Berechnen Sie Integrale mit natürlichen Logarithmusfunktionen: Ein Tutorial mit Beispielen und detaillierten Lösungen. Am Ende des Tutorials werden zudem Übungsaufgaben mit Antworten vorgestellt. Möglicherweise möchten Sie die Tabelle der Integralformeln und die Eigenschaften der Integrale auf dieser Website verwenden. Im Folgenden ist \( C \) eine Integrationskonstante und kann jeden konstanten Wert annehmen.
Beispiele mit Lösungen
Klicken Sie auf jedes Beispiel, um dessen detaillierte Lösung anzuzeigen.
Beispiel 1: Berechne \( \displaystyle \int \ln(x) \, dx \)
Lösung zu Beispiel 1:
Sei \( U = \ln(x) \) und \( V' = 1 \) und verwenden Sie die partielle Integration. Folglich ist \( U' = \dfrac{1}{x} \) und \( V = x \):
\[ \begin{aligned} \int \ln(x) \, dx &= \int U V' \, dx \\ &= U V - \int U' V \, dx \\ &= x \ln(x) - \int 1 \, dx \\ &= x \ln(x) - x + C \end{aligned} \]Probe: Differenzieren Sie \( x \ln(x) - x + C \) und stellen Sie fest, dass Sie \( \ln(x) \) erhalten, was den Integranden im gegebenen Integral darstellt.
Beispiel 2: Berechne \( \displaystyle \int \ln(2x + 1) \, dx \)
Lösung zu Beispiel 2:
Substitution: Sei \( u = 2x + 1 \), was zu \( \dfrac{du}{dx} = 2 \) bzw. \( du = 2 \, dx \) oder \( dx = \dfrac{du}{2} \) führt. Das Integral wird zu:
\[ \int \ln(2x + 1) \, dx = \dfrac{1}{2} \int \ln(u) \, du \]Wir verwenden nun Integralformeln für die Funktion \( \ln(u) \) (gefunden in Beispiel 1):
\[ \int \ln(2x + 1) \, dx = \dfrac{1}{2} \int \ln(u) \, du = \dfrac{1}{2} [u \ln(u) - u] + C \]Setzen Sie für \( u \) wieder \( 2x + 1 \) ein:
\[ \int \ln(2x + 1) \, dx = \dfrac{1}{2}(2x + 1) \ln(2x + 1) - \dfrac{1}{2}(2x + 1) + C \] \[ = \dfrac{1}{2}(2x + 1) \ln(2x + 1) - x - \dfrac{1}{2} + C \] \[ = \dfrac{1}{2}(2x + 1) \ln(2x + 1) - x + K \]wobei \( K = C - \dfrac{1}{2} \) eine Konstante ist.
Probe: Differenzieren Sie das Ergebnis, um zu überprüfen, ob es mit dem Integranden übereinstimmt.
Beispiel 3: Berechne \( \displaystyle \int x \ln x \, dx \)
Lösung zu Beispiel 3:
Sei \( f(x) = \ln x \) und \( g'(x) = x \), was \( f'(x) = \dfrac{1}{x} \) und \( g(x) = \dfrac{x^2}{2} \) ergibt.
Unter Verwendung der partiellen Integration \( \int f(x)g'(x) \, dx = f(x)g(x) - \int f'(x)g(x) \, dx \) erhalten wir:
\[ \begin{aligned} \int x \ln x \, dx &= \left[ \dfrac{x^2}{2} \ln x - \int \dfrac{x^2}{2} \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \right] \\ &= \dfrac{x^2}{2} \ln x - \int \dfrac{x}{2} \, dx \\ &= \dfrac{x^2}{2} \ln x - \dfrac{x^2}{4} + C \end{aligned} \]Übung: Differenzieren Sie \( \dfrac{x^2}{2} \ln x - \dfrac{x^2}{4} + C \), um den Integranden \( x \ln x \) zu erhalten.
Beispiel 4: Berechne \( \displaystyle \int \dfrac{\ln(x)}{x} \, dx \)
Lösung zu Beispiel 4:
Sei \( u = \ln x \), sodass \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{x} \) bzw. \( du = \dfrac{1}{x} \, dx \) ist. Nach der Substitution lässt sich das Integral schreiben als:
\[ \int \dfrac{\ln(x)}{x} \, dx = \int u \, du \]Integrieren Sie, um folgendes zu erhalten:
\[ \dfrac{u^2}{2} + C \]Setzen Sie für \( u \) wieder \( \ln x \) ein:
\[ = \dfrac{(\ln x)^2}{2} + C \]Überprüfen Sie das Endergebnis als Übung durch Differentiation.
Übungsaufgaben
Berechnen Sie die folgenden Integrale:
- \( \displaystyle \int x^3 \ln x \, dx \)
- \( \displaystyle \int (x - \ln x) \, dx \)
Antworten zu den obigen Übungsaufgaben
- \( \dfrac{x^4 \ln x}{4} - \dfrac{x^4}{16} + C \)
- \( \dfrac{x^2}{2} - x \ln x + x + C \)