Berechnen Sie das Volumen einer Kugel mithilfe von Integralen und der Scheibenmethode.
Im Folgenden stellt \( C \) die Integrationskonstante dar.
Problem & Herleitung
Problem: Berechne das Volumen einer Kugel, die durch Rotation des Halbkreises \( y = \sqrt{R^2 - x^2} \) um die x-Achse erzeugt wird.
Der Graph von \( y = \sqrt{R^2 - x^2} \) von \( x = -R \) bis \( x = R \) ist unten dargestellt. Sei \( f(x) = \sqrt{R^2 - x^2} \). Das Volumen ist durch Formel 1 unter Volumen eines Rotationskörpers gegeben:
\[ \large{\text{Volume} = \color{red}{\int_{x_1}^{x_2} \pi (f(x))^2 \, dx}} \]
Aufstellen des bestimmten Integrals mit den Grenzen von \( -R \) bis \( R \):
\[ \text{Volume} = \int_{-R}^{R} \pi f(x)^2 \, dx \]Ersetze \( f(x) \) durch seinen Ausdruck \( \sqrt{R^2 - x^2} \):
\[ = \int_{-R}^{R} \pi \left(\sqrt{R^2 - x^2}\right)^2 \, dx \]Vereinfachen:
\[ = \int_{-R}^{R} \pi (R^2 - x^2) \, dx \]Integrieren:
\[ = \pi \left[ R^2 x - \frac{x^3}{3} \right]_{-R}^{R} \]Auswerten des Integrals:
\[ = \pi \left[ \left(R^3 - \frac{R^3}{3}\right) - \left(-R^3 + \frac{R^3}{3}\right) \right] = \frac{4}{3} \pi R^3 \]Dies ist die bekannte Formel für das Volumen einer Kugel. Die Rotation eines Halbkreises mit dem Radius \( R \) um die x-Achse erzeugt eine Kugel mit dem Radius \( R \).