Berechnen Sie den Flächeninhalt einer Ellipse mithilfe von Integralen und der Analysis.
Lösung der Aufgabe
Die Gleichung der oben gezeigten Ellipse kann in folgender Form geschrieben werden:
\[ \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \]Da die Ellipse sowohl bezüglich der \( x \)- als auch der \( y \)-Achse symmetrisch ist, können wir die Fläche eines Viertels berechnen und diese mit 4 multiplizieren, um die gesamte Fläche zu erhalten.
Lösen Sie die obige Gleichung nach \( y \) auf:
\[ y = \pm b \sqrt{1 - \dfrac{x^2}{a^2}} \]Der obere Teil der Ellipse (\( y \) positiv) ist gegeben durch:
\[ y = b \sqrt{1 - \dfrac{x^2}{a^2}} \]Wir verwenden nun bestimmte Integrale, um den Flächeninhalt des oberen rechten Viertels der Ellipse zu berechnen:
Wir führen nun die trigonometrische Substitution \( \sin t = \dfrac{x}{a} \) durch, was \( x = a \sin t \) und \( dx = a \cos t \, dt \) liefert. Das Integral wird zu:
\[ \dfrac{1}{4} \text{Ellipsenfläche} = \displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} a b \left(\sqrt{1 - \sin^2 t}\right) \cos t \, dt \]Da \( \sqrt{1 - \sin^2 t} = \cos t \) für \( t \) von \( 0 \) bis \( \dfrac{\pi}{2} \) gilt, haben wir:
\[ \dfrac{1}{4} \text{Ellipsenfläche} = \displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} a b \cos^2 t \, dt \]Verwenden Sie die Reduktionsformel \( \cos^2 t = \dfrac{\cos 2t + 1}{2} \), um den Integranden zu linearisieren:
\[ \dfrac{1}{4} \text{Ellipsenfläche} = \displaystyle \int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} a b \left( \dfrac{\cos 2t + 1}{2} \right) dt \]Berechnen Sie das Integral:
\[ \dfrac{1}{4} \text{Ellipsenfläche} = \dfrac{1}{2} ab \left[ \dfrac{1}{2} \sin 2t + t \right]_{0}^{\dfrac{\pi}{2}} = \dfrac{1}{4} \pi ab \]Ermitteln Sie die gesamte Ellipsenfläche durch Multiplikation mit 4: