Tutorial zur Berechnung von Integralen mit dem Produkt von Potenzen von \( \sin(x) \) und \( \cos(x) \), bei denen eine der beiden einen ungeraden Exponenten hat. Beispiele und Übungsaufgaben mit Lösungen sind enthalten.
Im Folgenden stellt \( C \) die Integrationskonstante dar.
Beispiele mit detaillierten Lösungen
Klicken Sie auf jedes Beispiel, um dessen detaillierte Schritt-für-Schritt-Lösung anzuzeigen.
Beispiel 1: Berechne \( \displaystyle \int \sin^3(x) \cos^2(x) \, dx \)
Lösung zu Beispiel 1:
Die Grundidee besteht darin, das Integral umzuschreiben, indem man den Term mit dem ungeraden Exponenten in das Produkt aus einer geraden Potenz und einer einzelnen Potenz von 1 aufteilt:
\[ \sin^3(x) = \sin^2(x) \sin(x) \]Folglich kann das gegebene Integral geschrieben werden als:
\[ \int \sin^3(x) \cos^2(x) \, dx = \int \sin^2(x) \cos^2(x) \sin(x) \, dx \]Wir verwenden nun die pythagoreische Identität \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \) und substituieren:
\[ \int \sin^3(x) \cos^2(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x)) \cos^2(x) \sin(x) \, dx \]Sei \( u = \cos(x) \), was \( \dfrac{du}{dx} = -\sin(x) \) bzw. \( -du = \sin(x) \, dx \) ergibt. Durch Einsetzen in das Integral:
\[ = -\int (1 - u^2) u^2 \, du \]Multiplizieren Sie aus und berechnen Sie das Integral:
\[ = \int (u^4 - u^2) \, du = \dfrac{1}{5}u^5 - \dfrac{1}{3}u^3 + C \]Setzen Sie \( u = \cos(x) \) wieder ein:
\[ \int \sin^3(x) \cos^2(x) \, dx = \dfrac{1}{5}\cos^5(x) - \dfrac{1}{3}\cos^3(x) + C \]Beispiel 2: Berechne \( \displaystyle \int \sin^{12}(x) \cos^5(x) \, dx \)
Lösung zu Beispiel 2:
Schreiben Sie \( \cos^5(x) \) als \( \cos^4(x) \cos(x) \) um:
\[ \int \sin^{12}(x) \cos^5(x) \, dx = \int \sin^{12}(x) \cos^4(x) \cos(x) \, dx \]Verwenden Sie die Identität \( \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \), um \( \cos^4(x) \) durch Potenzen von \( \sin(x) \) auszudrücken:
\[ = \int \sin^{12}(x) (1 - \sin^2(x))^2 \cos(x) \, dx \]Sei \( u = \sin(x) \), was \( du = \cos(x) \, dx \) ergibt. Durch Einsetzen in das Integral:
\[ = \int u^{12} (1 - u^2)^2 \, du \]Multiplizieren Sie den Integranden aus:
\[ = \int u^{12} (1 - 2u^2 + u^4) \, du = \int (u^{12} - 2u^{14} + u^{16}) \, du \]Integrieren Sie Term für Term:
\[ = \dfrac{1}{13}u^{13} - \dfrac{2}{15}u^{15} + \dfrac{1}{17}u^{17} + C \]Setzen Sie \( u = \sin(x) \) wieder ein:
\[ \int \sin^{12}(x) \cos^5(x) \, dx = \dfrac{1}{17}\sin^{17}(x) - \dfrac{2}{15}\sin^{15}(x) + \dfrac{1}{13}\sin^{13}(x) + C \]Übungsaufgaben
Berechnen Sie die folgenden Integrale. Klicken Sie auf jede Übung, um die Schritt-für-Schritt-Lösung anzuzeigen.
Übung 1: Berechne \( \displaystyle \int \cos^3(x) \sin^2(x) \, dx \)
Lösung:
Schreiben Sie \( \cos^3(x) = \cos^2(x)\cos(x) = (1 - \sin^2(x))\cos(x) \) um:
\[ \int \cos^3(x) \sin^2(x) \, dx = \int (1 - \sin^2(x))\sin^2(x) \cos(x) \, dx \]Sei \( u = \sin(x) \), \( du = \cos(x) \, dx \):
\[ = \int (1 - u^2)u^2 \, du = \int (u^2 - u^4) \, du = \dfrac{1}{3}u^3 - \dfrac{1}{5}u^5 + C \]Setzen Sie \( u = \sin(x) \) wieder ein:
\[ = \dfrac{1}{3}\sin^3(x) - \dfrac{1}{5}\sin^5(x) + C \]Übung 2: Berechne \( \displaystyle \int \sin^3(x) \cos^{14}(x) \, dx \)
Lösung:
Schreiben Sie \( \sin^3(x) = \sin^2(x)\sin(x) = (1 - \cos^2(x))\sin(x) \) um:
\[ \int \sin^3(x) \cos^{14}(x) \, dx = \int (1 - \cos^2(x))\cos^{14}(x) \sin(x) \, dx \]Sei \( u = \cos(x) \), \( du = -\sin(x) \, dx \implies -du = \sin(x) \, dx \):
\[ = -\int (1 - u^2)u^{14} \, du = \int (u^{16} - u^{14}) \, du = \dfrac{1}{17}u^{17} - \dfrac{1}{15}u^{15} + C \]Setzen Sie \( u = \cos(x) \) wieder ein:
\[ = \dfrac{1}{17}\cos^{17}(x) - \dfrac{1}{15}\cos^{15}(x) + C \]