Einführung in Rotationskörper
Lernen Sie, wie man das Volumen eines Rotationskörpers berechnet, der durch die Rotation einer von Kurven begrenzten Region um die x- oder y-Achse erzeugt wird. Dieses Tutorial verwendet bestimmte Integrale und behandelt sowohl die Scheibenmethode (für massive Formen) als auch die Ringmethode (für Formen mit hohlem Zentrum), komplett mit Formeln, visuellen Abbildungen und Schritt-für-Schritt-Übungsaufgaben.
Im Folgenden stellt \( C \) die Integrationskonstante dar.
Volumenformeln
Formel 1: Scheibenmethode (Um die x-Achse)
Wenn \( f \) eine Funktion ist, so dass \( f(x) \geq 0 \) für alle \( x \) im Intervall \( [x_1 , x_2] \) gilt, ist das Volumen des Körpers, der durch Rotation der Region – begrenzt durch den Graphen von \( f \), die x-Achse (\( y = 0 \)) und die vertikalen Linien \( x = x_1 \) und \( x = x_2 \) – um die x-Achse erzeugt wird, gegeben durch:
\[ \text{Volume} = \int_{x_1}^{x_2} \pi [f(x)]^2 \, dx \]
Formel 2: Ringmethode (Um die x-Achse)
Wenn \( f \) und \( h \) Funktionen sind, so dass \( f(x) \geq h(x) \) für alle \( x \) im Intervall \( [x_1 , x_2] \) gilt, ist das Volumen des Körpers, der durch Rotation der Region – begrenzt durch die Graphen von \( f \) und \( h \) – um die x-Achse erzeugt wird, gegeben durch:
\[ \text{Volume} = \int_{x_1}^{x_2} \pi [f(x)^2 - h(x)^2] \, dx \]
Formel 3: Scheibenmethode (Um die y-Achse)
Wenn \( z \) eine Funktion von \( y \) ist, so dass \( x = z(y) \) und \( z(y) \geq 0 \) für alle \( y \) im Intervall \( [y_1 , y_2] \) gilt, ist das Volumen, das durch Rotation der Region – begrenzt durch \( z \), die y-Achse (\( x = 0 \)) und die horizontalen Linien \( y = y_1 \) und \( y = y_2 \) – um die y-Achse erzeugt wird, wie folgt:
\[ \text{Volume} = \int_{y_1}^{y_2} \pi [z(y)]^2 \, dy \]
Formel 4: Ringmethode (Um die y-Achse)
Wenn \( z \) und \( w \) Funktionen von \( y \) sind, so dass \( z(y) \geq w(y) \) für alle \( y \) im Intervall \( [y_1 , y_2] \) gilt, ist das Volumen, das durch Rotation der Region – begrenzt durch \( z \) und \( w \) – um die y-Achse erzeugt wird, gegeben durch:
\[ \text{Volume} = \int_{y_1}^{y_2} \pi [z(y)^2 - w(y)^2] \, dy \]
Beispiele mit detaillierten Lösungen
Klicken Sie auf jedes Beispiel, um dessen detaillierte Schritt-für-Schritt-Lösung anzuzeigen.
Beispiel 1
Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der durch Rotation der Region – begrenzt durch den Graphen von \( y = x \), \( y = 0 \), \( x = 0 \) und \( x = 2 \) – um die x-Achse erzeugt wird.
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Methode 1: Geometrische Formel
Da \( y = x \) ein Dreieck bildet, entsteht bei der Rotation ein gerader Kreiskegel mit einem Radius von 2 und einer Höhe von 2. Verwendung der geometrischen Formel:
\[ \text{Volume} = \frac{1}{3} \pi (\text{radius})^2 (\text{height}) = \frac{1}{3} \pi (2)^2 (2) = \frac{8\pi}{3} \]Methode 2: Bestimmtes Integral (Scheibenmethode)
Sei \( f(x) = x \). Nach Formel 1 ist das Volumen durch das bestimmte Integral von 0 bis 2 gegeben:
\[ \text{Volume} = \int_{0}^{2} \pi x^2 \, dx = \left[ \pi \frac{x^3}{3} \right]_0^2 = \frac{8\pi}{3} \]Beispiel 2
Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der durch Rotation des Halbkreises \( y = \sqrt{r^2 - x^2} \) um die x-Achse erzeugt wird, wobei \( r > 0 \) ist.
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Der Graph von \( y = \sqrt{r^2 - x^2} \) ist von \( x = -r \) bis \( x = r \) begrenzt. Das Volumen ergibt sich durch die Scheibenmethode (Formel 1):
\[ \text{Volume} = \int_{-r}^{r} \pi \left(\sqrt{r^2 - x^2}\right)^2 \, dx = \int_{-r}^{r} \pi (r^2 - x^2) \, dx \]Stammfunktion bestimmen und an den Grenzen auswerten:
\[ = \pi \left[ r^2 x - \frac{x^3}{3} \right]_{-r}^r \] \[ = \pi \left[ \left(r^3 - \frac{r^3}{3}\right) - \left(-r^3 + \frac{r^3}{3}\right) \right] = \frac{4}{3} \pi r^3 \]Hiermit wird die bekannte Formel für das Volumen einer Kugel hergeleitet!
Beispiel 3
Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der durch Rotation der schattierten Region – begrenzt durch \( y = x \), \( y = -x + 2 \) und die x-Achse – um die y-Achse erzeugt wird.
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Da der Körper durch Rotation um die y-Achse erzeugt wird, müssen wir unsere Gleichungen als Funktionen von \( y \) umschreiben (\( x = z(y) \)). Die Integrationsgrenzen entlang der y-Achse reichen von \( y = 0 \) bis \( y = 1 \) (wo sich die Linien schneiden).
Die rechte Kurve ist \( y = -x + 2 \implies x = 2 - y \).
Die linke Kurve ist \( y = x \implies x = y \).
Verwendung der Ringmethode (Formel 4):
\[ \text{Volume} = \int_{0}^{1} \pi [ (2-y)^2 - y^2 ] \, dy \]Binomische Formel ausmultiplizieren und den Integranden vereinfachen:
\[ = \int_{0}^{1} \pi [ 4 - 4y + y^2 - y^2 ] \, dy = \int_{0}^{1} \pi [ 4 - 4y ] \, dy \]Integrieren und auswerten:
\[ = \pi \left[ 4y - 2y^2 \right]_0^1 = \pi (4 - 2) = 2\pi \]Beispiel 4
Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der durch die Rotation der Region – begrenzt durch die Kurven \( y = 1 + x^2 \) und \( y = \sqrt{x} \) – um die x-Achse von \( x = 0 \) bis \( x = 2 \) erzeugt wird.
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Wir verwenden die Ringmethode entlang der x-Achse (Formel 2). Sei \( f(x) = 1 + x^2 \) (der äußere Radius) und \( h(x) = \sqrt{x} \) (der innere Radius).
\[ \text{Volume} = \int_{0}^{2} \pi ( f(x)^2 - h(x)^2 ) \, dx \] \[ = \int_{0}^{2} \pi \left( (1+x^2)^2 - (\sqrt{x})^2 \right) \, dx \]Quadrate ausmultiplizieren:
\[ = \pi \int_{0}^{2} ( 1 + 2x^2 + x^4 - x ) \, dx \]Mit der Potenzregel integrieren:
\[ = \pi \left[ x + \frac{2x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^2}{2} \right]_0^2 \]Bei \( x = 2 \) auswerten:
\[ = \pi \left( 2 + \frac{16}{3} + \frac{32}{5} - 2 \right) = \frac{176\pi}{15} \]Beispiel 5
Berechnen Sie das Volumen des Torus, der erzeugt wird, wenn der Kreis mit dem Mittelpunkt bei \( (0, R) \) und dem Radius \( r \) um die x-Achse rotiert wird.
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Die Gleichung des Kreises ist gegeben durch \( x^2 + (y - R)^2 = r^2 \).
Lösen Sie die Gleichung nach \( y \) auf, um den oberen und unteren Rand des Kreises zu erhalten:
- Oberer Halbkreis: \( f(x) = R + \sqrt{r^2 - x^2} \)
- Unterer Halbkreis: \( h(x) = R - \sqrt{r^2 - x^2} \)
Wegen der Symmetrie bezüglich der y-Achse können wir von \( x = 0 \) bis \( x = r \) integrieren und das Ergebnis verdoppeln, um das Gesamtvolumen zu erhalten. Anwendung der Ringmethode (Formel 2):
\[ \frac{1}{2} \text{Volume} = \int_{0}^{r} \pi [ f(x)^2 - h(x)^2 ] \, dx \] \[ = \pi \int_{0}^{r} \left[ (R + \sqrt{r^2 - x^2})^2 - (R - \sqrt{r^2 - x^2})^2 \right] \, dx \]Wenn Sie die Quadrate ausmultiplizieren und subtrahieren, heben sich die Terme \( R^2 \) und \( (r^2 - x^2) \) auf, so dass Folgendes übrig bleibt:
\[ = 4 R \pi \int_{0}^{r} \sqrt{r^2 - x^2} \, dx \]Das Integral von \( \sqrt{r^2 - x^2} \) liefert den Flächeninhalt eines Viertelkreises, den wir mit Standardregeln der trigonometrischen Substitution lösen können:
\[ = 4 R \pi \left( \frac{1}{2} \right) \left[ x \sqrt{r^2-x^2} + r^2\arcsin\left(\frac{x}{r}\right) \right]_0^r \] \[ = 2 R \pi \left( r^2 \arcsin(1) - 0 \right) = 2 R \pi \left( r^2 \frac{\pi}{2} \right) = \pi^2 R r^2 \]Da dies nur die Hälfte des Torus war, ist das Gesamtvolumen doppelt so groß wie das obige Ergebnis:
\[ \text{Volume} = 2 \pi^2 R r^2 \](Hinweis: Ein kleiner Tippfehler im ursprünglichen Analysis-Ableitungsschritt für den Arcsin-Term wurde hier aus mathematischen Gründen korrigiert).
Übungsaufgaben
Klicken Sie auf jede Übung, um die Schritt-für-Schritt-Lösung anzuzeigen.
Übung 1
Berechnen Sie das Volumen des Körpers, der entsteht, wenn die Region zwischen den Graphen von \( f(x) = x^2 + 2 \) und \( h(x) = x \) über dem Intervall \( [0, 1] \) um die x-Achse rotiert wird.
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Verwendung der Ringmethode um die x-Achse:
\[ \text{Volume} = \pi \int_{0}^{1} \left[ (x^2 + 2)^2 - (x)^2 \right] \, dx \] \[ = \pi \int_{0}^{1} (x^4 + 4x^2 + 4 - x^2) \, dx = \pi \int_{0}^{1} (x^4 + 3x^2 + 4) \, dx \]Integrieren und an den Grenzen auswerten:
\[ = \pi \left[ \frac{x^5}{5} + x^3 + 4x \right]_0^1 = \pi \left( \frac{1}{5} + 1 + 4 \right) = \frac{26\pi}{5} \]Übung 2
Berechnen Sie das Volumen, das erzeugt wird, wenn die endliche Region, die durch die Kurven \( y = x^3 \) und \( y = x^2 \) begrenzt wird, um die y-Achse rotiert wird.
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Finden Sie zunächst die Schnittpunkte, indem Sie \( x^3 = x^2 \) setzen. Die Kurven schneiden sich bei \( x = 0 \) und \( x = 1 \), was \( y = 0 \) und \( y = 1 \) entspricht.
Da wir um die y-Achse rotieren, müssen wir \( x \) als Funktionen von \( y \) ausdrücken. Im Intervall \( y \in [0, 1] \) ist \( y = x^3 \implies x = y^{1/3} \) der äußere Radius und \( y = x^2 \implies x = y^{1/2} \) der innere Radius.
Verwendung der Ringmethode um die y-Achse:
\[ \text{Volume} = \pi \int_{0}^{1} \left[ (y^{1/3})^2 - (y^{1/2})^2 \right] \, dy = \pi \int_{0}^{1} (y^{2/3} - y) \, dy \]Integrieren und auswerten:
\[ = \pi \left[ \frac{3}{5}y^{5/3} - \frac{y^2}{2} \right]_0^1 = \pi \left( \frac{3}{5} - \frac{1}{2} \right) = \frac{\pi}{10} \]