Integrale mit \( \sin(x) \) und gerader Potenz
Anleitung zur Berechnung von Integralen mit geraden Potenzen von \( \sin(x) \) unter Verwendung von Potenzreduktionsformeln. Übungen mit Lösungen befinden sich am Ende der Seite. Die Integration ungerader Potenzen des Sinus ist viel einfacher.
Wiederholung der Potenzreduktionsformeln
Für eine positive ganze Zahl \( n \) gelten die folgenden trigonometrischen Formeln, die verwendet werden können, um die Potenz von \( \sin(x) \) zu reduzieren.
(a) \( \sin^2(x) = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \)
(b) \( \sin^3(x) = \dfrac{1}{4}(3\sin(x) - \sin(3x)) \)
(c) \( \sin^4(x) = \dfrac{1}{8}(3 - 4\cos(2x) + \cos(4x)) \)
(d) \( \sin^5(x) = \dfrac{1}{16}(\sin(5x) - 5\sin(3x) + 10\sin(x)) \)
(e) \( \sin^6(x) = \dfrac{1}{32}(10 - 15\cos(2x) + 6\cos(4x) - \cos(6x)) \)
Beispiele mit detaillierten Lösungen
Im Folgenden ist \( C \) die Integrationskonstante.
Beispiel 1
Berechnen Sie das Integral
\[ \int \sin^2(x) \, dx \]
Lösung zu Beispiel 1:
Die Hauptidee ist, die Identität \( \sin^2(x) = \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \) zu verwenden, um die Potenz zu reduzieren und das Integral dadurch leicht zu berechnen:
\[ \int \sin^2(x) \, dx = \int \dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) \, dx \]
\[ = \dfrac{1}{2}\int dx - \dfrac{1}{2}\int \cos(2x) \, dx \]
\[ = \dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}\sin(2x) + C \]
Beispiel 2
Berechnen Sie das Integral
\[ \int [\sin^2(x) - 16\sin^6(x)] \, dx \]
Lösung zu Beispiel 2:
Verwenden Sie die Potenzreduktionsformeln, um das Integral wie folgt umzuschreiben:
\[ \int [\sin^2(x) - 16\sin^6(x)] \, dx \]
\[ = \int \left[\dfrac{1}{2}(1 - \cos(2x)) - 16\left(\dfrac{1}{32}\right)(10 - 15\cos(2x) + 6\cos(4x) - \cos(6x))\right] \, dx \]
\[ = \dfrac{1}{2} \int [1 - \cos(2x) - 10 + 15\cos(2x) - 6\cos(4x) + \cos(6x)] \, dx \]
\[ = \dfrac{1}{2}[-9x + 7\sin(2x) - \dfrac{3}{2}\sin(4x) + \dfrac{1}{6}\sin(6x)] + C \]
Übungen
Berechnen Sie die folgenden Integrale.
(a) \(\displaystyle \int [8\sin^6(x) - 2\sin^2(x)] \, dx \)
(b) \( \displaystyle \int [4\sin^4(x) + \sin^2(x)] \, dx \)
Lösungen zu den obigen Übungen
(a) \( \dfrac{3}{2}x - \dfrac{11}{8}\sin(2x) + \dfrac{3}{8}\sin(4x) - \dfrac{1}{24}\sin(6x) + C \)
(b) \( 2x - \dfrac{5}{4}\sin(2x) + \dfrac{1}{8}\sin(4x) + C \)
Weitere Referenzen und Links
Integrale und ihre Anwendungen in der Analysis.