Beispiele mit detaillierten Lösungen und Übungen mit Antworten zur Anwendung der Technik der partiellen Integration zur Bestimmung von Integralen werden vorgestellt.
Die Methode der partiellen Integration kann verwendet werden, um Produkte von Funktionen einfach zu integrieren. Die Grundidee der partiellen Integration leitet sich von der Ableitung des Produkts zweier Funktionen \( u \) und \( v \) ab, wie gegeben: \[\frac{d(u \cdot v)}{dx} = \frac{du}{dx} v + u \frac{dv}{dx}\] Formen Sie das Obige um zu: \[u \frac{dv}{dx} = \frac{d(u \cdot v)}{dx} - \frac{du}{dx} v\] Integrieren Sie beide Seiten der obigen Gleichung: \[\int u \frac{dv}{dx} dx = \int \frac{d(u \cdot v)}{dx} dx - \int \frac{du}{dx} v dx\] Beachten Sie, dass $\int \frac{d(u \cdot v)}{dx} dx = uv$ ist. Das Obige wird vereinfacht, um die Regel der partiellen Integration zu erhalten. \[\int u \frac{dv}{dx} dx = u v - \int \frac{du}{dx} v dx\] Hinweis : Die Wahl, welche Funktion im Integral auf der linken Seite als \( u \) und welche als \( \dfrac{dv}{dx} \) gewählt wird, muss das Integral auf der rechten Seite der obigen Formel vereinfachen.
Im Folgenden ist c die Integrationskonstante.
Berechnen Sie das Integral \[ \int 3 x e^x dx \]
Lösung zu Beispiel 1
3 ist eine Konstante und kann daher aus dem Integranden vor das Integralzeichen gezogen werden.
Sei \( u = x \) und \( \dfrac{dv}{dx} = e^x \), also \( \dfrac{du}{dx} = 1 \) und \( v = \displaystyle \int e^x \; dx = e^x \). Mit der Methode der partiellen Integration erhalten wir: \[ \begin{aligned} & \color{red}{\text{gegebenes Integral}} \\[8pt] & \int 3 \; x \; e^x \; dx \\[15pt] & \color{red}{\text{Konstante \( 3 \) vor das Integral}} \\[8pt] & = 3 \int x \; e^x \; dx \\[15pt] &\color{red}{\text{partielle Integration anwenden}}\\[8pt] & = 3 \left( x \; e^x - \int 1 \cdot e^x \; dx \right) \\[15pt] &\color{red}{\text{Integral berechnen und vereinfachen, um die endgültige Antwort zu erhalten}} \\[8pt] & \int 3 x e^x \; dx = 3 \; x \; e^x - 3 \; e^x + c \end{aligned} \]
Berechnen Sie das Integral \[ \int x \; \sin(x) \; dx \]
Lösung zu Beispiel 2
Sei \( u = x \) und \( \dfrac{dv}{dx} = \sin(x) \), also \( \dfrac{du}{dx} = 1 \) und \( v = - \cos(x) \). Daher: \[ \begin{aligned} & \color{red}{\text{gegebenes Integral}} \\[8pt] & \int x \; \sin(x) \; dx \\[15pt] &\color{red}{\text{partielle Integration}}\\[8pt] & = x (-\cos(x)) - \int 1 \cdot (-\cos(x)) \; dx \\[15pt] &\color{red}{\text{Integral berechnen und vereinfachen, um die endgültige Antwort zu erhalten}} \\[8pt] & \int x \; \sin(x) \; dx = - x \cos(x) + \sin(x) + c \end{aligned} \]
Berechnen Sie das Integral \[ \int x^2 \; \cos x \; dx \]
Lösung zu Beispiel 3
Sei \( u = x^2 \) und \( \dfrac{dv}{dx} = \cos(x) \), also \( \dfrac{du}{dx} = 2x \) und \( v = \sin(x) \). Wenden Sie die partielle Integration an: \[ \int x^2 \cos(x) \; dx = x^2 \sin(x) - 2 \int x \sin(x) \; dx \qquad (I)\]
Wir müssen nun die Methode der partiellen Integration auf das Integral \( \displaystyle \int x \sin(x) \; dx \) anwenden. In Beispiel 2 haben wir \( \displaystyle \int x \sin(x) \; dx = - x \cos(x) + \sin(x) \) berechnet und können dies in das obige Integral einsetzen. Das Endergebnis ist daher: \[ \begin{aligned} & \color{red}{\text{rechte Seite von (I) oben}} \\[8pt] & x^2 \sin(x) - 2 \int x \sin(x) \; dx \\[15pt] &\color{red}{\text{Integral auf der rechten Seite von (I) ersetzen}} \\[8pt] & = x^2 \sin(x) - 2 (- x \cos(x) + \sin(x)) + c \\[15pt] &\color{red}{\text{vereinfachen, um die endgültige Antwort zu erhalten}} \\[8pt] & \int x^2 \; \cos x \; dx = x^2 \sin(x) + 2 x \cos(x) - 2 \sin(x) + c \end{aligned} \]
Berechnen Sie das Integral \[ \int x \; \ln x \; dx \]
Lösung zu Beispiel 4:
Sei \( u = \ln(x) \) und \( \dfrac{dv}{dx} = x \), also \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{x} \) und \( v = \dfrac{x^2}{2} \). Wenden Sie die partielle Integration an: \[ \begin{aligned} &\color{red}{\text{gegebenes Integral}} \\[8pt] & \int x \; \ln x \; dx \\[15pt] & \color{red}{\text{partielle Integration}} \\[8pt] & = \dfrac{x^2}{2} \; \ln x - \int \dfrac{x^2}{2} \; \dfrac{1}{x} \; dx \\[15pt] &\color{red}{\text{Integranden vereinfachen}} \\[8pt] & = \dfrac{x^2}{2} \; \ln x - \int \dfrac{x}{2} \; dx \\[15pt] &\color{red}{\text{Integral berechnen, um die endgültige Antwort zu erhalten}} \\[8pt] & \int x \; \ln x \; dx = \dfrac{x^2}{2} \; \ln x - \dfrac{1}{4} \; x^2 + c \end{aligned} \]
Berechnen Sie das Integral \[ \int x \; \cos \left(\dfrac{x}{3} \right) \; dx \]
Lösung zu Beispiel 5:
Sei \( u = x \) und \( \dfrac{dv}{dx} = \cos \left(\dfrac{x}{3} \right) \), also \( \dfrac{du}{dx} = 1 \) und \( v = 3 \sin \left(\frac{x}{3}\right) \). \[ \begin{aligned} &\color{red}{\text{gegebenes Integral}} \\[8pt] & \int x \; \cos \left(\dfrac{x}{3} \right) \; dx \\[15pt] &\color{red}{\text{partielle Integration}} \\[8pt] & = x \cdot 3 \sin \left(\dfrac{x}{3}\right) - \int 1 \cdot 3 \sin \left(\dfrac{x}{3}\right) dx \\[15pt] &\color{red}{\text{Integral berechnen und vereinfachen, um die endgültige Antwort zu erhalten}} \\[8pt] & \int x \; \cos \left(\dfrac{x}{3} \right) \; dx = 3 x \sin\left(\dfrac{x}{3}\right) + 9 \cos\left(\dfrac{x}{3}\right) + c \end{aligned} \]
Verwenden Sie die partielle Integration, um das Integral zu berechnen \[ \int \ln x \; dx \]
Lösung zu Beispiel 6:
Wir schreiben den Integranden \( \ln(x) \) zunächst um als \( 1 \cdot \ln(x) \).
\[ \int \ln(x) dx = \int 1 \cdot \ln(x) \;dx \]
Sei \( u = \ln(x) \) und \( \dfrac{dv}{dx} = 1 \), also \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac {1}{x} \) und \( v = x \). Unter Verwendung der partiellen Integration erhalten wir: \[ \begin{aligned} & \int 1 \cdot \ln(x) \;dx = x \ln(x) - \int x \cdot (1/x) dx \\[15pt] &\color{red}{\text{Integranden auf der rechten Seite vereinfachen}} \\[8pt] & = x \ln(x) - \int 1 \cdot dx \\[15pt] &\color{red}{\text{Integral berechnen und vereinfachen, um die endgültige Antwort zu erhalten}} \\[8pt] & \int \ln(x) \; dx = x \ln(x) - x + c \end{aligned} \]
Verwenden Sie die partielle Integration, um das Integral zu berechnen \[ \int x^2 \; (\ln x)^2 \; dx \]
Lösung zu Beispiel 7:
Sei \( \dfrac{dv}{dx} = x^2 \) und \( u = (\ln(x))^2 \), also \( v = \dfrac{x^3}{3} \) und \( \dfrac{du}{dx} = 2 \dfrac{\ln x}{x} \). Verwenden Sie die partielle Integration: \[ \begin{aligned} & \int x^2 \; (\ln x)^2 \; dx = \dfrac{x^3}{3} \; (\ln(x))^2 - \int \dfrac{x^3}{3} \left( 2 \dfrac{\ln x}{x} \right) dx \\[15pt] &\color{red}{\text{Integranden auf der rechten Seite vereinfachen}} \\[8pt] & = \dfrac{x^3}{3} \; (\ln(x))^2 - \dfrac{2}{3} \int x^2 \; \ln x \; dx \\[15pt] & \color{red}{\text{Sei \( \dfrac{dw}{dx} = x^2 \) und \( z = \ln(x) \), also \( w = \dfrac{x^3}{3} \) und \( z' = \dfrac{1}{x} \).}} \\[8pt] & \color{red}{\text{Wenden Sie die partielle Integration erneut auf das Integral auf der rechten Seite an.}} \\[8pt] & = \dfrac{x^3}{3} (\ln(x))^2 - \dfrac{2}{3} \left( \dfrac{x^3}{3} \ln(x) - \int \dfrac{x^3}{3} \dfrac{1}{x} \; dx \right) \\[15pt] & \color{red}{\text{Integranden auf der rechten Seite vereinfachen}} \\[8pt] & = \dfrac{x^3}{3} (\ln(x))^2 - \dfrac{2}{3} \left( \dfrac{x^3}{3} \ln(x) - \dfrac{1}{3} \int x^2 \; dx \right) \\[15pt] & \color{red}{\text{Ausmultiplizieren und vereinfachen}} \\[8pt] & = \dfrac{x^3}{3} (\ln(x))^2 - \dfrac{2}{9} x^3 \ln(x) + \dfrac{2}{9} \int x^2 \; dx \\[15pt] & \color{red}{\text{Auf der rechten Seite integrieren, um die endgültige Antwort zu erhalten}} \\[8pt] & \int x^2 \; (\ln x)^2 \; dx = (\ln(x))^2 \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{2}{9}x^3 \ln(x) + \dfrac{2}{27} x^3 + c \end{aligned} \]
Verwenden Sie die partielle Integration, um das Integral zu berechnen \[ \int e^x \sin (2x) dx \]
Lösung zu Beispiel 8:
Sei \( I = \int e^x \sin (2x) \; dx \), das zu berechnende Integral.
Sei \( v = \sin(2x) \) und \( \dfrac{du}{dx} = e^x \), also \( \dfrac{dv}{dx} = 2 \cos(2x) \) und \( u = e^x \).
Verwenden Sie die partielle Integration: \[ \begin{aligned} & \int e^x \sin(2x) dx = e^x \sin(2x) - \int e^x \cdot 2 \cos(2x) dx \\[15pt] & \color{red}{\text{Konstante \( 2 \) vor das Integralzeichen ziehen und umschreiben}} \\[8pt] & = e^x \sin(2x) - 2 \int e^x \cdot \cos(2x) dx \\[15pt] & \color{red}{\text{Sei nun \( w = \cos(2x) \) und \( \dfrac{dz}{dx} = e^x \), also \( w' = -2 \sin(2x) \) und \( z = e^x \).}} \\[8pt] & \color{red}{\text{Wenden Sie die partielle Integration erneut auf das Integral auf der rechten Seite an.}} \\[8pt] & = e^x \sin(2x) - 2 \left( e^x \cdot \cos(2x) - \left( \int e^x \cdot (-2 \sin(2x)) dx \right) \right) \\[15pt] & \color{red}{\text{Ausmultiplizieren und vereinfachen}} \\[8pt] & = e^x \sin(2x) - 2 e^x \cdot \cos(2x) - 4 \left( \int e^x \cdot \sin(2x) dx \right) \\[15pt] & \color{red}{\text{Beachten Sie, dass das Integral auf der rechten Seite das Integral \( I = \int e^x \cdot \sin(2x) dx \) ist,}} \\[8pt] & \color{red}{\text{das wir berechnen wollen. Daher kann das Obige geschrieben werden als:}} \\[8pt] & I = e^x \sin(2x) - 2 e^x \cdot \cos(2x) - 4I \\[15pt] & \color{red}{\text{Lösen Sie die letzte Gleichung nach \( I \) auf, um die endgültige Antwort zu erhalten}} \\[8pt] & I = \int e^x \cdot \sin(2x) dx = \dfrac{e^x \sin(2x) - 2e^x \cos(2x)}{5} + c \end{aligned} \]
Verwenden Sie die Integrationstabelle und die Methode der partiellen Integration, um die folgenden Integrale zu finden. [Hinweis: Möglicherweise müssen Sie die Methode der partiellen Integration mehr als einmal anwenden].