Wie man die Fläche unter Kurven mit bestimmten Integralen findet; Tutorials mit Beispielen und detaillierten Lösungen werden vorgestellt. Eine Reihe von Übungen mit Antworten befindet sich am Ende der Seite. Ebenfalls enthalten sind Tutorials zur Fläche zwischen Kurven.
Fläche unter einer Kurve: Wiederholung
Abbildung 1. Annäherung der Fläche unter einer Kurve durch die Summe der Rechteckflächen.
Wir können die Fläche unter der Kurve von \( x = x_1 \) bis \( x = x_n \) annähern, indem wir die gesamte Fläche in Rechtecke unterteilen.
Zum Beispiel ist die Fläche des ersten Rechtecks (in schwarz) gegeben durch:
\[ y \Delta x = f(x_1)\Delta x \]
und dann addieren wir die Flächen dieser Rechtecke wie folgt:
\[ \text{Angenäherte Fläche} = \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\Delta x \]
Wenn Δx im obigen Ausdruck für die angenäherte Fläche klein genug wird, nähert sich die Summe der Rechteckflächen dem exakten Wert der Fläche unter der Kurve an.
Daher definieren wir die Fläche wie folgt:
\[ \text{Exakte Fläche} = \lim_{\Delta x \to 0} \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\Delta x \]
Der obige Grenzwert existiert und hat die folgende Schreibweise unter Verwendung des Konzepts der bestimmten Integrale (in rot).
\[ \text{Exakte Fläche} = \lim_{\Delta x \to 0} \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\Delta x = \large \color{red} {\int_{x_1}^{x_2} f(x)\,dx } \]
Wir stellen nun mehrere Beispiele vor, wie man Integrale verwendet, um die Fläche unter einer Kurve zu finden. Detaillierte Lösungen zu diesen Beispielen sind ebenfalls enthalten.
Beispiele mit detaillierten Lösungen
Beispiel 1
Finden Sie die Fläche der Region, die durch \( y = 2x \), \( y = 0 \), \( x = 0 \) und \( x = 2 \) begrenzt wird (siehe Abbildung unten).
Abbildung 2. Fläche unter einer Kurve Beispiel 1.
Lösung zu Beispiel 1
Zur Flächenberechnung werden zwei Methoden verwendet.
Methode 1 Dieses Problem kann mit der Formel für die Fläche eines Dreiecks gelöst werden.
\[ \text{Fläche} = (1/2) \times \text{Grundseite} \times \text{Höhe} = (1/2) \times 2 \times 4 = 4 \; Einheit^2 \]
Methode 2 mit Analysis
Wir werden nun bestimmte Integrale verwenden, um die oben definierte Fläche zu finden. Wenn wir \( f(x) = 2x \) setzen, schreiben wir mit der Formel für die Fläche, die durch das obige bestimmte Integral gegeben ist:
\[
\text{Fläche} = \int_{0}^{2} (2x) dx = 2 \int_{0}^{2} x dx = 2 \left [(\dfrac{x^2}{2})\right]_0^2 = 4 \; \text{Einheit}^2
\]
Die erste Methode ist schnell, funktioniert aber, weil die Fläche die eines Dreiecks ist; die zweite Methode hingegen funktioniert auch für andere Figuren als Dreiecke.
Beispiel 2
Finden Sie die Fläche der Region, die durch \( y = 0.1 x^3 \), \( y = 0 \), \(x = 2 \) und \( x = 4 \) begrenzt wird.
Lösung zu Beispiel 2
Wir zeichnen zunächst die gegebene Funktion und identifizieren die Region, deren Fläche bestimmt werden soll.
Abbildung 3. Fläche unter einer Kurve Beispiel 2 , \( y = 0.1 x^3 \), x = 2 , x = 4 und y = 0.
Verwenden Sie die bestimmten Integrale, um die Fläche wie folgt zu finden:
\[
\begin{aligned}
\text{Fläche} &= \int_{2}^{4} (0.1x^3)\,dx \\
&= 0.1 \int_{2}^{4} x^3\,dx \\
&= 0.1 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_2^4 \\
&= 0.1 \left( \frac{4^4}{4} - \frac{2^4}{4} \right) \\
&= 6 \;\text{Einheit}^2
\end{aligned}
\]
Beispiel 3
Finden Sie die Fläche der endlichen Region, die durch die Kurve von \( y = 3(x - 1)(x - 3) \) und die x-Achse begrenzt wird.
Lösung zu Beispiel 3
Beachten Sie, dass die Integrationsgrenzen nicht angegeben sind und daher eine detaillierte Untersuchung des Graphen der gegebenen Funktion notwendig ist. Der Graph der gegebenen Funktion zeigt, dass es zwei x-Achsenabschnitte gibt, die leicht zu finden sind, da die gegebene Funktion in faktorisierter Form vorliegt: \( x = 1 \) und \( x = 2 \). Die endliche Region wird durch die Kurve von \( y = 3(x - 1)(x - 3) \), \( x = 1 \), \( x = 3 \) und die x-Achse begrenzt, wie im folgenden Graphen dargestellt.
Abbildung 4. Endliche Fläche zwischen der Kurve Beispiel 3, den x-Achsenabschnitten und der x-Achse (y = 0).
Verwenden Sie die bestimmten Integrale, um die Fläche wie folgt zu finden:
\[
\begin{aligned}
\int_{1}^{3} 3(x - 1)(x - 3)\,dx
&= 3 \int_{1}^{3} (x^2 - 4x + 3)\,dx \\
&= 3 \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{4x^2}{2} + 3x \right]_1^3 \\
&= 3 \left[ \left(\frac{3^3}{3} - \frac{4(3^2)}{2} + 3(3)\right)
- \left(\frac{1^3}{3} - \frac{4(1^2)}{2} + 3(1)\right) \right] \\
&= -4
\end{aligned}
\]
BEACHTEN Sie, dass das bestimmte Integral negativ ist, und das liegt daran, dass y = 3(x - 1)(x - 3) zwischen den Integrationsgrenzen x = 1 und x = 3 negativ ist. Die Fläche ist der Absolutwert von -4 und beträgt daher 4 Einheit2.
Beispiel 4
Finden Sie die Fläche der endlichen Region, die durch die Kurve von \( y = - 0.25 x (x + 2)(x - 1)(x - 4) \) und die x-Achse begrenzt wird.
Lösung zu Beispiel 4
Die gegebene Funktion ist ein Polynom 4. Grades mit negativem Leitkoeffizienten. Wir zeichnen die gegebene Funktion und untersuchen sie, um die endliche Region zu identifizieren, die durch die Kurve und die x-Achse begrenzt wird.
Der Graph der gegebenen Funktion hat 3 x-Achsenabschnitte: \(x = - 2 \), \( 1 \) und \( 4 \). Die endliche Region besteht aus drei Teilregionen.
Die erste von \( x = - 2 \) bis \( x = 0 \). Die zweite Region von \( x = 0 \) bis \( x = 1 \) und die dritte von \( x = 1 \) bis \( x = 4\).
Abbildung 5. Endliche Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse in Beispiel 4.
Berechnen wir die folgenden bestimmten Integrale, wobei wir die x-Achsenabschnitte als Grenzen nehmen.
Region 1
\[
I_1 = \int_{-2}^{0} (- 0.25 x (x + 2)(x - 1)(x - 4)) dx
\]
Multiplizieren Sie \( x (x + 2)(x - 1)(x - 4) \) aus und setzen Sie \( - 0.25 \) vor das Integral.
\[
\begin{aligned}
I_1&= -0.25 \int_{-2}^{0} \left( x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 8x \right) \, dx \\
&= -0.25 \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{3x^4}{4} - \frac{6x^3}{3} + \frac{8x^2}{2} \right]_{-2}^{0} = 3.4
\end{aligned}
\]
Region 2
\[
\begin{aligned}
I_2 &= \int_{0}^{1} \left(-0.25\, x (x + 2)(x - 1)(x - 4)\right)\,dx \\
&= -0.25 \int_{0}^{1} \left(x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 8x\right)\,dx \\
&= -0.25 \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{3x^4}{4} - \frac{6x^3}{3} + \frac{8x^2}{2} \right]_{0}^{1} \\
&= -0.3625
\end{aligned}
\]
Region 3
\[
\begin{aligned}
I_3 &= \int_{1}^{4} \big(-0.25\,x(x + 2)(x - 1)(x - 4)\big)\,dx \\
&= -0.25 \int_{1}^{4} \left(x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 8x\right)\,dx \\
&= -0.25 \left[ \frac{x^5}{5} - \frac{3x^4}{4} - \frac{6x^3}{3} + \frac{8x^2}{2} \right]_{1}^{4} \\
&= 13.1625
\end{aligned}
\]
Beachten Sie, dass \( I_2 \) negativ ist, weil zwischen \( x = 0 \) und \(x = 1 \), \( y = - 0.25 x (x + 2)(x - 1)(x - 4) \) negativ ist. Daher müssen wir den Absolutwert von \( I_2 \) nehmen, um die Fläche der Region von \( x = 0 \) bis \( x = 1 \) zu finden. Die Gesamtfläche ergibt sich daher zu:
\[
Fläche = I_1 + | I_2 | + I_3 = 3.4 + |-0.3625| + 13.1625 = 16.925 \; \text{Einheit}^2
\]
Beispiel 5
Finden Sie \( k \) so, dass die Fläche der endlichen Region, die durch die Kurve von \( y = - x( x - k) \) und die x-Achse begrenzt wird, gleich \(4/3\) Einheiten2 ist.
Lösung zu Beispiel 5
Der Graph der gegebenen Funktion ist eine nach unten geöffnete Parabel und hat zwei x-Achsenabschnitte: x = 0 und x = k. Die endliche Region, die durch die Kurve und die x-Achse begrenzt wird, ist an den x-Achsenabschnitten begrenzt, wie im folgenden Graphen dargestellt.
Abbildung 6. Endliche Fläche zwischen Parabel und x-Achse in Beispiel 5.
Die Fläche zwischen der Kurve und y = 0 ist gegeben durch
\[
\text{Fläche} = \int_{0}^{k} (- x( x - k)) dx
\]
Multiplizieren Sie \( - x( x - k) \) aus
\[
= \int_{-2}^{0} (- x^2 + kx ) dx = \left [ - x^3/3 + k x^2/2 \right ]_{0}^k = -k^3 / 3 + k^3 / 2 = k^3 / 6
\]
Wie erwartet, enthält der Ausdruck für die Fläche den Parameter k, der berechnet wird, indem die Fläche gleich \( 4/3 \) gesetzt wird. Daher
\[
k^3 / 6 = 4 / 3
\]
Lösen Sie die obige Gleichung nach k auf, um zu erhalten
\[
k = 2
\]
Übungen
Finden Sie die Fläche der endlichen Region, die durch \( y = -(x+1)(x-3) \) und \( y = 0 \) eingeschlossen wird.
Finden Sie die Fläche der endlichen Region, die durch \( y = sin(x) \), \( y = 0 \), \( x = 0 \) und \( x = 2\pi\) begrenzt wird.
Finden Sie ein positives \( k \) so, dass die Fläche unter der Kurve von \( y = (x + 2) \), den vertikalen Achsen \( x = 0 \), \(x = k \) und der x-Achse gleich \(2 \) ist.
