Die Zerlegung von Brüchen [1] in einfachere, handhabbare Brüche wird vorgestellt. Eine ihrer wichtigen Anwendungen ist die
Berechnung von Integralen rationaler Funktionen in der Analysis. Beispiele und Fragen und ihre Lösungen sind enthalten.
Ein Online-Rechner zur Partialbruchzerlegung kann verwendet werden, um die Antworten zu den Beispielen und Fragen zu überprüfen.
Wie zerlegt man eine rationale Funktion \( \dfrac{P(x)}{Q(x)} \) in Partialbrüche?
1 - Faktorisieren Sie das Polynom Q(x) im Nenner der obigen rationalen Funktion vollständig in Faktoren der Form
\[ (ax + b)^m \text{ und } (a x^2 + b x + c)^n \]
Beispiel
Sei \( f(x) = \dfrac{2x-1}{x^3 + 2x^2 + 4x} \)
Der Nenner wird wie folgt faktorisiert:
\[ x^3 + 2x^2 + 4x = x (x^2 + 2x + 4) \]
Der quadratische Term \( x^2 + 2 x + 4 \) ist über den reellen Zahlen irreduzibel (kann nicht faktorisiert werden).
2 - Für jeden Faktor der Form \( (ax + b)^m \) beinhaltet die Zerlegung die folgende Summe von Brüchen:
\[ \dfrac{C_1}{ax + b}+\dfrac{C_2}{(ax + b)^2}+...+\dfrac{C_m}{(ax + b)^m} \]
Beispiel
Der Bruch \( \dfrac{2}{(x-2)^3} \) wird zerlegt als:
\[ \dfrac{2}{(x-2)^3}=\dfrac{C_1}{x-2}+\dfrac{C_2}{(x-2)^2}+\dfrac{C_3}{(x-2)^3} \]
3 - Für jeden Faktor der Form \( (a x^2 + b x + c)^n \) beinhaltet die Zerlegung die folgende Summe von Brüchen:
\[ \dfrac{A_1 x + B_1}{a x^2 + b x + c} + \dfrac{A_2 x + B_2}{(a x^2 + b x + c)^2} + ... + \dfrac{A_n x + B_n}{(a x^2 + b x + c)^n} \]
Zerlege in Partialbrüche: \[ \dfrac{2 x + 5}{x^2-x-2} \]
Lösung zu Beispiel 1:
Wir beginnen mit der Faktorisierung des Nenners:
\[ x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) \]
Beide Faktoren sind linear, jeweils mit der Potenz \(1\), daher wird der gegebene Bruch wie folgt zerlegt:
\[ \dfrac{2 x + 5}{x^2-x-2}=\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x+1} \]
Multiplizieren Sie beide Seiten der obigen Gleichung mit dem kleinsten gemeinsamen Nenner \( (x - 2)(x + 1) \) und vereinfachen Sie, um eine Gleichung der Form zu erhalten:
\[ 2 x+5 = A(x + 1) + B(x - 2) \]
Entwickeln Sie die rechte Seite und fassen Sie gleichartige Terme zusammen:
\[ 2 x + 5 = x (A + B) + A - 2 B \]
Damit die rechte und linke Polynomseite gleich sind, muss gelten:
\[ 2 = A + B \quad \text{und} \quad 5 = A - 2 B \]
Lösen Sie das obige System, um zu erhalten:
\[ A = 3 \quad \text{und} \quad B = -1 \]
Setzen Sie \( A \) und \( B \) in die oben vorgeschlagene Zerlegung ein, um zu erhalten:
\[ \dfrac{2 x + 5}{x^2-x-2}=\dfrac{3}{x-2}-\dfrac{1}{x+1} \]
Fassen Sie zur Übung die Terme auf der rechten Seite zusammen, um die linke Seite zu erhalten.
Lösung zu Beispiel 2:
Wir beginnen mit der Faktorisierung des Nenners:
\[ x^2 + 2 x + 1 = (x + 1)^2 \]
Unter Verwendung der obigen Regel wird der gegebene Bruch wie folgt zerlegt:
\[ \dfrac{1-2 x}{x^2+2x+1}=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{(x+1)^2} \]
Multiplizieren Sie beide Seiten der obigen Gleichung mit \( (x + 1)^2 \) und vereinfachen Sie, um eine Gleichung der Form zu erhalten:
\[ 1 - 2 x = A(x + 1) + B \]
Entwickeln Sie die rechte Seite und fassen Sie gleichartige Terme zusammen:
\[ -2x + 1 = A x + (A + B) \]
Damit die rechte und linke Polynomseite gleich sind, muss gelten:
\[ -2 = A \quad \text{und} \quad 1 = A + B \]
Lösen Sie das obige System, um zu erhalten:
\[ A = -2 \quad \text{und} \quad B = 3 \]
Setzen Sie \( A \) und \( B \) in die oben vorgeschlagene Zerlegung ein, um zu erhalten:
\[ \dfrac{1-2 x}{x^2+2x+1}=\dfrac{-2}{x+1}+\dfrac{3}{(x+1)^2} \]
Lösung zu Beispiel 3:
Verwenden Sie die obige Regel, um den gegebenen Bruch wie folgt zu zerlegen:
\[ \dfrac{4x^2-x+8}{(x-2)(x^2+2x+3)}=\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B x+C}{x^2+2x+3} \]
Multiplizieren Sie beide Seiten der obigen Gleichung mit \( (x - 2)(x^2 + 2 x + 3) \) und vereinfachen Sie, um eine Gleichung der Form zu erhalten:
\[ 4 x^2 - x + 8 = A(x^2 + 2 x + 3) + (B x + C)(x - 2) \]
Die obige Gleichheit gilt für alle Werte von \( x \). Verwenden wir \( x = 2 \), um eine Gleichung in \( A \) zu erhalten:
\[ 22 = 11 A \]
Lösen Sie nach \( A \) auf, um zu erhalten:
\[ A = 2 \]
Um \( C \) zu finden, verwenden wir \( x = 0 \) in der obigen Gleichung:
\[ 8 = 6 - 2 C \]
Lösen Sie nach \( C \) auf, um zu erhalten:
\[ C = -1 \]
Um \( B \) zu finden, verwenden wir nun \( x = 1 \) in der obigen Gleichung:
\[ 11 = 12 + (B - 1)(1 - 2) \]
Lösen Sie nach \( B \) auf, um zu erhalten:
\[ B = 2 \]
Der gegebene Bruch kann wie folgt zerlegt werden:
\[ \dfrac{4x^2-x+8}{(x-2)(x^2+2x+3)}=\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{2 x-1}{x^2+2x+3} \]