kurven mithilfe von bestimmten Integralen. Es werden Tutorials zu den Anwendungen von Integralen zur Berechnung von Flächen zwischen Kurven mit Beispielen und detaillierten Lösungen vorgestellt. Dieses Tutorial ist eine Fortsetzung des Tutorials zur Fläche unter einer Kurve. Es beginnt mit anschaulichen Beispielen und führt zu anspruchsvolleren, die für ein gründliches Verständnis von Integralanwendungen gemeistert werden sollten.
Formeln für Flächen zwischen Kurven
Wir können die Fläche zwischen zwei Kurven finden, indem wir die Fläche der unteren Kurve von der Fläche der oberen Kurve wie folgt abziehen:
1) Wenn \( f \) und \( h \) Funktionen von \( x \) sind, sodass \( f(x) \ge h(x) \) für alle \( x \) im Intervall \( [x_1, x_2] \) gilt, wird die unten (in Blau) dargestellte Fläche angegeben durch:
2) Wenn \( Z \) und \( X \) Funktionen von \( y \) sind, sodass \( Z(y) \ge X(y) \) für alle \( y \) im Intervall \( [y_1, y_2] \) gilt, wird die unten (in Blau) dargestellte Fläche angegeben durch:
Beispiele mit detaillierten Lösungen
Beispiel 1
Finden Sie den Flächeninhalt der Region, die zwischen den durch die Gleichungen \( y = x^2 - 2x + 2 \) und \( y = -x^2 + 6 \) definierten Kurven eingeschlossen ist.
Lösung zu Beispiel 1
Wir zeichnen zunächst die beiden Kurven und untersuchen die zwischen ihnen eingeschlossene Region.
Die Region, deren Fläche gesucht ist, wird nach oben durch die Kurve \( y = -x^2 + 6 \) und nach unten durch die Kurve \( y = x^2 - 2x + 2 \) begrenzt. Die linken und rechten Endpunkte der Region sind die Schnittpunkte der Kurven, die durch Lösen des Gleichungssystems gefunden werden:
\[ \begin{cases} y = x^2 - 2x + 2 \\ y = -x^2 + 6 \end{cases} \]Setzen Sie \( y \) ein, um eine Gleichung mit einer Variablen zu erhalten:
\[ x^2 - 2x + 2 = -x^2 + 6 \]Formen Sie in die Standardform um:
\[ 2x^2 - 2x - 4 = 0 \implies 2(x + 1)(x - 2) = 0 \]Was folgende Lösungen liefert:
\[ x = -1 \quad \text{und} \quad x = 2 \]Zwischen den Schnittpunkten gilt \( -x^2 + 6 \ge x^2 - 2x + 2 \). Sei \( f(x) = -x^2 + 6 \) und \( h(x) = x^2 - 2x + 2 \), und wenden Sie Formel (1) an:
\[ \begin{aligned} A &= \int_{-1}^{2} \big(f(x) - h(x)\big)\, dx \\ &= \int_{-1}^{2} \big((-x^2 + 6) - (x^2 - 2x + 2)\big)\, dx \\ &= \int_{-1}^{2} \big(-2x^2 + 2x + 4\big)\, dx \\ &= \Big[-\tfrac{2}{3}x^3 + x^2 + 4x\Big]_{-1}^{2} = 9 \end{aligned} \]Fazit: Die Fläche der zwischen den Kurven eingeschlossenen Region ist gleich \( 9 \).
Beispiel 2
Finden Sie den Flächeninhalt der Region, die zwischen den durch die Gleichungen \( y = \sqrt{x + 2} \), \( y = x \) und \( y = 0 \) definierten Kurven eingeschlossen ist.
Lösung zu Beispiel 2
Wir untersuchen die Region mit zwei Methoden.
Methode 1: Integration bezüglich \( x \)
Die Region von \( x = -2 \) bis \( x = 0 \) liegt unter der Kurve \( y = \sqrt{x + 2} \), sodass ihre Fläche \( A_1 \) beträgt:
\[ \begin{aligned} A_1 &= \int_{-2}^{0} \sqrt{x + 2}\, dx = \left[ \frac{2}{3} (x + 2)^{3/2} \right]_{-2}^{0} = \frac{2}{3} (2^{3/2}) \end{aligned} \]Die Region von \( x = 0 \) bis zum Schnittpunkt von \( y = \sqrt{x + 2} \) und \( y = x \):
\[ \sqrt{x + 2} = x \implies x + 2 = x^2 \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies x = 2 \]Die Fläche \( A_2 \) von \( x = 0 \) bis \( x = 2 \) beträgt:
\[ \begin{aligned} A_2 &= \int_{0}^{2} \big(\sqrt{x + 2} - x\big)\, dx = \left[ \frac{2}{3}(x + 2)^{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{2}{3}(4)^{3/2} - 2 - \frac{2}{3}(2)^{3/2} \end{aligned} \]Gesamtfläche:
\[ A_1 + A_2 = \dfrac{10}{3} \; \text{unit}^2 \]Methode 2: Integration bezüglich \( y \)
Drücken Sie \( x \) durch \( y \) aus: Die rechte Kurve ist \( x = y \), die linke Kurve ist \( x = y^2 - 2 \). Die Grenzen für \( y \) reichen von \( y = 0 \) bis \( y = 2 \):
\[ \begin{aligned} \text{Area} &= \int_{0}^{2} \big( y - (y^2 - 2) \big)\, dy = \int_{0}^{2} \left( -y^2 + y + 2 \right)\, dy \\ &= \left[ -\frac{y^3}{3} + \frac{y^2}{2} + 2y \right]_{0}^{2} = \frac{10}{3} \; \text{unit}^2 \end{aligned} \]Beachten Sie, dass die zweite Methode viel schneller ist.
Beispiel 3
Finden Sie den Flächeninhalt der Region, die von den Kurven \( y = \sin(x) \), \( y = \cos(x) \), \( x = 0 \) und \( x = 2\pi \) eingeschlossen wird.
Lösung zu Beispiel 3
Finden Sie die Schnittpunkte, an denen \( \sin(x) = \cos(x) \implies \tan(x) = 1 \) gilt. Zwischen \( 0 \) und \( 2\pi \) lauten die Lösungen \( x = \pi/4 \) und \( x = 5\pi/4 \).
Wir unterteilen in 3 Regionen:
- Region 1 (\( 0 \) bis \( \pi/4 \)): \( \cos x \ge \sin x \) \[ A_1 = \int_{0}^{\pi/4} (\cos x - \sin x)\, dx = \sqrt{2} - 1 \]
- Region 2 (\( \pi/4 \) bis \( 5\pi/4 \)): \( \sin x \ge \cos x \) \[ A_2 = \int_{\pi/4}^{5\pi/4} (\sin x - \cos x)\, dx = 2\sqrt{2} \]
- Region 3 (\( 5\pi/4 \) bis \( 2\pi \)): \( \cos x \ge \sin x \) \[ A_3 = \int_{5\pi/4}^{2\pi} (\cos x - \sin x)\, dx = \sqrt{2} + 1 \]
Gesamtfläche \( A = A_1 + A_2 + A_3 = 4\sqrt{2} \; \text{unit}^2 \).
Beispiel 4
Unten sind \( y = 3x - x^2 \) und \( y = 0.5x \) grafisch dargestellt. Finden Sie das Verhältnis des Flächeninhalts von Region A zum Flächeninhalt von Region B.
Lösung zu Beispiel 4
Finden Sie den Schnittpunkt von \( y = 3x - x^2 \) und \( y = 0.5x \):
\[ 3x - x^2 = 0.5x \implies 2.5x - x^2 = 0 \implies x(2.5 - x) = 0 \implies x = 0, \; x = 2.5 \]Fläche von Region A:
\[ A = \int_{0}^{2.5} (3x - x^2 - 0.5x)\, dx = \int_{0}^{2.5} (2.5x - x^2)\, dx = \Big[\tfrac{2.5x^2}{2} - \tfrac{x^3}{3}\Big]_{0}^{2.5} = \dfrac{125}{48} \; \text{units}^2 \]Gesamtfläche unter der Kurve \( y = 3x - x^2 \) von \( x = 0 \) bis \( x = 3 \):
\[ A_t = \int_{0}^{3} (3x - x^2)\, dx = \Big[\tfrac{3x^2}{2} - \tfrac{x^3}{3}\Big]_{0}^{3} = \dfrac{9}{2} \; \text{units}^2 \]Die Fläche von Region B ist \( B = A_t - A \). Das Verhältnis \( r = \dfrac{A}{B} = \dfrac{A}{A_t - A} = \dfrac{125/48}{9/2 - 125/48} = \dfrac{125}{91} \).
Beispiel 5
Finden Sie die Fläche der Überlappungsregion der Kreise mit den Gleichungen: \( x^2 + y^2 = 4 \) und \( x^2 + (y - 2)^2 = 1 \).
Lösung zu Beispiel 5
Entwickeln Sie die Gleichung des zweiten Kreises: \( x^2 + y^2 - 4y + 4 = 1 \). Subtrahieren von \( x^2 + y^2 = 4 \) ergibt \( y = 7/4 \). Einsetzen in \( x^2 + y^2 = 4 \) liefert \( x = \pm\sqrt{15}/4 \).
Die obere Kurve ist \( y = \sqrt{4 - x^2} \) und die untere Kurve ist \( y = 2 - \sqrt{1 - x^2} \). Aus Symmetriegründen ist die Hälfte der Fläche \( A' \) von \( x = 0 \) bis \( x = \sqrt{15}/4 \):
\[ A' = \int_{0}^{\sqrt{15}/4} \left(\sqrt{4 - x^2} - 2 + \sqrt{1 - x^2}\right) dx \approx 0.70153 \]Gesamte Überlappungsfläche \( A = 2A' \approx 1.4 \; \text{unit}^2 \).
Übungen
- Finden Sie den Flächeninhalt der Region, die von \( y = (x - 1)^2 + 3 \) und \( y = 7 \) eingeschlossen wird.
- Finden Sie den Flächeninhalt der Region, die links durch \( x = 0 \), rechts durch \( x = 2 \), oben durch \( y = x^3 \) und unten durch \( y = -1 \) begrenzt wird.
- Finden Sie den Flächeninhalt, der von den Kurven \( y = \dfrac{1}{x^2} \), \( y = x \) und \( y = 3 \) eingeschlossen wird.
Lösungen zu den obigen Übungen
- \( \dfrac{32}{3} \)
- \( 6 \)
- \( 2(3 - \sqrt{3}) \)