Finden Sie das Volumen eines Rotationskörpers, der durch die Drehung einer Fläche, die durch den Graphen einer Funktion begrenzt wird, um eine der Achsen entsteht. Verwenden Sie hierfür bestimmte Integrale und die Methode der Zylinderschalen, bei der die Integration senkrecht zur Rotationsachse erfolgt. Aufgaben mit ihren Lösungen finden Sie am Ende der Seite.
Wenn \( f \) eine Funktion ist, für die \( f(x) \ge 0 \) (siehe Graph links unten) für alle \( x \) im Intervall [ \( x_1 \), \( x_2 \) ] gilt, dann ist das Volumen des Körpers, der durch Drehung der Fläche, begrenzt durch den Graphen von \( f \), die \( x \)-Achse (\( y = 0 \)) und die vertikalen Linien \( x = x_1 \) und \( x = x_2 \), um die \( y \)-Achse entsteht, durch das folgende Integral gegeben:
\[ \Large \text{Volumen} = {\color{red} \int_{x_1}^{x_2} 2\pi x f(x) \; dx} \]
Wenn \( g \) eine Funktion ist, für die \( g(y) \ge 0 \) für alle \( y \) im Intervall [ \( y_1 \), \( y_2 \) ] gilt, dann ist das Volumen des Körpers, der durch Drehung der Fläche, begrenzt durch den Graphen von \( g \), die \( y \)-Achse (\( x = 0 \)) und die horizontalen Linien \( y = y_1 \) und \( y = y_2 \), um die \( x \)-Achse entsteht, durch das folgende Integral gegeben:
\[ \Large \text{Volumen} = {\color{red} \int_{y_1}^{y_2} 2\pi\, y\, g(y)\, dy} \]Verwenden Sie die Methode der Zylinderschalen, um das Volumen des Körpers zu ermitteln, der durch Rotation der schraffierten (roten) Fläche (Dreieck) um die \( y \)-Achse entsteht.
Beachten Sie, dass dieses Problem bereits in Volumen eines Rotationskörpers mit der Methode der Scheiben (Washer-Methode) gelöst wurde. Lösen wir es nun mit der Methode der Zylinderschalen; Sie können die beiden Methoden vergleichen.
Die zu rotierende Form wird durch \( x = 0 \), \( y = 0 \) und die beiden Kurven \( y = x \) und \( y = - x + 2 \) mit einem Schnittpunkt bei (1,1) begrenzt. Daher müssen wir das Integral zur Volumenberechnung wie folgt in zwei Teile aufteilen:
\[ \text{Volumen} = \int_{x_1}^{x_2} 2\pi x f(x) dx \]Aufteilen des Integrationsintervalls
\[ = \int_{0}^{1} 2\pi x (x) dx + \int_{1}^{2} 2\pi x (-x + 2) dx \]Integrieren
\[ = 2\pi \left[x^3/3\right]_0^1 + 2\pi\left[-x^3/3 + x^2\right]_1^2 \]Auswerten
\[ = 2\pi/3 + 2\pi \left[-8/3+4 -(-1/3+1) \right] \]Vereinfachen
\[ = 2\pi/3 + 2\pi \left[4/3 - 2/3 \right] \] \[ = 2\pi/3 + 4\pi/3 = 2\pi \]Verwenden Sie die Methode der Zylinderschalen, um das Volumen des Körpers zu ermitteln, der durch Rotation der Fläche im ersten Quadranten entsteht, die von \( y = - x^3 + 2 x^2 - x + 2 \) und \( y = -x + 1 \) eingeschlossen wird.
Die Graphen von \( y = - x^3 + 2 x^2 - x + 2 \) und \( y = -x + 1 \) sind unten dargestellt. Beide Graphen haben \( x \)-Achsenabschnitte, die durch Lösen der Gleichungen \( y = 0 \) berechnet werden.
Faktorisieren der linken Seite der obigen Gleichung
\[ x^2(- x + 2) +(- x + 2) = 0 \] \[ (- x + 2) (1 + x^2) = 0 \]\( - x + 2 = 0 \) ergibt den \( x \)-Achsenabschnitt bei \( x = 2 \), wie im obigen Graphen gezeigt.
\( 1 + x^2 = 0 \) hat keine reellen Lösungen.
Beachten Sie, dass von \( x = 0 \) bis \( x = 1 \) der obere Teil der Fläche durch \( y = f(x) = - x^3 + 2 x^2 - x + 2 \) und der untere Teil durch \( y = h(x) = - x + 1 \) begrenzt wird.
Von \( x = 1 \) bis \( x = 2 \) wird der obere Teil der Fläche durch \( y = f(x) = - x^3 + 2 x^2 - x + 2 \) und der untere Teil durch \( y = 0 \) begrenzt, daher ist das Volumen \( V_2 \) gegeben durch
\[ V_2 = \int_{1}^{2} 2\pi x f(x) dx \] \[ = 2\pi \int_{1}^{2} x (- x^3 + 2 x^2 - x + 2) dx \] \[ = 2\pi \int_{1}^{2} (- x^4 + 2 x^3 - x^2 + 2 x) dx \] \[ 2\pi \left[ - x^5/5 + 2 x^4/4 - x^3/3 + 2 x^2/2 \right]_1^2 = 59\pi/15\]Das Gesamtvolumen \( V \) ist die Summe der beiden oben ermittelten Volumina.
\[ V = V_1 + V_2 = 8\pi / 5 + 59\pi/15 = 83 \pi / 15 \]Finden Sie eine Formel für das Volumen des Körpers, der durch Rotation der Fläche entsteht, die von \( y = 0 \), \( x = 0 \) und \( y = a + \sin(x) \) für \( 0 \leq x \leq 2\pi \) und \( a \geq 1 \) um die y-Achse eingeschlossen wird.
Das Volumen des in diesem Beispiel beschriebenen Rotationskörpers ist gegeben durch
Berechnen Sie die beiden Integrale separat.
\[ I_1 = 2\pi a \int_{0}^{2\pi} x dx = 2\pi a \left [ x^2/2 \right ]_0^{2\pi} = 4\pi^3 a \] \[ I_2 = 2\pi \int_{0}^{2\pi} x \sin(x) dx \]Setze \( U = x \) und \( V' = \sin(x) \) und wende die partielle Integration an, um zu erhalten:
\[ I_2 = 2\pi[ - x \cos(x)]_{0}^{2\pi} + 2\pi \int_{0}^{2\pi} \cos(x) dx \] \[ = 2\pi\left[ - x \cos(x)\right]_{0}^{2\pi} +2\pi[ \sin(x) ]_{0}^{2\pi} = -4\pi^2 \]Das Gesamtvolumen \( V \) ist gleich
\[ V = I_1 + I_2 = 4\pi^3 a -4\pi^2 \]Verwenden Sie die Methode der Zylinderschalen, um eine Formel für das Volumen des Körpers zu finden, der durch Rotation der Fläche im ersten Quadranten entsteht, die von \( y = 0 \), \( x = 0 \) und \( \left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 = 1 \) um die x-Achse eingeschlossen wird (\( a \) und \( b \) beide positiv).
Wir lösen zunächst nach \( x \) auf, um die Gleichung der Kurve \( \left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 = 1 \) im ersten Quadranten (\( x > 0 \) und \( y > 0 \)) zu erhalten.
Die Rotation erfolgt um die \( x \)-Achse, daher sind die Zylinderschalen parallel zur \( x \)-Achse und das Volumen \( V \) ist gegeben durch
Wir verwenden die Substitution \( u = 1 - \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 \), was \( \dfrac{du}{dy} = -\dfrac{2 y}{b^2} \) ergibt, \( u = 1 \) für \( y = 0 \) und \( u = 0 \) für \( y = b \). Nach der Substitution ergibt sich für \( V \):
\[ V = 2\pi a \left( -\dfrac{b^2}{2} \right) \int_{1}^{0} u^{\dfrac{1}{2}} du \] \[ = - \pi a b^2 \left( \dfrac{2}{3} \right) u^{\dfrac{3}{2}} \Bigg|_{1}^{0} \] \[ = \dfrac{2\pi a b^2}{3} \](1) Finden Sie das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn der Teil des Graphen von \( f(x) = -x^4 + 3x^3 - x + 3 \) im Quadranten (I) um die \( y \)-Achse rotiert wird. (Hinweis: Zeichnen Sie den Graphen von \( f \) und finden Sie die \( x \)- und \( y \)-Achsenabschnitte).
(1) \( \dfrac{288\pi}{5} \)