Trigonometrische Substitution in Integralen

Berechnen Sie Integrale mittels trigonometrischer Substitution mit Beispielen, detaillierten Lösungen und Erklärungen. Weitere Übungen mit Lösungen finden Sie am Ende der Seite.
In allen Beispielen und Übungen steht \( c \) für die Integrationskonstante.

Trigonometrische Identitäten zur Vereinfachung von Quadratwurzeln

Beginnen Sie mit der trigonometrischen Identität \[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \qquad (I) \] Formen Sie die obige Identität um zu \[ 1 - \sin^2 x = \cos^2 x \] Ziehen Sie die Quadratwurzel auf beiden Seiten, um zu erhalten \[ \sqrt {1 - \sin^2\;t} = |\cos \; t| \qquad (I') \] Teilen Sie alle Terme der Identität \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1\) durch \( \cos x \), um eine weitere Identität zu erhalten \[ \tan^2 x + 1 = \sec^2 x \qquad (II) \] Ziehen Sie die Quadratwurzel auf beiden Seiten der obigen Identität, um zu erhalten \[ \sqrt{\tan^2 x + 1} = |\sec x| \qquad (II') \] Die Identität (II) kann auch geschrieben werden als \[ \sec^2 x - 1 = \tan^2 x \] Ziehen Sie die Quadratwurzel auf beiden Seiten der obigen Identität, um zu erhalten \[ \sqrt {\sec^2 x - 1} = | \tan x | \qquad (III') \]

A - Berechnen von Integralen mit Ausdrücken der Form \( \sqrt {a^2 - b^2 x^2 } \)

Gegeben sei der Ausdruck \[ \sqrt {a^2 - b^2 x^2} \] Klammere \( a^2 \) unter der Quadratwurzel aus und ziehe \( |a| \) vor die Quadratwurzel. \[ \sqrt {a^2 - b^2 x^2} = \sqrt {a^2 \left( 1 - \left(\dfrac{b x}{a}\right)^2\right)} = |a| \sqrt { 1 - \left(\dfrac{b x}{a}\right)^2} \] Führen Sie die Substitution durch \[ \sin t = \dfrac{b x}{a} \] und schreiben Sie den Ausdruck \( \sqrt {a^2 - b^2 x^2 } \) um als \[ \sqrt {a^2 - b^2 x^2 } = |a| \sqrt { 1 - \sin^2t} = |a| |\cos t | \]

Beispiel 1

Berechnen Sie das Integral \[ \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16-4x^2}} \; dx \]

Lösung zu Beispiel 1
Schreiben Sie den Ausdruck \( \sqrt{16-4x^2} \) im Nenner des Integranden um als \[ \sqrt{16-4x^2} = \sqrt{16(1 - x^2 /4)} = 4 \sqrt{1 - (x/2)^2} \] Trigonometrische Substitution: Setze \( x/2 = \sin t \) oder \( x = 2 \sin t \), was \( \dfrac{dx}{dt} = 2 \cos t \) oder \( dx = 2 \cos t \; dt \) ergibt; das Integral ist gegeben durch \[ \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16-4x^2}}dx = \int \dfrac{4 \sin^2 t}{4\sqrt{1 - \sin^2 t}} 2 \cos t \; dt \] Vereinfachen Sie mit der Identität \( \sqrt { 1 - \sin^2t} = |\cos t | \) \[ = 2 \int \dfrac{ \sin^2 t}{ |\cos t|} \cos t \; dt \] Beachten Sie, dass \( |\cos t| \) nur vereinfacht werden kann, wenn wir das Vorzeichen von \( \cos t \) kennen. Da das gegebene Integral unbestimmt ist, können wir annehmen, dass \( \cos t \ge 0 \) und daher \( |\cos t| = \cos t\). Vereinfachen Sie das Obige. \[ = 2 \int \sin^2 t \; dt \]
Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \sin^2 t = (1/2)(1 - \cos 2 t) \); setzen Sie ein. \[ = \displaystyle \int (1 - \cos 2 t) \; dt \] Berechnen Sie das Integral. \[ = \left(t-\dfrac{1}{2}\sin \left(2t\right)\right)+ c \] Da \( x/2 = \sin t \), ist \( t = \arcsin (x/2) \). Setzen Sie ein, um die endgültige Antwort zu erhalten. \[ \displaystyle \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16-4x^2}}dx = \arcsin (x/2) -\dfrac{1}{2}\sin \left(2 \arcsin (x/2) \right)+ c \]

B - Berechnen von Integralen mit Ausdrücken der Form \( \sqrt {a^2 x^2 + b^2} \)

Gegeben sei der Ausdruck \[ \sqrt {a^2 x^2 + b^2} \] Klammere \( b^2 \) unter der Quadratwurzel aus und ziehe \( |b| \) vor die Quadratwurzel. \[ \sqrt {a^2 x^2 + b^2} = \sqrt {b^2 \left( \left(\dfrac{a x}{b}\right)^2 + 1 \right)} = |b| \sqrt { \left(\dfrac{a x}{b}\right)^2 + 1} \] Führen Sie die Substitution durch \[ \tan t = \dfrac{b x}{a} \] und schreiben Sie den Ausdruck \( \sqrt { a^2 x^2 + b^2 } \) um als \[ \sqrt { a^2 x^2 + b^2 } = |b| \sqrt { \tan^2 t + 1} = |b| |\sec t | \]

Beispiel 2

Berechnen Sie das Integral \[ \displaystyle \int \frac{\sqrt{25x^2+4}}{x^4} \; dx \]

Lösung zu Beispiel 2
Schreiben Sie den Ausdruck \( \sqrt{25x^2+4} \) im Zähler des Integranden um als \[ \sqrt{25x^2+4} = \sqrt{4(25 x^2/4 + 1)} = 2 \sqrt{(5 x/2)^2 + 1} \] Trigonometrische Substitution: Setze \( 5 x/2 = \tan t \) oder \( x = (2/5) \tan t \), was \( \dfrac{dx}{dt} = (2/5) \sec^2 t \) oder \( dx = (2/5) \sec^2 t \; dt \) ergibt; das Integral ist gegeben durch \[ \int \frac{\sqrt{25x^2+4}}{x^4} \; dx = \int \dfrac{2 \sqrt{\tan^2 t + 1}}{((2/5) \tan t)^4} (2/5) \sec^2 t \; dt \] Vereinfachen Sie mit der Identität \( \sqrt { \tan^2 t +1 } = |\sec t | \) \[ \displaystyle = (125/4) \int \dfrac{ |\sec t | }{ \tan^4 t} \sec^2 t \; dt \] Beachten Sie, dass \( |\sec t| \) nur vereinfacht werden kann, wenn wir das Vorzeichen von \( \sec t \) kennen. Da das gegebene Integral unbestimmt ist, können wir annehmen, dass \( \sec t \ge 0 \) und daher \( |\sec t| = \sec t\). Vereinfachen Sie das obige Integral. \[ \displaystyle = (125/4) \int \dfrac{ \sec^3 t }{ \tan^4 t} \; dt \] Schreiben Sie den Integranden in Termen von \( \sin t \) und \( \cos t \) um \[ = (125/4) \int \dfrac{ \cos t }{ \sin^4 t} \; dt \] Substitution: Setze \( w = \sin t \) und daher \( \dfrac{d w}{d t} = \cos t \) oder \( dt = \dfrac{1}{\cos t} dw\) \[ = (125/4) \int \dfrac{ 1 }{ w^4 } \; d w \] Berechnen Sie das Integral auf der rechten Seite mit der Potenzregel. \[ \displaystyle = - (125/4) \dfrac{1}{3 w^3} + c \] Setzen Sie zurück ein, wobei \( w = \sin t \) und \( t = \arctan( 5 x/2) \), um die endgültige Antwort zu erhalten. \[ \displaystyle = - (125/12) \dfrac{1}{(\sin(\arctan( 5 x/2)))^3} + c \] Beachten Sie, dass wir die Identität \( \sin(\arctan(x)) = \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \) verwenden können, um die endgültige Antwort zu vereinfachen zu \[ \displaystyle \int \dfrac{\sqrt{25x^2+4}}{x^4}dx = - \dfrac{\sqrt{\left(25x^2+4\right)^3}}{ 12 x^3} + c \]

C - Berechnen von Integralen mit Ausdrücken der Form \( \sqrt {a^2 x^2 - b^2} \)

Gegeben sei der Ausdruck \[ \sqrt {a^2 x^2 - b^2} \] Klammere \( b^2 \) unter der Quadratwurzel aus und ziehe \( |b| \) vor die Quadratwurzel. \[ \sqrt {a^2 x^2 - b^2} = \sqrt {b^2 \left( \left(\dfrac{a x}{b}\right)^2 - 1 \right)} = |b| \sqrt { \left(\dfrac{a x}{b}\right)^2 - 1} \] Führen Sie die Substitution durch \[ \sec t = \dfrac{b x}{a} \] und schreiben Sie den Ausdruck \( \sqrt { a^2 x^2 - b^2 } \) um als \[ \sqrt { a^2 x^2 - b^2 } = |b| \sqrt { \sec^2 t - 1} = |b| |\tan t | \]

Beispiel 3

Berechnen Sie das Integral \[ \displaystyle \int \dfrac{1}{ \sqrt{4x^2-9}} \; dx \]

Lösung zu Beispiel 3
Schreiben Sie den Ausdruck \( \sqrt{4x^2-9} \) im Nenner des Integranden um als \[ \sqrt{4x^2-9} = \sqrt{9(4 x^2/9 - 1)} = 3 \sqrt{(2 x/3)^2 - 1} \] Trigonometrische Substitution: Setze \( 2 x/3 = \sec t \) oder \( x = (3/2) \sec t \), was \( \dfrac{dx}{dt} = (3/2) \sec t \tan t \) oder \( dx = (3/2) \sec t \tan t \; dt \) ergibt; das Integral ist gegeben durch \[ \displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{4x^2-9}} \; dx = \int \dfrac{1}{3 \sqrt{\sec^2 t - 1 }} \; (3/2) \sec t \tan t \; dt \] Vereinfachen Sie mit der Identität \( \sqrt { \sec^2 t - 1 } = |\tan t | \) \[ \displaystyle = (1/2) \int \dfrac{1}{|\tan \; t|} \; \sec \; t \tan \; t \; dt \] Beachten Sie, dass \( | \tan \;t| \) nur vereinfacht werden kann, wenn wir das Vorzeichen von \( \tan t \) kennen. Da das gegebene Integral unbestimmt ist, können wir annehmen, dass \( \tan t \ge 0 \) und daher \( |\tan t| = \tan t\). Vereinfachen Sie das obige Integral. \[ \displaystyle = (1/2) \int \sec t \; dt \] Das Integral auf der rechten Seite ist ein bekanntes Standardintegral \[ \displaystyle = (1/2) \ln \left |\tan \; t + \sec \; t \right| + c \] Die Substitution \( 2 x/3 = \sec t \) wurde verwendet, und wir müssen nun \( t = \text{arcsec} (2 x/3) \) im Obigen verwenden, um die endgültige Antwort zu erhalten \[ \displaystyle = (1/2) \ln \; \left|\tan (\text{arcsec} (2 x/3))+2 x/3 \; \right| + c \] Mit der Identität \( \tan (\text{arcsec} x) =\sqrt{x^2-1} \), um die endgültige Antwort weiter zu vereinfachen \[ \displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{4x^2-9}} \; dx = (1/2) \ln \; \left| \sqrt { (2 x/3)^2 - 1 }+2 x/3 \; \right| + c \]

Übungen

Berechnen Sie die folgenden Integrale.

  1. \( \displaystyle \int \dfrac{x^2}{\sqrt{9-2x^2}} \; dx \)
  2. \( \displaystyle \int \dfrac{\sqrt{9x^2+1}}{x^4} \; dx \)
  3. \( \displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{9x^2-36}} \; dx \)

Lösungen zu den obigen Übungen

  1. \( \dfrac{9}{4\sqrt{2}} \left(\arcsin \left(\frac{\sqrt{2}}{3}x\right) - \dfrac{1}{2} \sin \left(2\arcsin \left(\frac{\sqrt{2}}{3}x\right)\right)\right)+ c \)
  2. \( -\dfrac{\left(1+9x^2\right)^{\dfrac{3}{2}}}{3x^3}+ c \)
  3. \( \dfrac{1}{3}\ln \left(\dfrac{\left|\sqrt{x^2-4}+x\right|}{2}\right)+C \)

Weitere Referenzen und Links

  1. Integrale und ihre Anwendungen in der Analysis.