Finden Sie das Volumen einer Kugel mithilfe von Integralen und der Scheibenmethode.
Finden Sie das Volumen einer Kugel, die durch die Rotation des Halbkreises \( y = \sqrt{R^2 - x^2} \) um die x-Achse entsteht.
Der Graph von \( y = \sqrt{R^2 - x^2} \) von \( x = -R \) bis \( x = R \) ist unten dargestellt. Sei \( f(x) = \sqrt{R^2 - x^2} \), das Volumen ist gegeben durch Formel 1 in Volumen eines Rotationskörpers
\[ \large{\text{Volumen} = \color{red}{ \int_{x_1}^{x_2} \pi (f(x))^2 dx }} \]
Ersetzen Sie \( f(x) \) durch seinen Ausdruck \( \sqrt{R^2 - x^2} \).
\[ = \int_{-R}^{R} \pi \left(\sqrt{R^2 - x^2}\right)^2 dx \]Vereinfachen.
\[ = \int_{-R}^{R} \pi (R^2 - x^2) dx \]Integrieren.
\[ = \pi\left [R^2 x - \frac{x^3}{3} \right ]_{-R}^R \]Integral auswerten.
\[ = \pi\left [ \left(R^3 - \frac{R^3}{3}\right) - \left(-R^3 + \frac{R^3}{3}\right) \right ] = \frac{4}{3} \pi R^3 \]Dies ist die bekannte Formel für das Volumen einer Kugel. Wenn Sie einen Halbkreis mit Radius \( R \) um die x-Achse rotieren lassen, erzeugt dies eine Kugel mit Radius \( R \).