Es werden Beispiele mit detaillierten Lösungen und Übungsaufgaben mit Antworten zur Anwendung der Technik der partiellen Integration zur Berechnung von Integralen vorgestellt.
Wiederholung der partiellen Integration
Die Methode der partiellen Integration kann verwendet werden, um Produkte von Funktionen einfach zu integrieren. Die Grundidee der partiellen Integration geht von der Ableitung des Produkts zweier Funktionen \( u \) und \( v \) aus, gegeben durch:
\[ \dfrac{d(u \cdot v)}{dx} = \dfrac{du}{dx} v + u \dfrac{dv}{dx} \]Formen Sie die obige Gleichung um als:
\[ u \dfrac{dv}{dx} = \dfrac{d(u \cdot v)}{dx} - \dfrac{du}{dx} v \]Integrieren Sie beide Seiten der Gleichung:
\[ \int u \dfrac{dv}{dx} \, dx = \int \dfrac{d(u \cdot v)}{dx} \, dx - \int \dfrac{du}{dx} v \, dx \]Unter Berücksichtigung von \( \int \dfrac{d(u \cdot v)}{dx} \, dx = uv \) vereinfacht sich der Ausdruck, um die Regel der partiellen Integration zu erhalten:
\[ \int u \dfrac{dv}{dx} \, dx = u v - \int \dfrac{du}{dx} v \, dx \]Beachten Sie, dass jede Wahl, welche Funktion im Integranden als \( u \) und welche als \( \dfrac{dv}{dx} \) gewählt wird, das Integral auf der rechten Seite der Formel vereinfachen muss.
Beispiele mit detaillierten Lösungen
Im Folgenden ist \( c \) eine Integrationskonstante.
Klicken Sie auf jedes Beispiel, um dessen detaillierte Lösung anzuzeigen.
Beispiel 1: Berechne \( \displaystyle \int 3x e^x \, dx \)
Lösung zu Beispiel 1:
\( 3 \) ist eine Konstante und kann daher vor das Integralzeichen gezogen werden.
Sei \( u = x \) und \( \dfrac{dv}{dx} = e^x \), folglich \( \dfrac{du}{dx} = 1 \) und \( v = \displaystyle \int e^x \, dx = e^x \). Unter Anwendung der partiellen Integration:
\[ \begin{aligned} \int 3x e^x \, dx &= 3 \int x e^x \, dx \\ &= 3 \left( x e^x - \int 1 \cdot e^x \, dx \right) \\ &= 3x e^x - 3e^x + c \end{aligned} \]Beispiel 2: Berechne \( \displaystyle \int x \sin(x) \, dx \)
Lösung zu Beispiel 2:
Sei \( u = x \) und \( \dfrac{dv}{dx} = \sin(x) \), folglich \( \dfrac{du}{dx} = 1 \) und \( v = -\cos(x) \). Anwendung der partiellen Integration:
\[ \begin{aligned} \int x \sin(x) \, dx &= x(-\cos(x)) - \int 1 \cdot (-\cos(x)) \, dx \\ &= -x \cos(x) + \int \cos(x) \, dx \\ &= -x \cos(x) + \sin(x) + c \end{aligned} \]Beispiel 3: Berechne \( \displaystyle \int x^2 \cos x \, dx \)
Lösung zu Beispiel 3:
Sei \( u = x^2 \) und \( \dfrac{dv}{dx} = \cos(x) \), folglich \( \dfrac{du}{dx} = 2x \) und \( v = \sin(x) \). Wenden Sie die partielle Integration an:
\[ \int x^2 \cos(x) \, dx = x^2 \sin(x) - 2 \int x \sin(x) \, dx \qquad (I) \]Wir wenden nun die partielle Integration auf das verbleibende Integral \( \displaystyle \int x \sin(x) \, dx \) an. Wie in Beispiel 2 berechnet, ist \( \displaystyle \int x \sin(x) \, dx = -x \cos(x) + \sin(x) \). Setzen Sie dies wieder ein:
\[ \begin{aligned} &= x^2 \sin(x) - 2(-x \cos(x) + \sin(x)) + c \\ &= x^2 \sin(x) + 2x \cos(x) - 2\sin(x) + c \end{aligned} \]Beispiel 4: Berechne \( \displaystyle \int x \ln x \, dx \)
Lösung zu Beispiel 4:
Sei \( u = \ln(x) \) und \( \dfrac{dv}{dx} = x \), folglich \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{x} \) und \( v = \dfrac{x^2}{2} \). Wenden Sie die partielle Integration an:
\[ \begin{aligned} \int x \ln x \, dx &= \dfrac{x^2}{2} \ln x - \int \dfrac{x^2}{2} \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \\ &= \dfrac{x^2}{2} \ln x - \int \dfrac{x}{2} \, dx \\ &= \dfrac{x^2}{2} \ln x - \dfrac{1}{4} x^2 + c \end{aligned} \]Beispiel 5: Berechne \( \displaystyle \int x \cos \left(\dfrac{x}{3}\right) \, dx \)
Lösung zu Beispiel 5:
Sei \( u = x \) und \( \dfrac{dv}{dx} = \cos\left(\dfrac{x}{3}\right) \), folglich \( \dfrac{du}{dx} = 1 \) und \( v = 3 \sin\left(\dfrac{x}{3}\right) \):
\[ \begin{aligned} \int x \cos \left(\dfrac{x}{3}\right) \, dx &= x \cdot 3 \sin \left(\dfrac{x}{3}\right) - \int 1 \cdot 3 \sin \left(\dfrac{x}{3}\right) dx \\ &= 3x \sin\left(\dfrac{x}{3}\right) - 3 \left( -3 \cos\left(\dfrac{x}{3}\right) \right) + c \\ &= 3x \sin\left(\dfrac{x}{3}\right) + 9 \cos\left(\dfrac{x}{3}\right) + c \end{aligned} \]Beispiel 6: Verwenden Sie die partielle Integration, um \( \displaystyle \int \ln x \, dx \) zu berechnen
Lösung zu Beispiel 6:
Wir schreiben den Integranden \( \ln(x) \) zunächst als \( 1 \cdot \ln(x) \) um:
\[ \int \ln(x) \, dx = \int 1 \cdot \ln(x) \, dx \]Sei \( u = \ln(x) \) und \( \dfrac{dv}{dx} = 1 \), folglich \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{x} \) und \( v = x \). Unter Verwendung der partiellen Integration:
\[ \begin{aligned} \int 1 \cdot \ln(x) \, dx &= x \ln(x) - \int x \cdot \left(\dfrac{1}{x}\right) dx \\ &= x \ln(x) - \int 1 \, dx \\ &= x \ln(x) - x + c \end{aligned} \]Beispiel 7: Verwenden Sie die partielle Integration, um \( \displaystyle \int x^2 (\ln x)^2 \, dx \) zu berechnen
Lösung zu Beispiel 7:
Sei \( \dfrac{dv}{dx} = x^2 \) und \( u = (\ln x)^2 \), folglich \( v = \dfrac{x^3}{3} \) und \( \dfrac{du}{dx} = 2 \dfrac{\ln x}{x} \). Unter Verwendung der partiellen Integration:
\[ \begin{aligned} \int x^2 (\ln x)^2 \, dx &= \dfrac{x^3}{3} (\ln x)^2 - \int \dfrac{x^3}{3} \left( 2 \dfrac{\ln x}{x} \right) dx \\ &= \dfrac{x^3}{3} (\ln x)^2 - \dfrac{2}{3} \int x^2 \ln x \, dx \end{aligned} \]Wenden Sie nun die partielle Integration ein zweites Mal auf \( \int x^2 \ln x \, dx \) an (wobei \( w = \ln x, \dfrac{dz}{dx} = x^2 \implies w' = \dfrac{1}{x}, z = \dfrac{x^3}{3} \)):
\[ \begin{aligned} &= \dfrac{x^3}{3} (\ln x)^2 - \dfrac{2}{3} \left( \dfrac{x^3}{3} \ln x - \int \dfrac{x^3}{3} \cdot \dfrac{1}{x} \, dx \right) \\ &= \dfrac{x^3}{3} (\ln x)^2 - \dfrac{2}{9} x^3 \ln x + \dfrac{2}{9} \int x^2 \, dx \\ &= \dfrac{x^3}{3} (\ln x)^2 - \dfrac{2}{9} x^3 \ln x + \dfrac{2}{27} x^3 + c \end{aligned} \]Beispiel 8: Berechne \( \displaystyle \int e^x \sin(2x) \, dx \)
Lösung zu Beispiel 8:
Sei \( I = \int e^x \sin(2x) \, dx \).
Sei \( v = \sin(2x) \) und \( \dfrac{du}{dx} = e^x \), folglich \( \dfrac{dv}{dx} = 2\cos(2x) \) und \( u = e^x \). Unter Verwendung der partiellen Integration:
\[ \int e^x \sin(2x) \, dx = e^x \sin(2x) - \int e^x \cdot 2\cos(2x) \, dx \] \[ = e^x \sin(2x) - 2 \int e^x \cos(2x) \, dx \]Wenden Sie die partielle Integration nun erneut auf \( \int e^x \cos(2x) \, dx \) an (sei \( w = \cos(2x), \dfrac{dz}{dx} = e^x \implies w' = -2\sin(2x), z = e^x \)):
\[ = e^x \sin(2x) - 2 \left( e^x \cos(2x) - \int e^x(-2\sin(2x)) \, dx \right) \] \[ = e^x \sin(2x) - 2e^x \cos(2x) - 4 \int e^x \sin(2x) \, dx \]Da das Integral auf der rechten Seite \( I \) ist, erhalten wir:
\[ I = e^x \sin(2x) - 2e^x \cos(2x) - 4I \]Nach \( I \) aufgelöst:
\[ 5I = e^x \sin(2x) - 2e^x \cos(2x) \] \[ \int e^x \sin(2x) \, dx = \dfrac{e^x \sin(2x) - 2e^x \cos(2x)}{5} + c \]Übungsaufgaben
Verwenden Sie die Tabelle der Integralformeln und die Methode der partiellen Integration, um die folgenden Integrale zu finden. [Beachten Sie, dass Sie die partielle Integration eventuell mehr als einmal anwenden müssen].
- \( \displaystyle \int x \cos(x) \, dx \)
- \( \displaystyle \int x e^{2x} \, dx \)
- \( \displaystyle \int x^{1/3} \ln x \, dx \)
- \( \displaystyle \int \dfrac{\ln x}{x^2} \, dx \)
- \( \displaystyle \int x^3 \cos x \, dx \)
- \( \displaystyle \int x^2 e^{-3x} \, dx \)
- \( \displaystyle \int e^x \cos(2x) \, dx \)
Antworten zu den obigen Übungsaufgaben
- \( x \sin(x) + \cos(x) + c \)
- \( \dfrac{x}{2} e^{2x} - \dfrac{1}{4} e^{2x} + c \)
- \( \dfrac{3}{4} x^{4/3} \ln(x) - \dfrac{9}{16} x^{4/3} + c \)
- \( -\dfrac{\ln x}{x} - \dfrac{1}{x} + c \)
- \( 3(x^2 - 2) \cos(x) + (x^3 - 6x) \sin(x) + c \)
- \( -\dfrac{1}{27} (9x^2 + 6x + 2) e^{-3x} + c \)
- \( \dfrac{1}{5} (e^x \cos(2x) + 2e^x \sin(2x)) + c \)