Integration durch Substitution

Tutorials mit Beispielen und detaillierten Lösungen sowie Übungen mit Antworten zur Anwendung der leistungsstarken Technik der Integration durch Substitution zur Berechnung von Integralen.

Wiederholung: Integration durch Substitution

Die Methode der Integration durch Substitution kann verwendet werden, um komplexe Integrale einfach zu berechnen. Betrachten wir ein Integral der Form

\[\int_{a}^{b} f(g(x)) \ g'(x) \ dx\]

Wir führen die Substitution \( u = g(x) \) durch, daher \( \dfrac{du}{dx} = g'(x) \) und \( du = g'(x) dx \).
Mit der obigen Substitution ergibt sich das gegebene Integral zu

\[\int_{a}^{b} f(g(x)) \ g'(x) \ dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) \ du\]

Im Folgenden ist \( C \) die Integrationskonstante, die dem Endergebnis hinzugefügt wird.

Beispiele

Beispiel 1

Berechnen Sie das Integral

\[ \int \sin(ax + b) \, dx \]

Lösung zu Beispiel 1:
Setze \( u = ax + b \), woraus \( \dfrac{du}{dx} = a \) oder \( dx = \dfrac{1}{a} du \) folgt. Die Substitution hilft bei der Berechnung des Integrals wie folgt:

\[ \begin{align*} \int \sin(ax + b) \, dx &= \frac{1}{a} \int \sin(u) \, du \\ &= -\frac{1}{a} \cos(u) + C \\ &= -\frac{1}{a} \cos(ax + b) + C \end{align*} \]

Beispiel 2

Berechnen Sie das Integral

\[ \int e^{3x - 2} \, dx \]

Lösung zu Beispiel 2:
Setze \( u = 3x - 2 \), woraus \( \dfrac{du}{dx} = 3 \) oder \( dx = \dfrac{1}{3} du \) folgt. Daher

\[ \begin{align*} \int e^{3x - 2} dx &= \int e^{u} \cdot \frac{1}{3} \, du \\ &= \frac{1}{3} e^{u} \\ &= \frac{1}{3} e^{3x - 2} + C \end{align*} \]

Beispiel 3

Berechnen Sie das Integral

\[ \int x (2x^2 + 5)^4 \, dx \]

Lösung zu Beispiel 3:
Setze \( u = 2x^2 + 5 \), woraus \( \dfrac{du}{dx} = 4x \), \( du = 4x \, dx \) und \( \dfrac{1}{4} du = x \, dx \) folgt. Die Substitution ergibt

\[ \begin{align*} \int x (2x^2 + 5)^4 \, dx &= \int \frac{1}{4} u^4 \, du \\ &= \frac{1}{20} u^5 \\ &= \frac{1}{20} (2x^2 + 5)^5 + C \end{align*} \]

Beispiel 4

Berechnen Sie das Integral

\[ \int x \sqrt{2x + 1} \, dx \]

Lösung zu Beispiel 4:
Setze \( u = 2x + 1 \), woraus \( \dfrac{du}{dx} = 2 \) und \( dx = \dfrac{1}{2} du \) folgen. Löse \( u = 2x + 1 \) nach \( x \) auf, um \( x = \dfrac{1}{2}(u - 1) \) zu erhalten. Die Substitution ergibt

\[ \begin{align*} \int x \sqrt{2x + 1} \, dx &= \int \frac{1}{2}(u - 1) \sqrt{u} \cdot \frac{1}{2} \, du \\ &= \frac{1}{4} \int (u - 1) u^{1/2} \, du \\ &= \frac{1}{4} \left( \frac{2}{5} u^{5/2} - \frac{2}{3} u^{3/2} \right) \\ &= \frac{(2x + 1)^{3/2} (3x - 1)}{15} + C \end{align*} \]

Beispiel 5

Berechnen Sie das Integral

\[ \int (x - 5)^{-4} \, dx \]

Lösung zu Beispiel 5:
Setze \( u = x - 5 \), woraus \( \dfrac{du}{dx} = 1 \) folgt. Durch Einsetzen in das gegebene Integral erhalten wir

\[ \begin{align*} \int (x - 5)^{-4} \, dx &= \int u^{-4} \, du \\ &= -\frac{1}{3} u^{-3} \\ &= -\frac{1}{3} (x - 5)^{-3} + C \end{align*} \]

Beispiel 6

Berechnen Sie das Integral

\[ \int -x e^{x^2 + 2} \, dx \]

Lösung zu Beispiel 6:
Setze \( u = x^2 + 2 \), woraus \( \dfrac{du}{dx} = 2x \) und \( \dfrac{1}{2} du = x \, dx \) folgen. Eine Substitution in das gegebene Integral ergibt

\[ \begin{align*} \int -x e^{x^2 + 2} \, dx &= \int - e^{u} \cdot \frac{1}{2} \, du \\ &= -\frac{1}{2} \int e^{u} \, du \\ &= -\frac{1}{2} e^{u} \\ &= -\frac{1}{2} e^{x^2 + 2} + C \end{align*} \]

Beispiel 7

Berechnen Sie das Integral

\[ \int \cos(x) \sin^4(x) \, dx \]

Lösung zu Beispiel 7:
Setze \( u = \sin(x) \), woraus \( \dfrac{du}{dx} = \cos(x) \) oder \( \cos(x) \, dx = du \) folgt. Setze in das Integral ein, um zu erhalten

\[ \begin{align*} \int \cos(x) \sin^4(x) \, dx &= \int u^4 \, du \\ &= \frac{1}{5} u^5 \\ &= \frac{1}{5} \sin^5(x) + C \end{align*} \]

Beispiel 8

Berechnen Sie das Integral

\[ \int \dfrac{3x}{4x + 1} \, dx \]

Lösung zu Beispiel 8:
Setze \( u = 4x + 1 \), woraus \( \dfrac{du}{dx} = 4 \) oder \( dx = \dfrac{1}{4} du \) folgt. Löse \( u = 4x + 1 \) nach \( x \) auf, um \( x = \dfrac{1}{4}(u - 1) \) zu erhalten. Durch Einsetzen erhält man

\[ \begin{align*} \int \frac{3x}{4x + 1} \, dx &= \int 3 \cdot \frac{1}{4} \cdot \frac{u - 1}{u} \, du \\ &= \frac{3}{16} \int \frac{u - 1}{u} \, du \\ &= \frac{3}{16} \int \left( 1 - \frac{1}{u} \right) \, du \\ &= \frac{3}{16} (u - \ln|u|) \\ &= \frac{3}{16} \bigl( 4x + 1 - \ln|4x + 1| \bigr) + C \end{align*} \]

Beispiel 9

Berechnen Sie das Integral

\[ \int \dfrac{x}{\sqrt{x - 2}} \, dx \]

Lösung zu Beispiel 9:
Setze \( u = x - 2 \), woraus \( \dfrac{du}{dx} = 1 \), \( dx = du \) und \( x = u + 2 \) folgt. Substitution

\[ \begin{align*} \int \frac{x}{\sqrt{x - 2}} \, dx &= \int \frac{u + 2}{\sqrt{u}} \, du \\ &= \int \big(u^{1/2} + 2 u^{-1/2}\big) \, du \\ &= \frac{2}{3} u^{3/2} + 4 \sqrt{u} \\ &= \frac{2}{3} (x - 2)^{3/2} + 4 \sqrt{x - 2} + C \end{align*} \]

Beispiel 10

Berechnen Sie das Integral

\[ \int (x + 2)^3(x + 4)^2 \, dx \]

Lösung zu Beispiel 10:
Setze \( u = x + 2 \), woraus \( \dfrac{du}{dx} = 1 \), \( dx = du \) und auch \( x = u - 2 \) folgt. Mit der obigen Substitution erhalten wir

\[ \begin{align*} \int (x + 2)^3 (x + 4)^2 \, dx &= \int u^3 (u + 4)^2 \, du \\ &= \int (u^5 + 4u^4 + 4u^3) \, du \\ &= \frac{1}{6} u^6 + \frac{4}{5} u^5 + u^4 \\ &= \frac{1}{6} (x + 2)^6 + \frac{4}{5} (x + 2)^5 + (x + 2)^4 + C \end{align*} \]

Beispiel 11

Berechnen Sie das Integral

\[ \int \dfrac{2x + 3}{x^2 + 3x + 1} \, dx \]

Lösung zu Beispiel 11:
Setze \( u = x^2 + 3x + 1 \), woraus \( \dfrac{du}{dx} = 2x + 3 \) oder \( (2x + 3) \, dx = du \) folgt. Die Substitution hilft bei der Berechnung des Integrals wie folgt

\[ \begin{align*} \int \frac{1}{u} \, du &= \ln|u| \\ &= \ln|x^2 + 3x + 1| + C \end{align*} \]

Übungen

Verwenden Sie die Integraltafel und die Methode der Integration durch Substitution, um die folgenden Integrale zu berechnen.
1. \( \quad \int \cos(3x - 2) \, dx\)
2. \( \quad \int e^{4x - 7} \, dx\)
3. \( \quad \int x(4x^2 + 5)^4 \, dx\)
4. \( \quad \int \dfrac{1}{(x + 3)^3} \, dx\)

Lösungen zu den obigen Übungen

1. \( \quad \dfrac{1}{3} \sin(3x - 2) + C \)
2. \( \quad \dfrac{1}{4} e^{4x - 7} + C \)
3. \( \quad \dfrac{1}{40} (4x^2 + 5)^5 + C \)
4. \( \quad -\dfrac{1}{2} \dfrac{1}{(x + 3)^2} + C \)

Weitere Referenzen und Links

Integrale und ihre Anwendungen in der Analysis.