Herleitung und Auswertung
Die Schritte zur Berechnung des Integrals der Funktion des natürlichen Logarithmus:
\[ \int \ln x \, dx \]werden unten dargestellt.
Wir schreiben das gegebene Integral zunächst um als:
\[ \int \ln x \, dx = \int 1 \cdot \ln x \, dx \]Sei \( u' = 1 \) und \( v = \ln x \), deren erste Ableitungen durch \( u = x \) und \( v' = \dfrac{1}{x} \) gegeben sind.
Unser Integral hat die Form:
\[ \int \ln x \, dx = \int u' \cdot v \, dx \]Wenden Sie die Formel für die partielle Integration \( \int u' v \, dx = u v - \int u v' \, dx \) an, um zu schreiben:
\[ \int \ln x \, dx = u v - \int u \cdot v' \, dx \]Setzen Sie \( u, v \) und \( v' \) ein, um zu erhalten:
\[ = x \ln x - \int x \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \]Vereinfachen Sie den Term auf der rechten Seite:
\[ = x \ln x - \int 1 \, dx \]Berechnen Sie das Integral:
\[ = x \ln x - x + c \]wobei \( c \) die Integrationskonstante ist.
Integralformel für \( \ln x \):
\[ \int \ln x \, dx = x \ln x - x + c \]