Integrale mit sin x, cos x und Exponentialfunktionen

Sei \( u = \sin(x) \) und \( \dfrac{dv}{dx} = e^x \), was \( u' = \cos(x) \) und \( v = \displaystyle \int e^x \, dx = e^x \) liefert.

Unter Verwendung der partiellen Integration:

\[ \int \sin(x)e^x \, dx = \sin(x)e^x - \int \cos(x)e^x \, dx \]

Wenden Sie die partielle Integration ein zweites Mal auf den Term \( \displaystyle \int \cos(x)e^x \, dx \) an:

\[ \int \sin(x)e^x \, dx = \sin(x)e^x - \left( \cos(x)e^x - \int (-\sin(x))e^x \, dx \right) \] \[ \int \sin(x)e^x \, dx = \sin(x)e^x - \cos(x)e^x - \int \sin(x)e^x \, dx \]

Da das Integral auf der rechten Seite dasselbe wie das ursprüngliche Integral ist, können wir sie zusammenfassen, indem wir auf beiden Seiten \( \int \sin(x)e^x \, dx \) addieren:

\[ 2 \int \sin(x)e^x \, dx = \sin(x)e^x - \cos(x)e^x \]

Division durch 2 liefert das Endergebnis:

\[ \int \sin(x)e^x \, dx = \dfrac{1}{2} e^x (\sin(x) - \cos(x)) + C \]

Sei \( u = \cos(2x) \) und \( \dfrac{dv}{dx} = e^x \), was \( u' = -2\sin(2x) \) und \( v = e^x \) ergibt.

Wenden Sie die partielle Integration an:

\[ \begin{aligned} \int \cos(2x)e^x \, dx &= \cos(2x)e^x - \int e^x (-2\sin(2x)) \, dx \\[6pt] &= \cos(2x)e^x + 2 \int e^x \sin(2x) \, dx \end{aligned} \]

Wenden Sie die partielle Integration auf das neue Integral \( \int e^x \sin(2x) \, dx \) an (wobei \( w = \sin(2x) \) und \( dw/dx = e^x \) gesetzt wird):

\[ \begin{aligned} \int \cos(2x)e^x \, dx &= \cos(2x)e^x + 2 \left( \sin(2x)e^x - 2 \int \cos(2x)e^x \, dx \right) \\[6pt] &= \cos(2x)e^x + 2\sin(2x)e^x - 4 \int \cos(2x)e^x \, dx \end{aligned} \]

Zusammenfassen der identischen Integrale auf der linken Seite:

\[ 5 \int \cos(2x)e^x \, dx = e^x (\cos(2x) + 2\sin(2x)) \]

Somit lautet das Integral:

\[ \int \cos(2x) \, e^x \, dx = \dfrac{1}{5} e^x ( \cos(2x) + 2 \sin(2x) ) + C \]

Sei \( u = \sin(3x + 2) \) und \( \dfrac{dv}{dx} = e^{3x} \), was \( u' = 3\cos(3x + 2) \) und \( v = \dfrac{1}{3}e^{3x} \) liefert.

Wenden Sie die partielle Integration an:

\[ \int \sin(3x + 2) \, e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{3}\sin(3x + 2)e^{3x} - \int \cos(3x + 2) \left(\dfrac{1}{3}e^{3x}\right) \, dx \]

Wenden Sie die partielle Integration noch einmal auf \( \int \cos(3x + 2) e^{3x} \, dx \) an:

\[ \int \sin(3x + 2) e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{3} \sin(3x + 2) e^{3x} - \left( \dfrac{1}{3}\cos(3x + 2)e^{3x} + \int \sin(3x + 2)e^{3x} \, dx \right) \]

Zusammenfassen der Integrale:

\[ 2 \int \sin(3x + 2) e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{3} e^{3x} \left( \sin(3x + 2) - \cos(3x + 2) \right) \]

Division durch 2:

\[ \int \sin(3x + 2) e^{3x} \, dx = \dfrac{1}{6} e^{3x} ( \sin(3x + 2) - \cos(3x + 2) ) + C \]

Sei \( u = \cos(4x) \) und \( \dfrac{dv}{dx} = e^{2x + 5} \). Zweimalige Anwendung der partiellen Integration ergibt:

\[ \begin{aligned} \int \cos(4x)e^{2x + 5} \, dx &= \tfrac{1}{2} e^{2x + 5} \cos(4x) + 2 \int e^{2x + 5} \sin(4x) \, dx \\[6pt] &= \tfrac{1}{2} e^{2x + 5} \cos(4x) + 2 \left( \tfrac{1}{2} e^{2x + 5} \sin(4x) - 2 \int e^{2x + 5} \cos(4x) \, dx \right) \end{aligned} \]

Vereinfachen und Zusammenfassen der Terme:

\[ 5 \int \cos(4x) e^{2x+5} \, dx = \dfrac{1}{2} e^{2x+5} \cos(4x) + e^{2x+5} \sin(4x) \]

Division durch 5 liefert die endgültige Lösung:

\[ \int \cos(4x) \, e^{2x + 5} \, dx = \dfrac{1}{10} e^{2x + 5} ( \cos(4x) + 2 \sin(4x) ) + C \]