Es wird die Zerlegung von Brüchen in einfachere, handhabbare Brüche vorgestellt. Eine ihrer wichtigen Anwendungen liegt in der Berechnung von Integralen rationalen Funktionen in der Analysis. Beispiele und Fragen sowie deren Lösungen sind enthalten.
Ein Online-Rechner für die Partialbruchzerlegung kann verwendet werden, um die Antworten zu den Beispielen und Fragen zu überprüfen.
Regeln der Partialbruchzerlegung
Wie zerlegt man eine rationale Funktion \( \dfrac{P(x)}{Q(x)} \) in Partialbrüche?
1 - Zerlegen Sie das Polynom \( Q(x) \) im Nenner der obigen rationalen Funktion vollständig in Faktoren der Form:
\[ (ax + b)^m \quad \text{und} \quad (ax^2 + bx + c)^n \]Beispiel: Sei \( f(x) = \dfrac{2x-1}{x^3 + 2x^2 + 4x} \). Der Nenner wird faktorisiert als \( x^3 + 2x^2 + 4x = x(x^2 + 2x + 4) \). Der quadratische Term \( x^2 + 2x + 4 \) ist über den reellen Zahlen irreduzibel.
2 - Für jeden Faktor der Form \( (ax + b)^m \) enthält die Zerlegung die folgende Summe von Brüchen:
\[ \dfrac{C_1}{ax + b} + \dfrac{C_2}{(ax + b)^2} + \dots + \dfrac{C_m}{(ax + b)^m} \]Beispiel: Der Bruch \( \dfrac{2}{(x-2)^3} \) wird zerlegt als \( \dfrac{C_1}{x-2} + \dfrac{C_2}{(x-2)^2} + \dfrac{C_3}{(x-2)^3} \).
3 - Für jeden Faktor der Form \( (ax^2 + bx + c)^n \) enthält die Zerlegung die folgende Summe von Brüchen:
\[ \dfrac{A_1 x + B_1}{ax^2 + bx + c} + \dfrac{A_2 x + B_2}{(ax^2 + bx + c)^2} + \dots + \dfrac{A_n x + B_n}{(ax^2 + bx + c)^n} \]Beispiele mit detaillierten Lösungen
Klicken Sie auf jedes Beispiel, um dessen detaillierte Schritt-für-Schritt-Lösung anzuzeigen.
Beispiel 1: Zerlegen Sie in Partialbrüche \( \displaystyle \dfrac{2x + 5}{x^2 - x - 2} \)
Lösung zu Beispiel 1:
Wir beginnen damit, den Nenner zu faktorisieren:
\[ x^2 - x - 2 = (x - 2)(x + 1) \]Beide Faktoren sind linear mit der Potenz \( 1 \), weshalb der gegebene Bruch wie folgt zerlegt wird:
\[ \dfrac{2x + 5}{x^2 - x - 2} = \dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{B}{x + 1} \]Multiplizieren Sie beide Seiten mit dem Hauptnenner \( (x - 2)(x + 1) \) und vereinfachen Sie:
\[ 2x + 5 = A(x + 1) + B(x - 2) \]Multiplizieren Sie die rechte Seite aus und fassen Sie gleichartige Terme zusammen:
\[ 2x + 5 = x(A + B) + A - 2B \]Durch Koeffizientenvergleich der Polynome:
\[ 2 = A + B \quad \text{und} \quad 5 = A - 2B \]Die Lösung dieses Systems liefert \( A = 3 \) und \( B = -1 \). Rücksubstitution:
\[ \dfrac{2x + 5}{x^2 - x - 2} = \dfrac{3}{x - 2} - \dfrac{1}{x + 1} \]Beispiel 2: Zerlegen Sie in Partialbrüche \( \displaystyle \dfrac{1 - 2x}{x^2 + 2x + 1} \)
Lösung zu Beispiel 2:
Faktorisieren Sie den Nenner:
\[ x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 \]Unter Verwendung der Regel für mehrfache Linearfaktoren:
\[ \dfrac{1 - 2x}{x^2 + 2x + 1} = \dfrac{A}{x + 1} + \dfrac{B}{(x + 1)^2} \]Multiplizieren Sie beide Seiten mit \( (x + 1)^2 \):
\[ 1 - 2x = A(x + 1) + B \implies -2x + 1 = Ax + (A + B) \]Koeffizientenvergleich:
\[ -2 = A \quad \text{und} \quad 1 = A + B \implies B = 3 \]Einsetzen von \( A \) und \( B \):
\[ \dfrac{1 - 2x}{x^2 + 2x + 1} = \dfrac{-2}{x + 1} + \dfrac{3}{(x + 1)^2} \]Beispiel 3: Zerlegen Sie in Partialbrüche \( \displaystyle \dfrac{4x^2 - x + 8}{(x - 2)(x^2 + 2x + 3)} \)
Lösung zu Beispiel 3:
Zerlegen Sie unter Verwendung der Regeln für lineare und irreduzible quadratische Faktoren:
\[ \dfrac{4x^2 - x + 8}{(x - 2)(x^2 + 2x + 3)} = \dfrac{A}{x - 2} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + 2x + 3} \]Multiplizieren Sie beide Seiten mit \( (x - 2)(x^2 + 2x + 3) \):
\[ 4x^2 - x + 8 = A(x^2 + 2x + 3) + (Bx + C)(x - 2) \]Sei \( x = 2 \):
\[ 4(4) - 2 + 8 = A(4 + 4 + 3) \implies 22 = 11A \implies A = 2 \]Sei \( x = 0 \):
\[ 8 = A(3) + C(-2) \implies 8 = 2(3) - 2C \implies 2 = -2C \implies C = -1 \]Sei \( x = 1 \) (unter Berücksichtigung von \( A = 2, C = -1 \)):
\[ 4(1) - 1 + 8 = 2(1 + 2 + 3) + (B - 1)(1 - 2) \] \[ 11 = 12 - (B - 1) \implies B = 2 \]Der Bruch zerfällt in:
\[ \dfrac{4x^2 - x + 8}{(x - 2)(x^2 + 2x + 3)} = \dfrac{2}{x - 2} + \dfrac{2x - 1}{x^2 + 2x + 3} \]Fragen
Zerlegen Sie die folgenden Brüche in Partialbrüche:
- \( \displaystyle \dfrac{-x + 10}{x^2 + x - 2} \)
- \( \displaystyle \dfrac{2x - 3}{(x - 3)^2} \)
- \( \displaystyle \dfrac{-3x - 24}{(x + 4)(x^2 + 5x + 10)} \)
Lösungen zu den obigen Fragen
-
Nenner faktorisieren: \( x^2 + x - 2 = (x - 1)(x + 2) \).
Ansatz: \( \dfrac{-x + 10}{x^2 + x - 2} = \dfrac{A}{x - 1} + \dfrac{B}{x + 2} \).
Antwort: \( \dfrac{3}{x - 1} - \dfrac{4}{x + 2} \) -
Der Nenner ist bereits faktorisiert.
Ansatz: \( \dfrac{2x - 3}{(x - 3)^2} = \dfrac{A}{x - 3} + \dfrac{B}{(x - 3)^2} \).
Antwort: \( \dfrac{2}{x - 3} + \dfrac{3}{(x - 3)^2} \) -
Der Ausdruck \( x^2 + 5x + 10 \) lässt sich über den reellen Zahlen nicht faktorisieren (\( \Delta = 5^2 - 4(1)(10) = -25 < 0 \)).
Ansatz: \( \dfrac{-3x - 24}{(x + 4)(x^2 + 5x + 10)} = \dfrac{A}{x + 4} + \dfrac{Bx + C}{x^2 + 5x + 10} \).
Antwort: \( -\dfrac{2}{x + 4} + \dfrac{2x - 1}{x^2 + 5x + 10} \)
Weitere Literaturhinweise und Links
- University Calculus - Early Transcendentals - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13: 978-0134995540
- Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13: 978-0961408824
- Calculus - Early Transcendentals - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
- Online-Rechner für Partialbruchzerlegung