Tutorials mit Beispielen, detaillierten Lösungen und Übungsaufgaben mit Antworten zur Anwendung der leistungsstarken Technik der Integration durch Substitution zur Berechnung von Integralen.
Wiederholung der Integration durch Substitution
Die Methode der Integration durch Substitution kann verwendet werden, um komplexe Integrale einfach zu berechnen. Betrachten wir ein Integral der Form:
\[ \int_{a}^{b} f(g(x)) g'(x) \, dx \]Führen wir die Substitution \( u = g(x) \) durch, folglich \( \dfrac{du}{dx} = g'(x) \) und \( du = g'(x) \, dx \). Mit dieser Substitution wandelt sich das bestimmte Integral um in:
\[ \int_{a}^{b} f(g(x)) g'(x) \, dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(u) \, du \]Im Folgenden stellt \( C \) die Integrationskonstante dar, die unbestimmten Integralen hinzugefügt wird.
Beispiele und ihre Lösungen
Klicken Sie auf jedes Beispiel, um die Schritt-für-Schritt-Lösung anzuzeigen.
Beispiel 1: Berechne \( \displaystyle \int \sin(ax + b) \, dx \)
Sei \( u = ax + b \), was \( \dfrac{du}{dx} = a \) bzw. \( dx = \dfrac{1}{a} \, du \) ergibt. Die Substitution hilft, das Integral wie folgt zu berechnen:
\[ \begin{aligned} \int \sin(ax + b) \, dx &= \dfrac{1}{a} \int \sin(u) \, du \\ &= -\dfrac{1}{a} \cos(u) + C \\ &= -\dfrac{1}{a} \cos(ax + b) + C \end{aligned} \]Beispiel 2: Berechne \( \displaystyle \int e^{3x - 2} \, dx \)
Sei \( u = 3x - 2 \), was \( \dfrac{du}{dx} = 3 \) bzw. \( dx = \dfrac{1}{3} \, du \) ergibt. Daher:
\[ \begin{aligned} \int e^{3x - 2} \, dx &= \int e^u \cdot \dfrac{1}{3} \, du \\ &= \dfrac{1}{3} e^u + C \\ &= \dfrac{1}{3} e^{3x - 2} + C \end{aligned} \]Beispiel 3: Berechne \( \displaystyle \int x (2x^2 + 5)^4 \, dx \)
Sei \( u = 2x^2 + 5 \), was \( \dfrac{du}{dx} = 4x \), \( du = 4x \, dx \) bzw. \( \dfrac{1}{4} du = x \, dx \) ergibt. Die Substitution liefert:
\[ \begin{aligned} \int x (2x^2 + 5)^4 \, dx &= \int \dfrac{1}{4} u^4 \, du \\ &= \dfrac{1}{20} u^5 + C \\ &= \dfrac{1}{20} (2x^2 + 5)^5 + C \end{aligned} \]Beispiel 4: Berechne \( \displaystyle \int x \sqrt{2x + 1} \, dx \)
Sei \( u = 2x + 1 \), was \( \dfrac{du}{dx} = 2 \) und \( dx = \dfrac{1}{2} \, du \) ergibt. Lösen Sie \( u = 2x + 1 \) nach \( x \) auf, um \( x = \dfrac{1}{2}(u - 1) \) zu erhalten. Die Substitution ergibt:
\[ \begin{aligned} \int x \sqrt{2x + 1} \, dx &= \int \dfrac{1}{2}(u - 1) \sqrt{u} \cdot \dfrac{1}{2} \, du \\ &= \dfrac{1}{4} \int (u - 1) u^{1/2} \, du \\ &= \dfrac{1}{4} \left( \dfrac{2}{5} u^{5/2} - \dfrac{2}{3} u^{3/2} \right) + C \\ &= \dfrac{(2x + 1)^{3/2} (3x - 1)}{15} + C \end{aligned} \]Beispiel 5: Berechne \( \displaystyle \int (x - 5)^{-4} \, dx \)
Sei \( u = x - 5 \), was \( \dfrac{du}{dx} = 1 \) ergibt. Durch Einsetzen in das gegebene Integral:
\[ \begin{aligned} \int (x - 5)^{-4} \, dx &= \int u^{-4} \, du \\ &= -\dfrac{1}{3} u^{-3} + C \\ &= -\dfrac{1}{3} (x - 5)^{-3} + C \end{aligned} \]Beispiel 6: Berechne \( \displaystyle \int -x e^{x^2 + 2} \, dx \)
Sei \( u = x^2 + 2 \), was \( \dfrac{du}{dx} = 2x \) und \( \dfrac{1}{2} du = x \, dx \) ergibt. Durch Einsetzen in das Integral:
\[ \begin{aligned} \int -x e^{x^2 + 2} \, dx &= \int -e^u \cdot \dfrac{1}{2} \, du \\ &= -\dfrac{1}{2} \int e^u \, du \\ &= -\dfrac{1}{2} e^u + C \\ &= -\dfrac{1}{2} e^{x^2 + 2} + C \end{aligned} \]Beispiel 7: Berechne \( \displaystyle \int \cos(x) \sin^4(x) \, dx \)
Sei \( u = \sin(x) \), was \( \dfrac{du}{dx} = \cos(x) \) bzw. \( \cos(x) \, dx = du \) ergibt. Durch Einsetzen in das Integral:
\[ \begin{aligned} \int \cos(x) \sin^4(x) \, dx &= \int u^4 \, du \\ &= \dfrac{1}{5} u^5 + C \\ &= \dfrac{1}{5} \sin^5(x) + C \end{aligned} \]Beispiel 8: Berechne \( \displaystyle \int \dfrac{3x}{4x + 1} \, dx \)
Sei \( u = 4x + 1 \), was \( \dfrac{du}{dx} = 4 \) bzw. \( dx = \dfrac{1}{4} \, du \) ergibt. Das Auflösen nach \( x \) ergibt \( x = \dfrac{1}{4}(u - 1) \). Setzen Sie ein, um zu erhalten:
\[ \begin{aligned} \int \dfrac{3x}{4x + 1} \, dx &= \int 3 \cdot \dfrac{1}{4} \cdot \dfrac{u - 1}{u} \, du \\ &= \dfrac{3}{16} \int \left( 1 - \dfrac{1}{u} \right) du \\ &= \dfrac{3}{16} (u - \ln|u|) + C \\ &= \dfrac{3}{16} \bigl( 4x + 1 - \ln|4x + 1| \bigr) + C \end{aligned} \]Beispiel 9: Berechne \( \displaystyle \int \dfrac{x}{\sqrt{x - 2}} \, dx \)
Sei \( u = x - 2 \), was \( \dfrac{du}{dx} = 1 \), \( dx = du \) und \( x = u + 2 \) ergibt. Die Substitution liefert:
\[ \begin{aligned} \int \dfrac{x}{\sqrt{x - 2}} \, dx &= \int \dfrac{u + 2}{\sqrt{u}} \, du \\ &= \int \left(u^{1/2} + 2u^{-1/2}\right) du \\ &= \dfrac{2}{3} u^{3/2} + 4\sqrt{u} + C \\ &= \dfrac{2}{3} (x - 2)^{3/2} + 4\sqrt{x - 2} + C \end{aligned} \]Beispiel 10: Berechne \( \displaystyle \int (x + 2)^3 (x + 4)^2 \, dx \)
Sei \( u = x + 2 \), was \( \dfrac{du}{dx} = 1 \), \( dx = du \) und \( x = u - 2 \) ergibt (also \( x + 4 = u + 2 \)). Wenn man dies einsetzt:
\[ \begin{aligned} \int (x + 2)^3 (x + 4)^2 \, dx &= \int u^3 (u + 2)^2 \, du \\ &= \int u^3 (u^2 + 4u + 4) \, du \\ &= \int (u^5 + 4u^4 + 4u^3) \, du \\ &= \dfrac{1}{6} u^6 + \dfrac{4}{5} u^5 + u^4 + C \\ &= \dfrac{1}{6} (x + 2)^6 + \dfrac{4}{5} (x + 2)^5 + (x + 2)^4 + C \end{aligned} \]Beispiel 11: Berechne \( \displaystyle \int \dfrac{2x + 3}{x^2 + 3x + 1} \, dx \)
Sei \( u = x^2 + 3x + 1 \), was \( \dfrac{du}{dx} = 2x + 3 \) bzw. \( (2x + 3) \, dx = du \) ergibt. Die Substitution berechnet das Integral wie folgt:
\[ \begin{aligned} \int \dfrac{2x + 3}{x^2 + 3x + 1} \, dx &= \int \dfrac{1}{u} \, du \\ &= \ln|u| + C \\ &= \ln|x^2 + 3x + 1| + C \end{aligned} \]Übungsaufgaben
Verwenden Sie die Tabelle der Integralformeln und die Methode der Integration durch Substitution, um die folgenden Integrale zu finden:
- \( \displaystyle \int \cos(3x - 2) \, dx \)
- \( \displaystyle \int e^{4x - 7} \, dx \)
- \( \displaystyle \int x(4x^2 + 5)^4 \, dx \)
- \( \displaystyle \int \dfrac{1}{(x + 3)^3} \, dx \)
Antworten zu den obigen Übungsaufgaben
- \( \dfrac{1}{3} \sin(3x - 2) + C \)
- \( \dfrac{1}{4} e^{4x - 7} + C \)
- \( \dfrac{1}{40} (4x^2 + 5)^5 + C \)
- \( -\dfrac{1}{2(x + 3)^2} + C \)