Die Fläche einer Ellipse mit Analysis finden
Finden Sie die Fläche einer Ellipse mithilfe von Integralen und Analysis.
Problem :
Finden Sie die Fläche einer Ellipse mit den Halbachsen \( a \) und \( b \).
Lösung des Problems:
Die Gleichung der oben gezeigten Ellipse kann in der Form geschrieben werden
\[ \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \]
Da die Ellipse symmetrisch zur \( x \)- und \( y \)-Achse ist, können wir die Fläche eines Viertels berechnen und mit 4 multiplizieren, um die Gesamtfläche zu erhalten.
Lösen Sie die obige Gleichung nach \( y \) auf
\[ y = \pm b \sqrt{1 - \dfrac{x^2}{a^2}} \]
Der obere Teil der Ellipse (\( y \) positiv) ist gegeben durch
\[ y = b \sqrt{1 - \dfrac{x^2}{a^2}} \]
Wir verwenden nun Integrale, um die Fläche des oberen rechten Viertels der Ellipse wie folgt zu finden
\[ \dfrac{1}{4} \text{ Fläche der Ellipse } = \displaystyle \int_{0}^{a} b \sqrt{1 - \dfrac{x^2}{a^2}} \, dx \]
Wir führen nun die Substitution \( \quad \sin t = \dfrac{x}{a} \) durch, so dass \( dx = a \cos t \, dt \) und die Fläche ist gegeben durch
\[ \dfrac{1}{4} \text{ Fläche der Ellipse } = \displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} a b ( \sqrt{1 - \sin^2 t} ) \cos t \, dt \]
\[ \sqrt{1 - \sin^2 t} = \cos t \] da \( t \) von \( 0 \) bis \( \dfrac{\pi}{2} \) variiert, daher
\[ \dfrac{1}{4} \text{ Fläche der Ellipse } = \displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} a b \cos^2 t \, dt \]
Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \cos^2 t = \dfrac{\cos 2t + 1}{2} \), um den Integranden zu linearisieren;
\[ \dfrac{1}{4} \text{ Fläche der Ellipse } = \displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} a b ( \dfrac{\cos 2t + 1}{2} ) \, dt \]
Berechnen Sie das Integral
\[ \dfrac{1}{4} \text{ Fläche der Ellipse } = \dfrac{1}{2} b a [ \dfrac{1}{2} \sin 2t + t ] \bigg|_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \]
\[ = \dfrac{1}{4} \pi a b \]
Erhalten Sie die Gesamtfläche der Ellipse durch Multiplikation mit 4
\[ \text{Fläche der Ellipse} = 4 \times \dfrac{1}{4} \pi a b = \pi a b \]
Weitere Referenzen zu
Integralen und deren Anwendungen in der Analysis.