Uneigentliche Integrale mit unendlichen Intervallen
Definition und Berechnung uneigentlicher Integrale mit unendlichen Integrationsgrenzen anhand von Beispielen mit detaillierten Lösungen und Erklärungen. Ebenfalls enthalten sind weitere Übungen mit Lösungen .
Definition uneigentlicher Integrale mit unendlichen Intervallen [1] [2]
Wir betrachten 3 Typen von Integralen mit unendlichen Intervallen.
1 - Die obere Grenze des Integrals ist unendlich
Ein Integral der Form \( \int_a^{\infty} f(x) \; dx \) existiert und ist konvergent, wenn \[ \int_a^{b} f(x) \; dx \quad \text{für alle } b \ge a \text{ existiert} \] und der Grenzwert
\[ \lim_{b \to \infty} \int_a^{b} f(x) \; dx \] existiert und endlich ist.
Wir schreiben dann
\[ \boxed{ \int_a^{\infty} f(x) \; dx = \lim_{b \to \infty} \int_a^{b} f(x) \; dx } \]
2 - Die untere Grenze des Integrals ist unendlich
Ein Integral der Form \( \int_{-\infty}^a f(x) \; dx \) existiert und ist konvergent, wenn \[ \int_b^{a} f(x) \; dx \quad \text{für alle } b \le a \text{ existiert} \] und der Grenzwert
\[ \lim_{b \to -\infty} \int_b^{a} f(x) \; dx \] existiert und endlich ist.
Wir schreiben dann
\[ \boxed{ \int_{-\infty}^a f(x) \; dx = \lim_{b \to -\infty} \int_b^{a} f(x) } \]
3 - Beide Grenzen des Integrals sind unendlich
Ein Integral der Form \( \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \; dx \) existiert und ist konvergent, wenn sowohl
\( \int_{-\infty}^a f(x) \; dx \) als auch \( \int_a^{\infty} f(x) \; dx \) konvergent sind.
Wir schreiben dann
\[ \boxed{ \int_{-\infty}^{\infty} f(x) \; dx = \int_{-\infty}^a f(x) \; dx + \int_a^{\infty} f(x) \; dx } \]
Hinweis Das Integrationsintervall wird bei \( x = a \) geteilt, und wir erhalten die Summe zweier Integrale, wobei jedes Integral nur eine unendliche Grenze hat.
Beispiele und ihre Lösungen
Beispiel 1
Berechnen Sie das untenstehende Integral, falls möglich.
\[ \int_1^{\infty}\; x \; dx \]
Lösung zu Beispiel 1
Das gegebene Integral hat eine unendliche obere Grenze, und gemäß Definition in Teil (1) oben schreiben wir
\[ \int_1^{\infty}\; x \; dx = \lim_{b \to \infty} \int_1^{b}\; x \; dx \]
Berechnen Sie das Integral \( \int_1^{b}\;x \; dx \)
\[ \int_1^{\infty}\; x \; dx = \lim_{b \to \infty} \left[ \dfrac{x^2}{2} \right]_1^b = \lim_{b \to \infty} \left( \dfrac{b^2}{2} - \dfrac{1}{2} \right) \]
Der Grenzwert \( \lim_{b \to \infty} (\dfrac{b^2}{2} - \dfrac{1}{2}) \) ist unendlich.
Schlussfolgerung Der Grenzwert ist unendlich, daher ist das gegebene uneigentliche Integral \( \int_1^{\infty}\; x \; dx \) divergent.
Beispiel 2
Ist das folgende Integral konvergent oder divergent? Berechnen Sie es, falls es konvergent ist.
\[ \int_1^{\infty}\; \dfrac{1}{x^2} \; dx \]
Lösung zu Beispiel 2
Das gegebene Integral hat eine unendliche obere Grenze, und gemäß Definition in Teil (1) oben schreiben wir
\[ \int_1^{\infty}\; \dfrac{1}{x^2} \; dx = \lim_{b \to \infty} \int_1^{b}\; \dfrac{1}{x^2} \; dx \]
Berechnen Sie das Integral \( \int_1^{b}\; \dfrac{1}{x^2} \; dx \)
\[ \int_1^{\infty}\; \dfrac{1}{x^2} \; dx = \lim_{b \to \infty} \left[-\dfrac{1}{x} \right]_1^b = \lim_{b \to \infty} (-\dfrac{1}{b} + 1) \]
Grenzwert \( \lim_{b \to \infty} (-\dfrac{1}{b} + 1) = 1 \) und daher
\[ \int_1^{\infty}\; \dfrac{1}{x^2} dx = 1 \]
Schlussfolgerung Das gegebene uneigentliche Integral \( \int_1^{\infty}\; \dfrac{1}{x^2} \; dx \) ist konvergent.
Beispiel 3
Berechnen Sie das untenstehende Integral, falls möglich.
\[ \int_{-\infty}^0\; \dfrac{1}{\sqrt{2-3x}} \; dx \]
Lösung zu Beispiel 3
Das gegebene Integral hat eine unendliche untere Grenze, und gemäß Definition in Teil (2) oben schreiben wir
\[ \int_{-\infty}^0 \; \dfrac{1}{\sqrt{2-3x}} \; dx = \lim_{b \to -\infty} \int_{b}^{0}\; \dfrac{1}{\sqrt{2-3x}} \; dx \]
Berechnen Sie das Integral \( \int_{b}^{0}\; \dfrac{1}{\sqrt{2-3x}} \; dx \)
\begin{align}
&\int_{-\infty}^0\; \dfrac{1}{\sqrt{2-3x}} \; dx = \lim_{b \to -\infty} \left[ -\frac{2}{3}\sqrt{2-3x} \right]_b^0 \\[15pt]
& = \lim_{b \to -\infty} \left(-\frac{2}{3}\sqrt{2} + \frac{2}{3}\sqrt{2-3b} \right)
\end{align}
Berechnen Sie den obigen Grenzwert, um zu erhalten
\[ \lim_{b \to -\infty} \left(-\frac{2}{3}\sqrt{2} + \frac{2}{3}\sqrt{2-3b} \right) = -\frac{2}{3}\sqrt{2} + \infty = \infty \]
Der Grenzwert ist unendlich, daher ist das gegebene uneigentliche Integral \( \int_{-\infty}^0\; \dfrac{1}{\sqrt{2-3x}} \; dx \) divergent.
Beispiel 4
Berechnen Sie das untenstehende Integral, falls möglich.
\[ \int_{-\infty}^{\infty}\; x^5 e^{-x^6} \; dx \]
Lösung zu Beispiel 4
Das gegebene Integral hat sowohl eine unendliche untere als auch obere Grenze, und gemäß Definition in Teil (3) oben teilen wir das Integral wie folgt auf:
\[ \int_{-\infty}^{\infty}\; x^5 e^{-x^6} \; dx = \int_{-\infty}^{0}\; x^5 e^{-x^6} \; dx + \int_{0}^{\infty}\; x^5 e^{-x^6} \; dx \qquad (I)\]
Hinweis Die Integrationsgrenzen wurden bei \( x = 0 \) geteilt, da dies die Berechnungen vereinfacht. Andere Werte könnten ebenfalls gewählt werden, um die Integrationsgrenze zu teilen, und das würde das Ergebnis nicht ändern.
Schreiben Sie das Obige als
\[ \int_{-\infty}^{\infty}\; x^5 e^{-x^6} \; dx = I_1 + I_2 \qquad (II)\]
wobei \( I_1 = \int_{-\infty}^{0}\; x^5 e^{-x^6} \; dx \) und \( I_2 = \int_0^{\infty}\; x^5 e^{-x^6} \; dx \)
Berechnen Sie das unbestimmte Integral \( \int x^5 e^{-x^6} \; dx \) mit der Substitutionsmethode.
Setzen Sie \( u = x^6 \), was \( \dfrac{du}{dx} = 6 x^5 \) ergibt, was auch \( dx = \dfrac{1}{6 x^5} \; du \) liefert; setzen Sie ein und vereinfachen Sie zu
\( \int x^5 e^{-x^6} \; dx = \dfrac{1}{6} \int e^{-u} \; du = - \dfrac{1}{6} e^{-x^6} + c \), wobei \( c \) die Integrationskonstante ist.
Wir berechnen nun die beiden Integrale auf der rechten Seite von (II) oben.
\begin{align}
& I_1 = \int_{-\infty}^{0}\; x^5 e^{-x^6} \; dx = \lim_{b \to -\infty} \left[- \dfrac{1}{6} e^{-x^6} \right]_b^0 \\[15pt]
& = \lim_{b \to -\infty} \left(-\dfrac{1}{6} + \dfrac{1}{6} e^{-b^6} \right) \\[15pt]
& = - \dfrac{1}{6}
\end{align}
\begin{align}
& I_2 = \int_0^{\infty}\; x^5 e^{-x^6} \; dx = \lim_{b \to \infty} \left[- \dfrac{1}{6} e^{-x^6} \right]_0^b \\[15pt]
& = \lim_{b \to \infty} \left(-\dfrac{1}{6} e^{-b^6} + \dfrac{1}{6} \right) \\[15pt]
& = \dfrac{1}{6}
\end{align}
Das gegebene Integral ist konvergent und wird unter Verwendung von (I) oben berechnet, indem die beiden Integrale auf der rechten Seite addiert werden, die oben berechnet wurden.
\[ \int_{-\infty}^{\infty}\; x^5 e^{-x^6} \; dx = I_1 + I_2 = 0 \]
Beispiel 5
Für welche Werte von \( p \) ist das Integral
\[ \int_{e}^{\infty}\; \dfrac{1}{x\:\left(\ln\:x\right)^{p+1}} \; dx \]
konvergent? Finden Sie seinen Wert in Abhängigkeit von \( p \).
Lösung zu Beispiel 5
Das gegebene Integral hat eine unendliche obere Grenze, und gemäß Definition in Teil (1) oben schreiben wir
\[ \int_{e}^{\infty}\; \dfrac{1}{x\:\left(\ln\:x\right)^{p+1}} \; dx = \lim_{b \to \infty} \int_e^{b}\; \dfrac{1}{x\:\left(\ln\:x\right)^{p+1}} \; dx \qquad (I)\]
Setzen Sie \( u = \ln\:x \), was \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{x} \) und auch \( dx = x \: du \) ergibt.
Setzen Sie ein und vereinfachen Sie das unbestimmte Integral.
\[ \int \dfrac{1}{x\:\left(\ln\:x\right)^{p+1}} \; dx = \int \dfrac{1} {u^{p+1}} \; du \]
Berechnen Sie das Integral auf der rechten Seite.
\[ \int \dfrac{1}{x\:\left(\ln x \right)^{p+1}} \; dx = \int u^{-p-1} \; du = - \left(\dfrac{1}{p}\right) u^{-p} + c \]
wobei \( c \) die Integrationskonstante ist.
Setzen Sie \( u = \ln\:x \) wieder ein.
\[ \int \dfrac{1}{x\:\left(\ln x \right)^{p+1}} \; du = - \dfrac{1}{p} (\ln x)^{-p} + c \]
Berechnen Sie (I) oben.
\begin{align}
& \int_{e}^{\infty}\; \dfrac{1}{x\:\left(\ln\:x\right)^{p+1}} \; dx = \lim_{b \to \infty} \left[ - \dfrac{1}{p} (\ln x)^{-p} \right]_e^b \\[15pt]
& = \lim_{b \to \infty} \left[ - \dfrac{1}{p} (\ln b)^{-p} + \dfrac{1}{p} (\ln e)^{-p} \right] \\[15pt]
& = - \lim_{b \to \infty} \dfrac{1}{p} (\ln b)^{-p} + \dfrac{1}{p} (\ln e)^{-p} \\[15pt]
& \text{Vereinfachen Sie den Term \( \dfrac{1}{p} (\ln e)^{-p} \).} \\[15pt]
& = - \lim_{b \to \infty} \dfrac{1}{p} (\ln b)^{-p} + \dfrac{1}{p}
\end{align}
Für \( p =0 \) ist das Obige undefiniert.
Für \( p \lt 0 \), \( - \lim_{b \to \infty} \dfrac{1}{p} (\ln b)^{-p} = \infty \).
Für \( p \gt 0 \), \( - \lim_{b \to \infty} \dfrac{1}{p} (\ln b)^{-p} = 0 \).
Daher ist das gegebene Integral für \( p \gt 0 \) konvergent und ist gegeben durch
\[ \boxed {\int_{e}^{\infty}\; \dfrac{1}{x\:\left(\ln\:x\right)^{p+1}} \; dx = \dfrac{1}{p} \quad \text{für } p \; \gt 0 } \]
Übungen
Berechnen Sie jedes der folgenden Integrale, falls möglich.