Das Volumen einer Kugelkalotte wird mithilfe von Integralen und der Scheibenmethode bestimmt, wie sie unter „Volumen eines Rotationskörpers“ verwendet wird.
Eine Kugelkalotte ist definiert als der Teil einer Kugel, der von einer Ebene abgeschnitten wird.
Herleitung der Volumenformel für die Kugelkalotte
Betrachten wir eine Kugelkalotte einer Kugel mit dem Radius \( R \) und der Höhe \( h \). Eine Kugelkalotte kann erzeugt werden, indem die Kurve \( y = \sqrt{R^2 - x^2} \), die einen Halbkreis darstellt, um die x-Achse im Bereich \( R - h \le x \le R \) rotiert wird.
Betrachten wir eine kleine Scheibe (gestrichelt dargestellt) mit der Breite \( dx \) und einem Radius gleich \( y \). Das Volumen der Scheibe ist gegeben durch \( \pi y^2 \, dx \), und daher ergibt das Integral über \( x \) im Bereich \( [R - h, R] \) das Gesamtvolumen der Kalotte:
\[ \text{Volumen} = \int_{R-h}^{R} \pi y^2 \, dx \]Da \( y = \sqrt{R^2 - x^2} \) ist, wird das Volumenintegral zu:
\[ \text{Volumen} = \pi \int_{R-h}^{R} (R^2 - x^2) \, dx \]Auswertung des Integrals:
\[ \text{Volumen} = \pi \left[ R^2 x - \dfrac{1}{3}x^3 \right]_{R-h}^{R} \]Einsetzen der oberen und unteren Grenzen:
\[ \text{Volumen} = \pi \left\{ \left( R^3 - \dfrac{1}{3}R^3 \right) - \left( R^2(R - h) - \dfrac{1}{3}(R - h)^3 \right) \right\} \]Durch Vereinfachung des obigen algebraischen Ausdrucks erhält man die Endformel für das Volumen:
\[ \Large \displaystyle \color{red}{\text{Volumen} = \dfrac{\pi}{3}(3Rh^2 - h^3)} \]