Bewerten Sie Integrale mit natürlichen Logarithmusfunktionen: Ein Tutorial mit Beispielen und detaillierten Lösungen. Am Ende des Tutorials finden Sie auch Übungen mit Lösungen. Möglicherweise möchten Sie die Integraltafel und die Eigenschaften von Integralen auf dieser Website verwenden. Im Folgenden ist \( C \) eine Integrationskonstante und kann jeden beliebigen konstanten Wert annehmen.
Bewerten Sie das Integral
\[ \int \ln(x) \, dx \]
Lösung zu Beispiel 1:
Setzen Sie \( U = \ln(x) \) und \( V' = 1 \) und wenden Sie die partielle Integration an. Daraus folgt \( U' = \dfrac{1}{x} \) und \( V = x \)
\[ \int \ln(x) \, dx = \int U V' \, dx \\ = U V - \int U' V \, dx \\ = x \ln(x) - \int 1 \, dx \\ = x \ln(x) - x + C \]
Prüfung: Leiten Sie \( x \ln(x) - x + C \) ab und stellen Sie fest, dass Sie \( \ln(x) \) erhalten, den Integranden des gegebenen Integrals. Dies ist eine Möglichkeit, die Antwort bei der Bewertung unbestimmter Integrale zu überprüfen.
Bewerten Sie das Integral
\[ \int \ln(2x + 1) \, dx \]
Lösung zu Beispiel 2:
Substitution: Setzen Sie \( u = 2x + 1 \), was zu \( \dfrac{du}{dx} = 2 \) führt
oder \( du = 2 \, dx \) oder \( dx = \dfrac{du}{2} \). Das obige Integral wird zu
\[ \int \ln(2x + 1) \, dx = \dfrac{1}{2} \int \ln(u) \, du \]
Wir verwenden nun die Integralformeln für die \( \ln(x) \)-Funktion (aus Beispiel 1) und erhalten
\[ \int \ln(2x + 1) \, dx = \dfrac{1}{2} \int \ln(u) \, du = \dfrac{1}{2} [u \ln(u) - u] + C \]
Wir ersetzen nun \( u \) wieder durch \( 2x + 1 \), um zu erhalten
\[ \int \ln(2x + 1) \, dx = \dfrac{1}{2}(2x + 1) \ln(2x + 1) - \dfrac{1}{2}(2x + 1) + C \]
\[ = \dfrac{1}{2}(2x + 1) \ln(2x + 1) - x - \dfrac{1}{2} + C \]
\[ = \dfrac{1}{2}(2x + 1) \ln(2x + 1) - x + K \]
wobei \( K = C - \dfrac{1}{2} \) eine Konstante ist.
Prüfung: Leiten Sie \( \dfrac{1}{2}(2x + 1) \ln(2x + 1) - x + K \) ab und stellen Sie fest, dass Sie \( \ln(2x + 1) \) erhalten, den Integranden des gegebenen Integrals.
Bewerten Sie das Integral
\[ \int x \ln x \, dx \]
Lösung zu Beispiel 3:
Setzen Sie \( f(x) = \ln x \) und \( g'(x) = x \), was \( f'(x) = \dfrac{1}{x} \) und \( g(x) = \dfrac{x^2}{2} \) ergibt.
Unter Verwendung der partiellen Integration
\[ \int f(x) g'(x) \, dx = f(x) g(x) - \int f'(x) g(x) \, dx \] erhalten wir
\[ \int x \ln x \, dx = \left[ \dfrac{x^2}{2} \ln x - \int \dfrac{x^2}{2} \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \right] \]
\[ = \dfrac{x^2}{2} \ln x - \int \dfrac{x}{2} \, dx \]
\[ = \dfrac{x^2}{2} \ln x - \dfrac{x^2}{4} + C \].
Übung: Leiten Sie \( \dfrac{x^2}{2} \ln x - \dfrac{x^2}{4} + C \) ab, um den Integranden \( x \ln x \) des gegebenen Integrals zu erhalten.
Bewerten Sie das Integral
\[ \int \dfrac{\ln(x)}{x} \, dx \]
Lösung zu Beispiel 4:
Setzen Sie \( u = \ln x \), so dass \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{x} \). Nach der Substitution kann das gegebene Integral geschrieben werden als
\[ \int \dfrac{\ln(x)}{x} \, dx = \int u \, du \]
Integrieren, um zu erhalten
\[ \dfrac{u^2}{2} + C \]
Ersetzen Sie \( u \) durch \( \ln x \)
\[ = \left[\ln x\right]^2 / 2 + C \]
Überprüfen Sie als Übung die endgültige Antwort durch Differentiation.
Bewerten Sie die folgenden Integrale.
1. \( \displaystyle \int x^3 \ln x \, dx \)
2. \( \displaystyle \int (x - \ln x) \, dx \)
1. \( x^4 \ln x / 4 - x^4 / 16 + C \)
2. \( -x \ln x + x^2 / 2 + x + C \)