Die Schritte zur Berechnung des Integrals der natürlichen Logarithmusfunktion : \( \displaystyle \int \ln x \; dx \) werden vorgestellt.
Wir schreiben das gegebene Integral zunächst um als
\[ \int \ln x \; dx = \int 1 \cdot \ln x \; dx \]
Es seien \( u = x \) und \( v = \ln x \), deren erste Ableitungen gegeben sind durch \( u' = 1 \) und \( v' = \dfrac{1}{x} \)
Unser Integral hat die Form
\[ \int \ln x \; dx = \int u' \cdot v \; dx \]
Wende die partielle Integration an, um zu schreiben
\[ \int \ln x \; dx = u v - \int u \cdot v' \; dx \]
Setze \( u, v \) und \( v' \) ein, um zu erhalten
\[ = x \ln x - \int x \dfrac {1}{x} \; dx \]
Vereinfache den Term auf der rechten Seite
\[ = x \ln x - \int dx \]
und berechne das Integral
\[ = x \ln x - x + c \]
wobei \( c \) die Integrationskonstante ist.
Daher
\[ \displaystyle \int \ln x \; dx = x \ln x - x + c \]