Eine Kugelkappe ist definiert als ein Teil der Kugel, der durch eine Ebene abgeschnitten wird.
Das Volumen einer Kugelkappe wird mithilfe von Integralen und der Methode der Scheiben gefunden, die in "Volumen eines Rotationskörpers" verwendet wird.
Eine Kugelkappe ist definiert als ein Teil der Kugel, der durch eine Ebene abgeschnitten wird.
Wir betrachten nun eine Kugelkappe aus einer Kugel mit Radius R und Höhe \( h \). Eine Kugelkappe kann erzeugt werden, indem die Kurve von \( y = \sqrt{R^2 - x^2} \), die einen Halbkreis darstellt, um die x-Achse rotiert wird, wobei \( x \) im Bereich \( R-h \le x \le R \) liegt.
Betrachten Sie die kleine Scheibe (in gestrichelten Linien) mit einer Breite \( dx \) und einem Radius gleich \( y \). Das Volumen der Scheibe ist gegeben durch \( \pi y^2 dx \) und daher ergibt das Integral über \( x \) im Bereich \( [R-h, R ] \) das Volumen der Kappe.
\[ \displaystyle \text{Volume} = \int_{R-h}^{R} \pi y^2 dx \]
Da \( y = \sqrt{R^2 - x^2} \), ist das Volumen gegeben durch
\[ \displaystyle \text{Volume} = \pi \int_{R-h}^{R} (R^2 - x^2) dx \]
Berechnen Sie das Integral
\[ \displaystyle \text{Volume} = \pi \left[R^2 x - \dfrac{1}{3}x^3\right]_{R-h}^{R} \]
Werten Sie den obigen Ausdruck auf der rechten Seite aus
\[ \displaystyle \text{Volume} = \pi \left\{ \left(R^3 - \dfrac{1}{3}R^3\right) - \left(R^2 (R-h) - \dfrac{1}{3}(R-h)^3\right) \right\} \]
Vereinfachen Sie das Obige, um das Volumen zu erhalten
\[ \Large \displaystyle \color{red} {\text{Volume} = \dfrac{\pi}{3}( 3 Rh^2-h^3) }\]