Definition und Berechnung uneigentlicher Integrale mit unendlichen Integrationsgrenzen anhand von Beispielen mit detaillierten Lösungen und Erklärungen. Weitere Übungen mit Lösungen sind enthalten.
Definition uneigentlicher Integrale mit unendlichen Intervallen [1] [2]
Wir betrachten 3 Arten von Integralen mit unendlichen Intervall(en):
1 – Die obere Grenze des Integrals ist unendlich
Ein Integral der Form \( \displaystyle \int_a^{\infty} f(x) \, dx \) existiert und ist konvergent, wenn \( \int_a^{b} f(x) \, dx \) für alle \( b \ge a \) existiert und der Grenzwert:
\[ \lim_{b \to \infty} \int_a^{b} f(x) \, dx \]existiert und endlich ist. Wir schreiben dann:
2 – Die untere Grenze des Integrals ist unendlich
Ein Integral der Form \( \displaystyle \int_{-\infty}^a f(x) \, dx \) existiert und ist konvergent, wenn \( \int_b^{a} f(x) \, dx \) für alle \( b \le a \) existiert und der Grenzwert:
\[ \lim_{b \to -\infty} \int_b^{a} f(x) \, dx \]existiert und endlich ist. Wir schreiben dann:
3 – Beide Grenzen des Integrals sind unendlich
Ein Integral der Form \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \, dx \) existiert und ist konvergent, wenn beide Integrale:
\[ \int_{-\infty}^a f(x) \, dx \quad \text{und} \quad \int_a^{\infty} f(x) \, dx \]für eine reelle Zahl \( a \) konvergent sind. Wir schreiben dann:
Hinweis: Das Integrationsintervall wird bei \( x = a \) aufgeteilt, was zur Summe zweier Integrale führt, von denen jedes nur eine unendliche Grenze hat.
Beispiele und deren Lösungen
Beispiel 1
Berechnen Sie das unten stehende Integral, falls möglich:
\[ \int_1^{\infty} x \, dx \]Beispiel 2
Ist das folgende Integral konvergent oder divergent? Berechnen Sie es, falls es konvergent ist.
\[ \int_1^{\infty} \dfrac{1}{x^2} \, dx \]Beispiel 3
Berechnen Sie das unten stehende Integral, falls möglich:
\[ \int_{-\infty}^0 \dfrac{1}{\sqrt{2 - 3x}} \, dx \]Beispiel 4
Berechnen Sie das unten stehende Integral, falls möglich:
\[ \int_{-\infty}^{\infty} x^5 e^{-x^6} \, dx \]Beispiel 5
Für welche Werte von \( p \) ist das Integral:
\[ \int_{e}^{\infty} \dfrac{1}{x(\ln x)^{p+1}} \, dx \]konvergent? Bestimmen Sie seinen Wert in Abhängigkeit von \( p \).
Übungen
Berechnen Sie jedes der folgenden Integrale, falls möglich:
- \( \displaystyle \int_1^{\infty} \dfrac{1}{(4x+1)^2} \, dx \)
- \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{x}{1+x^2} \, dx \)
- \( \displaystyle \int_{-\infty}^{-1} e^{2x} \, dx \)
- \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{7x^2}{3+x^6} \, dx \)
- \( \displaystyle \int_0^{\infty} \dfrac{e^{2x}}{e^{4x}+3} \, dx \)
Weitere Literaturhinweise und Links
- University Calculus - Early Transcendentals - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
- Calculus - Early Transcendentals - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
- Integrale und ihre Anwendungen in der Analysis