Wie findet man das Volumen eines Rotationskörpers, der durch die Drehung einer Fläche, die durch den Graphen einer Funktion begrenzt wird, um eine der Achsen erzeugt wird, mithilfe von bestimmten Integralen? Wir werden Beispiele vorstellen, die auf den Methoden der Scheiben und Washer (Zylindermethode) basieren, bei denen die Integration parallel zur Rotationsachse verläuft. Eine Reihe von Übungen mit Lösungen wird am Ende präsentiert.
Formeln zur Berechnung des Volumens, das durch die Drehung von Funktionsgraphen um eine der Achsen entsteht
Formel 1 - Scheibe um die x-Achse
Wenn \( f \) eine Funktion ist, für die \( f(x) \geq 0 \) für alle \( x \) im Intervall \([x_1 , x_2]\) gilt, dann ist das Volumen des Körpers, der durch die Drehung der Fläche, die durch den Graphen von \( f \), die x-Achse (\( y = 0 \)) und die vertikalen Linien \( x = x_1 \) und \( x = x_2 \) begrenzt wird, um die x-Achse entsteht, durch das Integral gegeben
\[ \int_{x_1}^{x_2} \pi [ f(x)^2 - 0^2 ] \, dx \]
Abbildung 1. Volumen eines Rotationskörpers, erzeugt durch die Drehung eines Dreiecks um die x-Achse
Formel 2 - Washer (Scheibe mit Loch) um die x-Achse
Wenn \( f \) und \( h \) Funktionen sind, für die \( f(x) \geq h(x) \) für alle \( x \) im Intervall \([x_1 , x_2]\) gilt, dann ist das Volumen des Körpers, der durch die Drehung der Fläche zwischen den Graphen von \( f \) und \( h \) von \( x = x_1 \) bis \( x = x_2 \) um die x-Achse entsteht, durch das Integral gegeben
\[ \large \text{Volumen} = \color{red}{\int_{x_1}^{x_2} \pi [ f(x)^2 - h(x)^2 ] \, dx} \]
Abbildung 2. Volumen eines Rotationskörpers, erzeugt durch die Drehung zweier Kurven um die x-Achse
Formel 3 - Scheibe um die y-Achse
Wenn \( z \) eine Funktion von \( y \) ist, so dass \( x = z(y) \) und \( z(y) \geq 0 \) für alle \( y \) im Intervall \([y_1 , y_2]\) gilt, dann ist das Volumen des Körpers, der durch die Drehung der Fläche, die durch den Graphen von \( z \), die y-Achse (\( x = 0 \)) und die horizontalen Linien \( y = y_1 \) und \( y = y_2 \) begrenzt wird, um die y-Achse entsteht, durch das Integral gegeben
\[ \large \text{Volumen} = \color{red}{\int_{y_1}^{y_2} \pi ( z(y) )^2 \, dy} \]
Abbildung 3. Volumen eines Rotationskörpers, erzeugt durch die Drehung einer Kurve um die y-Achse
Formel 4 - Washer (Scheibe mit Loch) um die y-Achse
Wenn \( z \) und \( w \) Funktionen von \( y \) sind, so dass \( z(y) \geq w(y) \) für alle \( y \) im Intervall \([ y_1 , y_2 ]\) gilt, dann ist das Volumen des Körpers, der durch die Drehung der Fläche zwischen den Graphen von \( z \) und \( w \) von \( y = y_1 \) bis \( y = y_2 \) um die y-Achse entsteht, durch das Integral gegeben
\[ \large \text{Volumen} = \color{red}{\int_{y_1}^{y_2} \pi [ z(y)^2 - w(y)^2 ] \, dy} \]
Abbildung 4. Volumen eines Rotationskörpers, erzeugt durch die Drehung zweier Kurven um die y-Achse
Beispiele zur Bestimmung des Volumens eines Rotationskörpers mithilfe bestimmter Integrale
Beispiel 1
Finden Sie das Volumen des Körpers, der durch die Drehung der Fläche, die durch den Graphen von \( y = x \), \( y = 0 \), \( x = 0 \) und \( x = 2 \) begrenzt wird, entsteht (siehe Abbildung unten).
Abbildung 5. Volumen eines Rotationskörpers, erzeugt durch die Drehung von y = x um die x-Achse
Lösung zu Beispiel 1
Wir stellen zwei Methoden vor
Methode 1 Dieses Problem kann mit der Formel für das Volumen eines geraden Kreiskegels gelöst werden.
\[ \text{Volumen} = \dfrac{1}{3} \pi (\text{Radius})^2 \text{Höhe} \]
\[ = \dfrac{1}{3} \pi (2)^2 2 \]
\[ = \dfrac{8\pi}{3} \]
Methode 2
Wir verwenden nun bestimmte Integrale, um das oben definierte Volumen zu ermitteln. Wenn wir \( f(x) = x \) gemäß Formel 1 oben setzen, ist das Volumen durch das bestimmte Integral gegeben
\[ \text{Volumen} = \int_{0}^{2} \pi x^2 dx = \left [\pi \dfrac{x^3}{3} \right ]_0^2 = \dfrac{8\pi}{3} \]
Die erste Methode funktioniert, weil \( y = x \) eine lineare Funktion ist und das erzeugte Volumen das eines geraden Kreiskegels ist. Die zweite Methode funktioniert jedoch für andere Formen als Kegel und wird in den folgenden Beispielen verwendet.
Beispiel 2
Finden Sie das Volumen des Körpers, der durch die Drehung des Halbkreises \( y = \sqrt{r^2 - x^2} \) um die x-Achse entsteht, wobei \( r > 0 \) ist.
Lösung zu Beispiel 2
Abbildung 6. Volumen eines Rotationskörpers, erzeugt durch die Drehung eines Halbkreises um die x-Achse
Der Graph von \( y = \sqrt{r^2 - x^2} \) ist oben gezeigt und \( y \geq 0 \) von \( x = -r \) bis \( x = r \). Das Volumen ergibt sich aus Formel 1 wie folgt
\[ \text{Volumen} = \int_{-r}^{r} \pi (\sqrt{r^2 - x^2})^2 dx = \int_{-r}^{r} \pi (r^2 - x^2) dx \]
\[ = \pi\left [r^2 x - \dfrac{x^3}{3} \right ]_{-r}^r \]
\[ = \pi\left [ (r^3 - \dfrac{r^3}{3}) - (-r^3 + \dfrac{r^3}{3}) \right ] \]
\[ = \dfrac{4}{3} \pi r^3 \]
Dies ist die bekannte Formel für das Volumen der Kugel. Wenn man einen Halbkreis mit Radius \( r \) um die x-Achse rotieren lässt, entsteht eine Kugel mit Radius \( r \).
Beispiel 3
Finden Sie das Volumen des Körpers, der durch die Drehung des schraffierten (roten) Bereichs um die y-Achse entsteht.
Abbildung 7. Volumen eines Rotationskörpers, erzeugt durch ein Dreieck um die y-Achse
Lösung zu Beispiel 3
Der schraffierte (rote) Bereich wird begrenzt von der x-Achse, der Geraden durch die Punkte (0,0) und (1,1) mit der Gleichung \( y = x \), und der Geraden durch die Punkte (1,1) und (2,0) mit der Gleichung \( y = -x + 2 \). Da der Körper durch Drehung um die y-Achse entsteht, verwenden wir Formel 4 von oben, um das Volumen wie folgt zu ermitteln. Die Integrationsgrenzen sind \( y = 0 \) und \( y = 1 \)
\[ \text{Volumen} = \int_{0}^{1} \pi [ (-y+2)^2 - y^2] \, dy \]
\[ = \int_{0}^{1} \pi [ - 4 y + 4] \, dy \\ = \pi \left [-2y^2+4y \right ]_0^1 = 2\pi \]
Beispiel 4
Finden Sie das Volumen des Körpers, der durch die Drehung der Kurven \( y = 1 + x^2 \) und \( y = \sqrt{x} \) um die x-Achse entsteht, begrenzt links durch \( x = 0 \) und rechts durch \( x = 2 \).
Abbildung 8. Volumen eines Rotationskörpers, erzeugt durch die Drehung der Kurven y = 1 + x^2 und y = √x um die x-Achse
Lösung zu Beispiel 4
Wir verwenden nun Formel 2 von oben, Washer-Methode mit Integration entlang der x-Achse. Die Integrationsgrenzen sind \( x = 0 \) und \( x = 2 \). Sei \( f(x) = 1 + x^2 \) und \( h(x) = \sqrt{x} \)
\[ \text{Volumen} = \int_{0}^{2} \pi ( f(x)^2 - h(x)^2 ) \, dx \]
\[ = \int_{0}^{2} \pi ( (1+x^2)^2 - (\sqrt x)^2 ) \, dx \]
\[ = \pi \int_{0}^{2} ( 1+x^4+2x^2 - x ) \, dx \]
\[ = \pi \left [ \dfrac{x^5}{5} + \dfrac{2x^3}{3} - \dfrac{x^2}{2} + x \right]_0^2 \]
\[ = \dfrac{176\pi}{15} \]
Beispiel 5
Finden Sie das Volumen des Torus, der entsteht, wenn der Kreis mit Mittelpunkt bei \( (0,R) \) und Radius \( r \) um die x-Achse rotiert wird.
Abbildung 9. Torus, der entsteht, wenn der Kreis mit Mittelpunkt bei (0,R) und Radius r um die x-Achse rotiert wird
Lösung zu Beispiel 5
Die Gleichung des Kreises ist gegeben durch
\[ x^2 + (y - R)^2 = r^2 \]
Lösen Sie die obige Gleichung nach y auf, um zwei Lösungen zu erhalten, eine für jeden Halbkreis
\( y = R + \sqrt{r^2 - x^2} \), oberer Halbkreis, und \( y = R - \sqrt{r^2 - x^2} \), unterer Halbkreis
Der Torus wird durch die Drehung der beiden Hälften (Halbkreise) um die x-Achse erzeugt, daher die Verwendung von Formel 2 von oben zur Bestimmung des Volumens des Torus. Sei \( f(x) = R + \sqrt{r^2 - x^2} \) und \( h(x) = R - \sqrt{r^2 - x^2} \). Aufgrund der Symmetrie des Kreises und damit des Torus in Bezug auf die y-Achse integrieren wir von \( x = 0 \) bis \( x = r \) und verdoppeln dann das Ergebnis, um das Gesamtvolumen zu erhalten.
\[ \text{Volumen} = \int_{0}^{r} \pi [ f(x)^2 - h(x)^2 ] \, dx \]
\[ = \pi \int_{0}^{r} [ (R + \sqrt{r^2 - x^2})^2 - (R - \sqrt{r^2 - x^2})^2 ] \, dx \]
\[ = 4 R \pi \int_{0}^{r} [ \sqrt{r^2 - x^2} ] \, dx \]
\[ = 4 R \pi (\dfrac{1}{2}) \left [ x \sqrt{r^2-x^2} + r^2\arcsin(\dfrac{x}{\sqrt{r^2-x^2}}) \right ]_0^r \]
\[ = 4 R \pi ( \pi r^2 / 4) \]
\[ = {\pi}^2 R r^2 \]
Das Gesamtvolumen ist das Doppelte des obigen Wertes, daher ist das Volumen eines Torus gegeben durch
\[ \text{Volumen} = 2 {\pi}^2 R r^2 \]
Übungen
(1) Finden Sie das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn die Fläche zwischen den Graphen von \( f(x) = x^2 + 2 \) und \( h(x) = x \) im Intervall \( [0,1] \) um die x-Achse rotiert wird.
(2) Finden Sie das Volumen, das entsteht, wenn die endliche Fläche, die von den Kurven \( y = x^3 \), \( y = x^2 \) begrenzt wird, um die y-Achse rotiert wird. (Hinweis: Sie müssen die Schnittpunkte der beiden Kurven finden.)
