Tutorial zur Berechnung von Integralen mit geraden Potenzen von \( \sin(x) \) unter Verwendung von Gradsenkungsformeln. Übungsaufgaben mit Antworten befinden sich am Ende der Seite. Die Integration ungerader Potenzen von Sinus ist wesentlich einfacher.
Im Folgenden stellt \( C \) die Integrationskonstante dar.
Gradsenkungsformeln
Für eine positive ganze Zahl \( n \) haben wir die folgenden Formeln in der Trigonometrie, die verwendet werden können, um die Potenz von \( \sin(x) \) zu senken:
- (a) \( \sin^2(x) = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \)
- (b) \( \sin^3(x) = \dfrac{1}{4}(3\sin(x) - \sin(3x)) \)
- (c) \( \sin^4(x) = \dfrac{1}{8}(3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)) \)
- (d) \( \sin^5(x) = \dfrac{1}{16}(\sin(5x) - 5\sin(3x) + 10\sin(x)) \)
- (e) \( \sin^6(x) = \dfrac{1}{32}(10 - 15\cos(2x) + 6\cos(4x) - \cos(6x)) \)
Beispiele mit detaillierten Lösungen
Klicken Sie auf jedes Beispiel, um dessen detaillierte Schritt-für-Schritt-Lösung anzuzeigen.
Beispiel 1: Berechne \( \displaystyle \int \sin^2(x) \, dx \)
Lösung zu Beispiel 1:
Die Grundidee besteht darin, die Identität \( \sin^2(x) = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \) zu verwenden, um die Potenz zu senken und das Integral leicht berechenbar zu machen:
\[ \int \sin^2(x) \, dx = \int \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \, dx \] \[ = \dfrac{1}{2}\int 1 \, dx - \dfrac{1}{2}\int \cos(2x) \, dx \] \[ = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}\sin(2x) + C \]Beispiel 2: Berechne \( \displaystyle \int [\sin^2(x) - 16\sin^6(x)] \, dx \)
Lösung zu Beispiel 2:
Verwenden Sie die Gradsenkungsformeln, um das Integral umzuschreiben:
\[ \int [\sin^2(x) - 16\sin^6(x)] \, dx \] \[ = \int \left[\dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) - 16\left(\dfrac{1}{32}\right)(10 - 15\cos(2x) + 6\cos(4x) - \cos(6x))\right] \, dx \] \[ = \dfrac{1}{2} \int [1 - \cos(2x) - 10 + 15\cos(2x) - 6\cos(4x) + \cos(6x)] \, dx \] \[ = \dfrac{1}{2} \int [-9 + 14\cos(2x) - 6\cos(4x) + \cos(6x)] \, dx \] \[ = \dfrac{1}{2} \left( -9x + 7\sin(2x) - \dfrac{3}{2}\sin(4x) + \dfrac{1}{6}\sin(6x) \right) + C \]Übungsaufgaben
Berechnen Sie die folgenden Integrale. Klicken Sie auf jede Übung, um die Schritt-für-Schritt-Lösung anzuzeigen.
Übung (a): Berechne \( \displaystyle \int [8\sin^6(x) - 2\sin^2(x)] \, dx \)
Lösung:
Setzen Sie die Gradsenkungsformeln für \( \sin^6(x) \) und \( \sin^2(x) \) ein:
\[ 8 \cdot \dfrac{1}{32}(10 - 15\cos(2x) + 6\cos(4x) - \cos(6x)) - 2 \cdot \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \] \[ = \dfrac{1}{4}(10 - 15\cos(2x) + 6\cos(4x) - \cos(6x)) - (1 - \cos(2x)) \] \[ = \dfrac{5}{2} - \dfrac{15}{4}\cos(2x) + \dfrac{3}{2}\cos(4x) - \dfrac{1}{4}\cos(6x) - 1 + \cos(2x) \] \[ = \dfrac{3}{2} - \dfrac{11}{4}\cos(2x) + \dfrac{3}{2}\cos(4x) - \dfrac{1}{4}\cos(6x) \]Termweises Integrieren ergibt:
\[ \dfrac{3}{2}x - \dfrac{11}{8}\sin(2x) + \dfrac{3}{8}\sin(4x) - \dfrac{1}{24}\sin(6x) + C \]Übung (b): Berechne \( \displaystyle \int [4\sin^4(x) + \sin^2(x)] \, dx \)
Lösung:
Setzen Sie die Gradsenkungsformeln für \( \sin^4(x) \) und \( \sin^2(x) \) ein:
\[ 4 \cdot \dfrac{1}{8}(3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)) + \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \] \[ = \dfrac{1}{2}(3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)) + \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \] \[ = \dfrac{1}{2}[3 - 4\cos(2x) + \cos(4x) + 1 - \cos(2x)] = \dfrac{1}{2}[4 - 5\cos(2x) + \cos(4x)] \] \[ = 2 - \dfrac{5}{2}\cos(2x) + \dfrac{1}{2}\cos(4x) \]Termweises Integrieren ergibt:
\[ 2x - \dfrac{5}{4}\sin(2x) + \dfrac{1}{8}\sin(4x) + C \]