Tutorial zum Finden von Integralen, die das Produkt von Potenzen von \( \sin(x) \) und \( \cos(x) \) beinhalten, wobei eine der beiden eine ungerade Potenz hat. Beispiele und Übungen mit Lösungen sind enthalten.
Im Folgenden ist C die Integrationskonstante.
Berechnen Sie das Integral
\[ \int \sin^3(x) \cos^2(x) dx \]Lösung zu Beispiel 1:
Die Hauptidee besteht darin, das Integral umzuschreiben, indem der Term mit der ungeraden Potenz als Produkt eines Terms mit der Potenz 1 und eines Terms mit einer geraden Potenz geschrieben wird.
Beispiel: \( \sin^3(x) = \sin^2(x) \sin(x) \).
Daher kann das gegebene Integral wie folgt geschrieben werden:
\[ \int \sin^3(x) \cos^2(x) dx = \int \sin^2(x) \cos^2(x) \sin(x) dx \]Wir verwenden nun die Identität \( \sin^2(x) = 1 - \cos^2(x) \) und schreiben das gegebene Integral wie folgt um:
\[ \int \sin^3(x) \cos^2(x) dx = \int (1 - \cos^2(x)) \cos^2(x) \sin(x) dx \]Wir setzen nun \( u = \cos(x) \), also \( du/dx = -\sin(x) \) oder \( -du = \sin(x)dx \) und substituieren in das gegebene Integral, um zu erhalten:
\[ \int \sin^3(x) \cos^2(x) dx = -\int (1 - u^2) u^2 du \]Multiplizieren Sie aus und berechnen Sie das Integral auf der rechten Seite:
\[ \int \sin^3(x) \cos^2(x) dx = \int (u^4 - u^2) du \] \[ = \dfrac{1}{5}u^5 - \dfrac{1}{3}u^3 + C \]Ersetzen Sie \( u \) durch \( \cos(x) \), um zu erhalten:
\[ \displaystyle \int \sin^3(x) \cos^2(x) dx = \dfrac{1}{5}\cos^5(x) - \dfrac{1}{3}\cos^3(x) + C \]Berechnen Sie das Integral
\[ \int \sin^{12}(x) \cos^5(x) dx \]Lösung zu Beispiel 2:
Schreiben Sie \( \cos^5(x) \) um als \( \cos^5(x) = \cos^4(x) \cos(x) \).
Daher kann das gegebene Integral wie folgt geschrieben werden:
\[ \int \sin^{12}(x) \cos^5(x) dx = \int \sin^{12}(x) \cos^4(x) \cos(x) dx \]Wir verwenden nun die Identität \( \cos^2(x) = 1 - \sin^2(x) \), um \( \cos^4(x) \) als Potenz von \( \sin(x) \) auszudrücken und schreiben das gegebene Integral wie folgt um:
\[ \int \sin^{12}(x) \cos^5(x) dx = \int \sin^{12}(x) (1 - \sin^2(x))^2 \cos(x) dx \]Wir setzen nun \( u = \sin(x) \), also \( du/dx = \cos(x) \) oder \( du = \cos(x)dx \) und substituieren in das gegebene Integral, um zu erhalten:
\[ \displaystyle \int \sin^{12}(x) \cos^5(x) dx = \int u^{12} (1 - u^2)^2 du \]Multiplizieren Sie aus und berechnen Sie das Integral auf der rechten Seite:
\[ \displaystyle \int \sin^{12}(x) \cos^5(x) dx = \int (u^{16} - 2u^{14} + u^{12}) du \] \[ = \dfrac{1}{17}u^{17} - \dfrac{2}{15}u^{15} + \dfrac{1}{13}u^{13} + C \]Ersetzen Sie \( u \) durch \( \sin(x) \), um zu erhalten:
\[ \int \sin^{12}(x) \cos^5(x) dx = \dfrac{1}{17}\sin^{17}(x) - \dfrac{2}{15}\sin^{15}(x) + \dfrac{1}{13}\sin^{13}(x) + C \]Berechnen Sie die folgenden Integrale.
1. \( \displaystyle \int \cos^3(x) \sin^2(x) dx \)
2. \( \displaystyle \int \sin^3(x) \cos^{14}(x) dx \)
1. \( -\dfrac{1}{5}\sin^5(x) + \dfrac{1}{3}\sin^3(x) \)
2. \( \dfrac{1}{17}\cos^{17}(x) - \dfrac{1}{15}\cos^{15}(x) \)
Integrale und ihre Anwendungen in der Analysis.