Hier finden Sie eine Anleitung zur Berechnung von Integralen, die das Produkt von sin x oder cos x mit Exponentialfunktionen enthalten. Übungen mit Antworten befinden sich am Ende der Seite.
Alle in den folgenden Beispielen enthaltenen Integrale werden mit der Partiellen Integration berechnet, die wie folgt definiert ist:
\[
\int U \dfrac{dV}{dx} \, dx = UV - \int \dfrac{dU}{dx} V \, dx
\]
Die Partielle Integration hilft bei der Berechnung von Integralen über Produkte von Funktionen der Form U dV/dx .
In den folgenden Beispielen ist C die Integrationskonstante.
Berechnen Sie das Integral
\[ \int \sin(x) e^x \, dx \]Lösung von Beispiel 1:
Sei \( u = \sin(x) \) und \( \dfrac{dv}{dx} = e^x \), woraus \( u' = \cos(x) \) und \( v = \displaystyle \int e^x \, dx = e^x \) folgen.
Wenden Sie die Partielle Integration
\[ \int U \dfrac{dV}{dx} \, dx = UV - \int \dfrac{dU}{dx} V \, dx \]wie folgt an:
\[ \int \sin(x)e^x \, dx = \sin(x)e^x - \int \cos(x)e^x \, dx \]Wir wenden die Partielle Integration (ein weiteres Mal) auf den Term \( \displaystyle \int \cos(x)e^x \, dx \) im obigen Ausdruck an, also
\[ \int \sin(x)e^x \, dx = \sin(x)e^x - \cos(x)e^x - \int \sin(x)e^x \, dx \]Beachten Sie, dass der Term auf der rechten Seite das Integral ist, das wir berechnen möchten. Daher kann die obige Gleichung wie folgt umgeschrieben werden:
\[ 2 \int \sin(x)e^x \, dx = \sin(x)e^x - \cos(x)e^x \]Daher ist das Integral gegeben durch:
\[ \int \sin(x)e^x \, dx = \dfrac{1}{2} e^x (\sin(x) - \cos(x)) + C \]Berechnen Sie das Integral
\[ \int \cos(2x) \, e^x \, dx \]Lösung von Beispiel 2:
Substitution: Sei \( u = \cos(2x) \) und \( \dfrac{dv}{dx} = e^x \), woraus \( u' = - 2 \sin(2x) \) und \( v = \displaystyle \int e^x \, dx = e^x \) folgen.
Wenden Sie die Partielle Integration an:
\[ \begin{align*} \int \cos(2x)e^x \, dx &= \cos(2x)e^x - \int e^x \, \dfrac{d}{dx}[\cos(2x)] \, dx \\[6pt] &= \cos(2x)e^x - \int e^x (-2\sin(2x)) \, dx \\[6pt] &= \cos(2x)e^x + 2 \int e^x \sin(2x) \, dx \end{align*} \]Wenden Sie die Partielle Integration auf den Term auf der rechten Seite an:
\[ \begin{align*} \int \cos(2x)e^x \, dx &= \cos(2x)e^x + 2 \left( \sin(2x)e^x - 2 \int \cos(2x)e^x \, dx \right) \\[6pt] &= \cos(2x)e^x + 2\sin(2x)e^x - 4 \int \cos(2x)e^x \, dx \end{align*} \]Beachten Sie, dass der Term auf der rechten Seite \( \int \cos(2x)e^x \, dx \) mit dem Integral, das wir berechnen möchten, zusammenhängt. Wir fassen zusammen und schreiben:
\[ 5 \int \cos(2x)e^x \, dx = \cos(2x) \, e^x + 2 \sin(2x) \, e^x \]Das gegebene Integral wird berechnet als:
\[ \int \cos(2x) \, e^x \, dx = \dfrac{1}{5} e^x ( \cos(2x) + 2 \sin(2x) ) + C \]Berechnen Sie das Integral
\[ \int \sin(3x + 2) \, e^{3x} \, dx \]Lösung von Beispiel 3:
Substitution: Sei \( u = \sin(3x + 2) \) und \( \dfrac{dv}{dx} = e^{3x} \), woraus \( u' = 3 \cos(3x + 2) \) und \( v = \displaystyle \int e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{3} e^{3x} \) folgen.
Wenden Sie die Partielle Integration an:
\[ \int \sin(3x + 2) \, e^{3x} \, dx = \sin(3x + 2) \dfrac{1}{3} e^{3x} - \int \cos(3x + 2) \dfrac{1}{3} e^{3x} \, dx \]Wenden Sie die Partielle Integration ein weiteres Mal auf den Term \( \int \cos(3x + 2) e^{3x} \, dx \) an:
\[ \displaystyle \int \sin(3x + 2) e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{3} \sin(3x + 2) e^{3x} - ( \cos(3x + 2) \dfrac{1}{3} e^{3x} + \int \sin(3x + 2) e^{3x} \, dx ) \]Beachten Sie, dass der Term auf der rechten Seite das zu berechnende Integral ist. Daher kann die obige Gleichung wie folgt umgeschrieben werden:
\[ 2 \displaystyle \int \sin(3x + 2) e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{3} \sin(3x + 2) e^{3x} - \cos(3x + 2)\dfrac{1}{3} e^{3x} \]Teilen Sie alle Terme durch 2 und vereinfachen Sie:
\[ \int \sin(3x + 2) e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{6} e^{3x} ( \sin(3x + 2) - \cos(3x + 2) ) + C \]Berechnen Sie das Integral
\[ \int \cos(4x) \, e^{2x + 5} \, dx \]Lösung von Beispiel 4:
Substitution: Sei \( u = \cos(4x) \) und \( \dfrac{dv}{dx} = e^{2x + 5} \) und wenden Sie die Partielle Integration zweimal an:
\[ \begin{align*} \int \cos(4x)e^{2x + 5} \, dx &= \tfrac{1}{2} e^{2x + 5} \cos(4x) + 2 \int e^{2x + 5} \sin(4x) \, dx \\[6pt] &= \tfrac{1}{2} e^{2x + 5} \cos(4x) + 2 \left( \tfrac{1}{2} e^{2x + 5} \sin(4x) - 2 \int e^{2x + 5} \cos(4x) \, dx \right) \end{align*} \]Der Term auf der rechten Seite \( \int e^{2x + 5} \cos(4x) \, dx \) ist das zu berechnende Integral, also:
\[ \int \cos(4x) \, e^{2x + 5} \, dx = \dfrac{1}{10} e^{2x + 5} ( \cos(4x) + 2 \sin(4x) ) + C \]Berechnen Sie die folgenden Integrale.