Berechnen Sie das Volumen eines Rotationskörpers, der durch Rotation einer Region erzeugt wird, die durch den Graphen einer Funktion um eine der Achsen begrenzt ist, unter Verwendung von bestimmten Integralen und der Zylindermethode (Schalenmethode), bei der die Integration senkrecht zur Rotationsachse erfolgt. Übungsaufgaben mit ihren Antworten befinden sich am Ende der Seite.
Im Folgenden stellt \( C \) die Integrationskonstante dar.
Formel – Zylindermethode (Schalenmethode)
Wenn \( f \) eine Funktion ist, so dass \( f(x) \geq 0 \) für alle \( x \) im Intervall \( [x_1, x_2] \) gilt, ist das Volumen des Körpers, der durch Rotation der Region um die \( y \)-Achse erzeugt wird – begrenzt durch den Graphen von \( f \), die \( x \)-Achse (\( y = 0 \)) und die vertikalen Linien \( x = x_1 \) und \( x = x_2 \) – gegeben durch das Integral:
\[ \Large \text{Volumen} = \int_{x_1}^{x_2} 2\pi x f(x) \, dx \]
Wenn \( g \) eine Funktion ist, so dass \( g(y) \geq 0 \) für alle \( y \) im Intervall \( [y_1, y_2] \) gilt, ist das Volumen des Körpers, der durch Rotation der Region um die \( x \)-Achse erzeugt wird – begrenzt durch den Graphen von \( g \), die \( y \)-Achse (\( x = 0 \)) und die horizontalen Linien \( y = y_1 \) und \( y = y_2 \) – gegeben durch das Integral:
\[ \Large \text{Volumen} = \int_{y_1}^{y_2} 2\pi y g(y) \, dy \]Beispiele mit detaillierten Lösungen
Klicken Sie auf jedes Beispiel, um dessen detaillierte Schritt-für-Schritt-Lösung anzuzeigen.
Beispiel 1: Volumen eines Körpers, der durch Rotation eines Dreiecks um die \( y \)-Achse erzeugt wird
Lösung zu Beispiel 1:
Beachten Sie, dass dieses Problem unter Volumen eines Rotationskörpers bereits mit der Scheiben-/Ringmethode gelöst wurde. Lösen wir es nun mit der Zylindermethode (Schalenmethode).
Die zu rotierende Region wird durch \( x = 0 \), \( y = 0 \) und die beiden Kurven \( y = x \) sowie \( y = -x + 2 \) mit einem Schnittpunkt bei \( (1, 1) \) begrenzt. Wir teilen das Integral daher in zwei Teile auf:
\[ \text{Volumen} = \int_{0}^{1} 2\pi x(x) \, dx + \int_{1}^{2} 2\pi x(-x + 2) \, dx \]Integrieren:
\[ = 2\pi \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1 + 2\pi \left[-\dfrac{x^3}{3} + x^2\right]_1^2 \]Auswerten:
\[ = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi \left[\left(-\dfrac{8}{3} + 4\right) - \left(-\dfrac{1}{3} + 1\right)\right] \] \[ = \dfrac{2\pi}{3} + 2\pi \left[\dfrac{4}{3} - \dfrac{2}{3}\right] = \dfrac{2\pi}{3} + \dfrac{4\pi}{3} = 2\pi \]Beispiel 2: Volumen eines Körpers, der durch eine kubische Kurvenregion im ersten Quadranten erzeugt wird
Lösung zu Beispiel 2:
Die Graphen von \( y = -x^3 + 2x^2 - x + 2 \) und \( y = -x + 1 \) sind unten dargestellt.
Der \( x \)-Achsenabschnitt von \( y = -x^3 + 2x^2 - x + 2 \) wird durch Lösen von Folgendem ermittelt:
\[ -x^3 + 2x^2 - x + 2 = 0 \implies x^2(-x + 2) + 1(-x + 2) = 0 \implies (-x + 2)(x^2 + 1) = 0 \]Dies ergibt \( x = 2 \). Der \( x \)-Achsenabschnitt von \( y = -x + 1 \) ist \( x = 1 \).
Von \( x = 0 \) bis \( x = 1 \) wird die Region oben durch \( f(x) = -x^3 + 2x^2 - x + 2 \) und unten durch \( h(x) = -x + 1 \) begrenzt. Das Volumen \( V_1 \) beträgt:
\[ V_1 = \int_{0}^{1} 2\pi x (f(x) - h(x)) \, dx = 2\pi \int_{0}^{1} x (-x^3 + 2x^2 - x + 2 - (-x + 1)) \, dx \] \[ = 2\pi \int_{0}^{1} (-x^4 + 2x^3 + x) \, dx = 2\pi \left[ -\dfrac{x^5}{5} + \dfrac{x^4}{2} + \dfrac{x^2}{2} \right]_0^1 = \dfrac{8\pi}{5} \]Von \( x = 1 \) bis \( x = 2 \) wird die Region oben durch \( f(x) \) und unten durch \( y = 0 \) begrenzt. Das Volumen \( V_2 \) beträgt:
\[ V_2 = \int_{1}^{2} 2\pi x f(x) \, dx = 2\pi \int_{1}^{2} x (-x^3 + 2x^2 - x + 2) \, dx \] \[ = 2\pi \left[ -\dfrac{x^5}{5} + \dfrac{x^4}{2} - \dfrac{x^3}{3} + x^2 \right]_1^2 = \dfrac{59\pi}{15} \]Gesamtvolumen \( V = V_1 + V_2 = \dfrac{8\pi}{5} + \dfrac{59\pi}{15} = \dfrac{83\pi}{15} \).
Beispiel 3: Volumen, erzeugt durch eine Sinuskurvenregion um die \( y \)-Achse
Lösung zu Beispiel 3:
Finden Sie eine Formel für das Volumen, das durch \( y = 0 \), \( x = 0 \) und \( y = a + \sin(x) \) für \( 0 \leq x \leq 2\pi \) und \( a \geq 1 \) um die \( y \)-Achse eingeschlossen wird:
\[ V = \int_{0}^{2\pi} 2\pi x (a + \sin(x)) \, dx = 2\pi \int_{0}^{2\pi} ax \, dx + 2\pi \int_{0}^{2\pi} x \sin(x) \, dx \]Auswertung des ersten Integrals \( I_1 \):
\[ I_1 = 2\pi a \left[ \dfrac{x^2}{2} \right]_0^{2\pi} = 4\pi^3 a \]Auswertung des zweiten Integrals \( I_2 \) mittels partieller Integration (\( u = x \), \( dv = \sin(x) \, dx \)):
\[ I_2 = 2\pi \left[ -x \cos(x) \right]_0^{2\pi} + 2\pi \int_{0}^{2\pi} \cos(x) \, dx = -4\pi^2 + 0 = -4\pi^2 \]Gesamtvolumen: \( V = I_1 + I_2 = 4\pi^3 a - 4\pi^2 \).
Beispiel 4: Volumen, erzeugt durch eine Ellipse im ersten Quadranten um die \( x \)-Achse
Lösung zu Beispiel 4:
Verwenden Sie die Zylindermethode, um eine Formel für das Volumen des Körpers zu finden, der durch Rotation der Fläche erzeugt wird, die durch \( y = 0 \), \( x = 0 \) und \( \left(\dfrac{x}{a}\right)^2 + \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 = 1 \) im ersten Quadranten um die \( x \)-Achse begrenzt ist (\( a, b > 0 \)).
Auflösen nach \( x \): \( x = a \sqrt{1 - \left(\dfrac{y}{b}\right)^2} \).
Da die Rotation um die \( x \)-Achse erfolgt, verlaufen die Schalen parallel zur \( x \)-Achse:
\[ V = \int_{0}^{b} 2\pi y \left( a \sqrt{1 - \left(\dfrac{y}{b}\right)^2} \right) dy \]Durch Anwendung der Substitution \( u = 1 - \left(\dfrac{y}{b}\right)^2 \) und Auswertung ergibt sich:
\[ V = \dfrac{2\pi a b^2}{3} \]Übungsaufgaben
Berechnen Sie die folgenden Integrale. Klicken Sie auf jede Übung, um die Schritt-für-Schritt-Lösung anzuzeigen.
Übung 1: Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn ein Teil des Graphen von \( f(x) = -x^4 + 3x^3 - x + 3 \) im 1. Quadranten um die \( y \)-Achse rotiert wird.
Lösung:
Bestimmen Sie den \( x \)-Achsenabschnitt durch Lösen von \( -x^4 + 3x^3 - x + 3 = 0 \implies x^3(3 - x) + 1(3 - x) = (x^3 + 1)(3 - x) = 0 \implies x = 3 \) (im 1. Quadranten).
Unter Verwendung der Formel für Zylinderschalen von \( x = 0 \) bis \( x = 3 \):
\[ V = \int_{0}^{3} 2\pi x (-x^4 + 3x^3 - x + 3) \, dx = 2\pi \int_{0}^{3} (-x^5 + 3x^4 - x^2 + 3x) \, dx \]Termweises Integrieren:
\[ = 2\pi \left[ -\dfrac{x^6}{6} + \dfrac{3x^5}{5} - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{3x^2}{2} \right]_0^3 = \dfrac{288\pi}{5} \]