Wie man die Fläche unter Kurven mithilfe von bestimmten Integralen berechnet; es werden Tutorials mit Beispielen und detaillierten Lösungen vorgestellt. Am Ende der Seite finden Sie eine Reihe von Übungen mit Antworten. Tutorials zur Fläche zwischen Kurven sind ebenfalls enthalten.
Fläche unter einer Kurve: Wiederholung
Wir können die Fläche unter der Kurve von \( x = x_1 \) bis \( x = x_n \) annähern, indem wir die Gesamtfläche in Rechtecke unterteilen.
Beispielsweise ist die Fläche des ersten Rechtecks gegeben durch:
\[ y \Delta x = f(x_1)\Delta x \]Das Addieren der Flächen dieser Rechtecke ergibt:
\[ \text{Approximate Area} = \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\Delta x \]Wenn \( \Delta x \) in der obigen Annäherung klein genug wird, nähert sich die Summe der Rechtecksflächen dem exakten Wert der Fläche unter der Kurve an.
Daher definieren wir die exakte Fläche über einen Grenzwert (Limes):
\[ \text{Exact Area} = \lim_{\Delta x \to 0} \sum_{i=1}^{n-1} f(x_i)\Delta x \]Unter Verwendung des Konzepts bestimmter Integrale wird dieser Grenzwert wie folgt bezeichnet:
Wir präsentieren nun mehrere Beispiele zur Verwendung von Integralen zur Berechnung der Fläche unter einer Kurve, komplett mit detaillierten Lösungen.
Beispiele mit detaillierten Lösungen
Beispiel 1
Finden Sie den Flächeninhalt der Region, die durch \( y = 2x \), \( y = 0 \), \( x = 0 \) und \( x = 2 \) begrenzt wird.
Lösung zu Beispiel 1
Methode 1: Geometrische Formel für die Dreiecksfläche
\[ \text{Area} = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{height} = \frac{1}{2} \times 2 \times 4 = 4 \; \text{unit}^2 \]Methode 2: Verwendung der Analysis (bestimmte Integrale)
Sei \( f(x) = 2x \):
\[ \text{Area} = \int_{0}^{2} (2x) \, dx = 2 \int_{0}^{2} x \, dx = 2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = 4 \; \text{unit}^2 \]Die erste Methode ist für Dreiecke schnell, aber die Analysis funktioniert für beliebige Kurven.
Beispiel 2
Finden Sie den Flächeninhalt der Region, die durch \( y = 0.1x^3 \), \( y = 0 \), \( x = 2 \) und \( x = 4 \) begrenzt wird.
Lösung zu Beispiel 2
Verwenden Sie bestimmte Integrale, um die Fläche zu finden:
\[ \begin{aligned} \text{Area} &= \int_{2}^{4} (0.1x^3)\,dx \\ &= 0.1 \int_{2}^{4} x^3\,dx \\ &= 0.1 \left[ \frac{x^4}{4} \right]_2^4 \\ &= 0.1 \left( \frac{4^4}{4} - \frac{2^4}{4} \right) = 6 \; \text{unit}^2 \end{aligned} \]Beispiel 3
Finden Sie den Flächeninhalt der endlichen Region, die von der Kurve \( y = 3(x - 1)(x - 3) \) und der x-Achse begrenzt wird.
Lösung zu Beispiel 3
Die Integrationsgrenzen sind die x-Achsenabschnitte, die aus der faktorisierten Form deutlich als \( x = 1 \) und \( x = 3 \) hervorgehen.
\[ \begin{aligned} \int_{1}^{3} 3(x - 1)(x - 3)\,dx &= 3 \int_{1}^{3} (x^2 - 4x + 3)\,dx \\ &= 3 \left[ \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x \right]_1^3 \\ &= 3 \left[ (9 - 18 + 9) - (\frac{1}{3} - 2 + 3) \right] = -4 \end{aligned} \]Beachten Sie, dass das bestimmte Integral negativ ist, da die Kurve zwischen \( x = 1 \) und \( x = 3 \) unterhalb der x-Achse verläuft. Die tatsächliche Fläche ist der Betrag: \( |-4| = 4 \; \text{unit}^2 \).
Beispiel 4
Finden Sie den Flächeninhalt der endlichen Region, die von der Kurve \( y = -0.25x(x + 2)(x - 1)(x - 4) \) und der x-Achse begrenzt wird.
Lösung zu Beispiel 4
Die x-Achsenabschnitte sind \( x = -2 \), \( x = 1 \) und \( x = 4 \). Die Region ist in drei Teile unterteilt: von \( -2 \) bis \( 0 \), von \( 0 \) bis \( 1 \) und von \( 1 \) bis \( 4 \).
Region 1 (\( [-2, 0] \)):
\[ I_1 = -0.25 \int_{-2}^{0} (x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 8x) \, dx = 3.4 \]Region 2 (\( [0, 1] \)):
\[ I_2 = -0.25 \int_{0}^{1} (x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 8x) \, dx = -0.3625 \]Region 3 (\( [1, 4] \)):
\[ I_3 = -0.25 \int_{1}^{4} (x^4 - 3x^3 - 6x^2 + 8x) \, dx = 13.1625 \]Unter Verwendung der Beträge für negative Regionen ist die Gesamtfläche:
\[ \text{Area} = I_1 + |I_2| + I_3 = 3.4 + |-0.3625| + 13.1625 = 16.925 \; \text{unit}^2 \]Beispiel 5
Finden Sie \( k \), sodass der Flächeninhalt der endlichen Region, die von \( y = -x(x - k) \) und der x-Achse begrenzt wird, gleich \( 4/3 \) Einheiten\(^2\) ist.
Lösung zu Beispiel 5
Die Schnittpunkte liegen bei \( x = 0 \) und \( x = k \):
\[ \text{Area} = \int_{0}^{k} (-x^2 + kx) \, dx = \left[ -\frac{x^3}{3} + \frac{kx^2}{2} \right]_{0}^{k} = \frac{k^3}{6} \]Setzt man dies gleich \( 4/3 \):
\[ \frac{k^3}{6} = \frac{4}{3} \implies k^3 = 8 \implies k = 2 \]Übungen
- Finden Sie den Flächeninhalt der endlichen Region, die von \( y = -(x + 1)(x - 3) \) und \( y = 0 \) eingeschlossen wird.
- Finden Sie den Flächeninhalt der endlichen Region, die durch \( y = \sin(x) \), \( y = 0 \), \( x = 0 \) und \( x = 2\pi \) begrenzt wird.
- Finden Sie \( k > 0 \), sodass die Fläche unter der Kurve \( y = x + 2 \) zwischen den vertikalen Achsen \( x = 0 \), \( x = k \) und der x-Achse gleich \( 2 \) ist.
Antworten zu den obigen Übungen
- \( \dfrac{32}{3} \)
- \( 4 \)
- \( k = 2\sqrt{2} - 2 \)