Berechnen Sie Integrale mithilfe trigonometrischer Substitutionen mit Beispielen sowie detaillierten Lösungen und Erklärungen. Weitere Übungen mit Lösungen werden am Ende der Seite vorgestellt.
In allen Beispielen und Übungsaufgaben stellt \( c \) die Integrationskonstante dar.
Trigonometrische Identitäten zur Vereinfachung von Quadratwurzeln
Beginnen Sie mit der trigonometrischen Identität:
\[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \qquad (I) \]Schreiben Sie die obige Identität um als:
\[ 1 - \sin^2 x = \cos^2 x \]Ziehen Sie auf beiden Seiten die Quadratwurzel, um Folgendes zu erhalten:
\[ \sqrt{1 - \sin^2 t} = |\cos t| \qquad (I') \]Teilen Sie alle Terme der Identität \( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \) durch \( \cos^2 x \) (oder formen Sie sie um), um eine weitere Identität zu erhalten:
\[ \tan^2 x + 1 = \sec^2 x \qquad (II) \]Ziehen Sie auf beiden Seiten der obigen Identität die Quadratwurzel:
\[ \sqrt{\tan^2 x + 1} = |\sec x| \qquad (II') \]Die Identität (II) kann auch geschrieben werden als:
\[ \sec^2 x - 1 = \tan^2 x \]Ziehen Sie auf beiden Seiten der obigen Identität die Quadratwurzel:
\[ \sqrt{\sec^2 x - 1} = |\tan x| \qquad (III') \]A - Integrale mit Ausdrücken der Form \( \sqrt{a^2 - b^2 x^2} \) berechnen
Gegeben sei der Ausdruck:
\[ \sqrt{a^2 - b^2 x^2} \]Klammern Sie \( a^2 \) unter der Quadratwurzel aus und ziehen Sie \( |a| \) aus der Wurzel:
\[ \sqrt{a^2 - b^2 x^2} = \sqrt{a^2 \left( 1 - \left(\dfrac{bx}{a}\right)^2 \right)} = |a| \sqrt{1 - \left(\dfrac{bx}{a}\right)^2} \]Führen Sie die Substitution durch:
\[ \sin t = \dfrac{bx}{a} \]und schreiben Sie den Ausdruck \( \sqrt{a^2 - b^2 x^2} \) um als:
\[ \sqrt{a^2 - b^2 x^2} = |a| \sqrt{1 - \sin^2 t} = |a| |\cos t| \]Beispiel 1: Berechne das Integral \( \displaystyle \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - 4x^2}} \, dx \)
Lösung zu Beispiel 1:
Schreiben Sie den Ausdruck \( \sqrt{16 - 4x^2} \) im Nenner des Integranden um als:
\[ \sqrt{16 - 4x^2} = \sqrt{16\left(1 - \dfrac{x^2}{4}\right)} = 4 \sqrt{1 - \left(\dfrac{x}{2}\right)^2} \]Trigonometrische Substitution: Sei \( \dfrac{x}{2} = \sin t \) bzw. \( x = 2\sin t \), was \( \dfrac{dx}{dt} = 2\cos t \) bzw. \( dx = 2\cos t \, dt \) ergibt; das Integral wird zu:
\[ \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - 4x^2}} \, dx = \int \dfrac{(2\sin t)^2}{4\sqrt{1 - \sin^2 t}} (2\cos t) \, dt \]Vereinfachen Sie mithilfe der Identität \( \sqrt{1 - \sin^2 t} = |\cos t| \):
\[ = 2 \int \dfrac{\sin^2 t}{|\cos t|} \cos t \, dt \]Da das Integral unbestimmt ist, können wir annehmen, dass \( \cos t \geq 0 \) ist, also \( |\cos t| = \cos t \):
\[ = 2 \int \sin^2 t \, dt \]Verwenden Sie die trigonometrische Identität \( \sin^2 t = \dfrac{1}{2}(1 - \cos 2t) \):
\[ = 2 \int \dfrac{1}{2}(1 - \cos 2t) \, dt = \int (1 - \cos 2t) \, dt \]Berechnen Sie das Integral:
\[ = t - \dfrac{1}{2}\sin(2t) + C \]Da \( \dfrac{x}{2} = \sin t \) ist, gilt \( t = \arcsin\left(\dfrac{x}{2}\right) \). Setzen Sie dies wieder ein, um das Endergebnis zu erhalten:
\[ \int \dfrac{x^2}{\sqrt{16 - 4x^2}} \, dx = \arcsin\left(\dfrac{x}{2}\right) - \dfrac{1}{2}\sin\left(2 \arcsin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right) + C \]B - Integrale mit Ausdrücken der Form \( \sqrt{a^2 x^2 + b^2} \) berechnen
Gegeben sei der Ausdruck:
\[ \sqrt{a^2 x^2 + b^2} \]Klammern Sie \( b^2 \) unter der Quadratwurzel aus und ziehen Sie \( |b| \) aus der Wurzel:
\[ \sqrt{a^2 x^2 + b^2} = \sqrt{b^2 \left( \left(\dfrac{ax}{b}\right)^2 + 1 \right)} = |b| \sqrt{\left(\dfrac{ax}{b}\right)^2 + 1} \]Führen Sie die Substitution durch:
\[ \tan t = \dfrac{bx}{a} \]und schreiben Sie den Ausdruck \( \sqrt{a^2 x^2 + b^2} \) um als:
\[ \sqrt{a^2 x^2 + b^2} = |b| \sqrt{\tan^2 t + 1} = |b| |\sec t| \]Beispiel 2: Berechne das Integral \( \displaystyle \int \dfrac{\sqrt{25x^2 + 4}}{x^4} \, dx \)
Lösung zu Beispiel 2:
Schreiben Sie den Ausdruck \( \sqrt{25x^2 + 4} \) im Zähler um als:
\[ \sqrt{25x^2 + 4} = \sqrt{4\left(\dfrac{25x^2}{4} + 1\right)} = 2 \sqrt{\left(\dfrac{5x}{2}\right)^2 + 1} \]Trigonometrische Substitution: Sei \( \dfrac{5x}{2} = \tan t \) bzw. \( x = \dfrac{2}{5}\tan t \), was \( dx = \dfrac{2}{5}\sec^2 t \, dt \) ergibt; das Integral ist gegeben durch:
\[ \int \dfrac{\sqrt{25x^2 + 4}}{x^4} \, dx = \int \dfrac{2\sqrt{\tan^2 t + 1}}{\left(\dfrac{2}{5}\tan t\right)^4} \left(\dfrac{2}{5}\sec^2 t\right) dt \]Vereinfachen Sie mithilfe von \( \sqrt{\tan^2 t + 1} = |\sec t| \):
\[ = \dfrac{125}{4} \int \dfrac{|\sec t|}{\tan^4 t} \sec^2 t \, dt \]Unter der Annahme, dass \( \sec t \geq 0 \) ist, gilt \( |\sec t| = \sec t \):
\[ = \dfrac{125}{4} \int \dfrac{\sec^3 t}{\tan^4 t} \, dt \]Schreiben Sie es in Termen von \( \sin t \) und \( \cos t \) um:
\[ = \dfrac{125}{4} \int \dfrac{\cos t}{\sin^4 t} \, dt \]Substitution: Sei \( w = \sin t \), also \( dw = \cos t \, dt \):
\[ = \dfrac{125}{4} \int \dfrac{1}{w^4} \, dw \]Berechnen Sie mithilfe der Potenzregel:
\[ = -\dfrac{125}{12 w^3} + C \]Setzen Sie \( w = \sin t \) und \( t = \arctan\left(\dfrac{5x}{2}\right) \) wieder ein:
\[ = -\dfrac{125}{12} \cdot \dfrac{1}{\left(\sin\left(\arctan\left(\dfrac{5x}{2}\right)\right)\right)^3} + C \]Unter Verwendung der Identität \( \sin(\arctan(x)) = \dfrac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \) vereinfachen wir zu:
\[ = -\dfrac{\sqrt{(25x^2 + 4)^3}}{12x^3} + C \]C - Integrale mit Ausdrücken der Form \( \sqrt{a^2 x^2 - b^2} \) berechnen
Gegeben sei der Ausdruck:
\[ \sqrt{a^2 x^2 - b^2} \]Klammern Sie \( b^2 \) unter der Quadratwurzel aus und ziehen Sie \( |b| \) aus der Wurzel:
\[ \sqrt{a^2 x^2 - b^2} = \sqrt{b^2 \left( \left(\dfrac{ax}{b}\right)^2 - 1 \right)} = |b| \sqrt{\left(\dfrac{ax}{b}\right)^2 - 1} \]Führen Sie die Substitution durch:
\[ \sec t = \dfrac{bx}{a} \]und schreiben Sie den Ausdruck \( \sqrt{a^2 x^2 - b^2} \) um als:
\[ \sqrt{a^2 x^2 - b^2} = |b| \sqrt{\sec^2 t - 1} = |b| |\tan t| \]Beispiel 3: Berechne das Integral \( \displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{4x^2 - 9}} \, dx \)
Lösung zu Beispiel 3:
Schreiben Sie den Ausdruck \( \sqrt{4x^2 - 9} \) im Nenner um als:
\[ \sqrt{4x^2 - 9} = \sqrt{9\left(\dfrac{4x^2}{9} - 1\right)} = 3 \sqrt{\left(\dfrac{2x}{3}\right)^2 - 1} \]Trigonometrische Substitution: Sei \( \dfrac{2x}{3} = \sec t \) bzw. \( x = \dfrac{3}{2}\sec t \), was \( dx = \dfrac{3}{2}\sec t \tan t \, dt \) ergibt; das Integral ist:
\[ \int \dfrac{1}{\sqrt{4x^2 - 9}} \, dx = \int \dfrac{1}{3\sqrt{\sec^2 t - 1}} \left(\dfrac{3}{2}\sec t \tan t\right) dt \]Vereinfachen Sie mithilfe von \( \sqrt{\sec^2 t - 1} = |\tan t| \):
\[ = \dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{|\tan t|} \sec t \tan t \, dt \]Unter der Annahme, dass \( \tan t \geq 0 \) ist, gilt \( |\tan t| = \tan t \):
\[ = \dfrac{1}{2} \int \sec t \, dt \]Dies ist ein bekanntes Standardintegral:
\[ = \dfrac{1}{2} \ln|\tan t + \sec t| + C \]Da \( \dfrac{2x}{3} = \sec t \) ist, haben wir \( t = \text{arcsec}\left(\dfrac{2x}{3}\right) \). Rücksubstitution:
\[ = \dfrac{1}{2} \ln\left|\tan\left(\text{arcsec}\left(\dfrac{2x}{3}\right)\right) + \dfrac{2x}{3}\right| + C \]Unter Verwendung der Identität \( \tan(\text{arcsec}(x)) = \sqrt{x^2 - 1} \) vereinfachen wir zu:
\[ = \dfrac{1}{2} \ln\left|\sqrt{\left(\dfrac{2x}{3}\right)^2 - 1} + \dfrac{2x}{3}\right| + C \]Übungsaufgaben
Berechnen Sie die folgenden Integrale. Klicken Sie auf jede Übung, um die Schritt-für-Schritt-Lösung anzuzeigen.
Übung 1: Berechne \( \displaystyle \int \dfrac{x^2}{\sqrt{9 - 2x^2}} \, dx \)
Lösung:
Schreiben Sie den Nenner um als \( \sqrt{9\left(1 - \dfrac{2x^2}{9}\right)} = 3\sqrt{1 - \left(\dfrac{\sqrt{2}}{3}x\right)^2} \).
Sei \( \dfrac{\sqrt{2}}{3}x = \sin t \implies x = \dfrac{3}{\sqrt{2}}\sin t \), \( dx = \dfrac{3}{\sqrt{2}}\cos t \, dt \).
Einsetzen und Vereinfachen ergibt:
\[ \dfrac{9}{4\sqrt{2}} \left( \arcsin\left(\dfrac{\sqrt{2}}{3}x\right) - \dfrac{1}{2}\sin\left(2\arcsin\left(\dfrac{\sqrt{2}}{3}x\right)\right) \right) + C \]Übung 2: Berechne \( \displaystyle \int \dfrac{\sqrt{9x^2 + 1}}{x^4} \, dx \)
Lösung:
Sei \( 3x = \tan t \implies x = \dfrac{1}{3}\tan t \), \( dx = \dfrac{1}{3}\sec^2 t \, dt \).
Einsetzen in das Integral und Vereinfachen führt zu:
\[ -\dfrac{(1 + 9x^2)^{3/2}}{3x^3} + C \]Übung 3: Berechne \( \displaystyle \int \dfrac{1}{\sqrt{9x^2 - 36}} \, dx \)
Lösung:
Schreiben Sie den Nenner um als \( \sqrt{9(x^2 - 4)} = 3\sqrt{x^2 - 4} \).
Sei \( \dfrac{x}{2} = \sec t \implies x = 2\sec t \), \( dx = 2\sec t \tan t \, dt \).
Die Auswertung des Integrals ergibt:
\[ \dfrac{1}{3}\ln\left(\dfrac{\left|\sqrt{x^2 - 4} + x\right|}{2}\right) + C \]