Der Mittelwertsatz ist einer der wichtigsten Sätze in der Analysis. Er wird hier anhand von Beispielen und Grafiken besprochen. Nach Abschluss dieses Tutorials könnten Sie versuchen, Probleme zum Mittelwertsatz zu lösen.
Sei \( f(x) \) eine stetige Funktion auf dem Intervall [a, b] und differenzierbar auf dem offenen Intervall (a, b). Dann gibt es mindestens einen Wert c von x im Intervall (a, b), so dass
\[ f '(c) = \dfrac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}} \]
oder
\[ f(b) - f(a) = f '(c) (b - a) \]
Mit anderen Worten, die Tangente an den Graphen von f bei c und die Sekante durch die Punkte (a,f(a)) und (b,f(b)) haben gleiche Steigungen und sind daher parallel.
Verwenden Sie den Mittelwertsatz, um den Wert c von x im Intervall \( [1 , 5] \) zu finden, so dass die Tangente am Punkt \( (c , f(c)) \) an die Kurve \( f(x) = -x^2 + 7x - 6 \) parallel zur Sekante durch die Punkte \( (1 , f(1)) \) und \( (5 , f(5)) \) ist.
Die Steigung der Tangente am Punkt \( (c , f(c)) \) ist gegeben durch
\[ f'(c) \]
wobei \( f' \) die erste Ableitung ist.
Die Steigung der Sekante durch \( (1 , f(1)) \) und \( (5 , f(5)) \) ist gegeben durch
\[ \dfrac{{f(5) - f(1)}}{{5 - 1}} \]
Damit die Tangente parallel zur Sekante ist, müssen ihre Steigungen gleich sein, also
\[ f '(c) = \dfrac{{f(5) - f(1)}}{{5 - 1}} \]
Die Funktion \( f \) ist eine polynomiale (quadratische) Funktion und daher auf dem Intervall \( [1 , 5] \) stetig und differenzierbar. Folglich sagt der Mittelwertsatz voraus, dass es mindestens einen Wert von \( x (= c) \) gibt, für den die obige Gleichheit wahr ist.
Die Steigung der Tangente ist durch den Wert der ersten Ableitung bei \( x = c \) gegeben.
Die erste Ableitung: \( f ' (x) = - 2x + 7 \)
Die Steigung \( m_1 \) der Tangente an die Kurve bei x = c ist gleich \[ m_1 = f'(c) = - 2c + 7 \]
Die Steigung \( m_2 \) der Sekante durch die Punkte \( (1 , f(1)) \) und \( (5 , f(5)) \) ist gegeben durch
\[ m_2 = \dfrac{{f(5) - f(1)}}{{5 - 1}} = \dfrac{{4 - 0}}{4} = 1 \]
\( m_1 = m_2 \) ergibt die Gleichung
\[ - 2c + 7 = 1 \]
\[ c = 3 \]
Der Tangentialpunkt bei \( x = c \) ist gegeben durch \( (3 , f(3)) = (3 , 6) \)
Gleichung der Tangente:
\[ y - 6 = (x - 3) \]
\[ y = x + 3 \]
In Abbildung 1 unten sind die Graphen der gegebenen Funktion und der Graph der Tangente an die Kurve von \( f \) dargestellt. Die Tangente und die Sekante haben gleiche Steigungen und sind daher parallel.
Es kann mehr als einen Wert von \( x ( = c) \) geben, der den Mittelwertsatz erfüllt, siehe Beispiel 2 unten.
Verwenden Sie den Mittelwertsatz, um alle Werte von x im Intervall \( [0 , 3] \) zu finden, so dass die Tangente an den Punkten \( (c , f(c)) \) an die Kurve \( f(x) = x^3 - 5x^2 + 7x + 1 \) parallel zur Sekante durch die Punkte \( (0 , f(0)) \) und \( (3 , f(3)) \) ist.
Die Funktion f ist eine Polynomfunktion und daher auf dem Intervall [0 , 3] stetig und differenzierbar. Folglich sagt der Mittelwertsatz voraus, dass es mindestens einen Wert von x ( = c) gibt, so dass die Tangente an die Kurve von f bei x = c und die Sekante parallel sind und daher ihre Steigungen gleich sind.
Steigung der Tangente
Die erste Ableitung: \( f ' (x) = 3x^2 - 10x + 7 \)
Die Steigung \( m_1 \) der Tangente bei x = c ist gleich \( m_1 = f ' (c) = 3c^2 - 10c + 7 \)
Die Steigung \( m_2 \) der Sekante durch die Punkte \( (0 , f(0)) \) und \( (3 , f(3)) \)
\[ m_2 = \dfrac{{f(3) - f(0)}}{{3 - 0}} = \dfrac{{4 - 1}}{3} = 1 \]
Damit die Tangente an die Kurve bei x = c und die Sekante durch (0 , f(0)) und (3 , f(3)) parallel sind, müssen ihre Steigungen gleich sein.
\[ 3c^2 - 10c + 7 = 1 \]
was geschrieben werden kann als
\[ 3c^2 - 10c + 6 = 0 \]
Lösen mit quadratischen Formeln ergibt zwei Lösungen
\[ c_1 = \dfrac{{5 - \sqrt{7}}}{3} \approx 0.78 \] und \( c_2 = \dfrac{{5 + \sqrt{7}}}{3} \approx 2.55 \)
In Abbildung 2 unten sind die Graphen der gegebenen Funktion und die Graphen der beiden Tangenten an die Kurve von f parallel zur Sekante durch die Punkte \( A(0 , f(0)) \) und \( B(3 , f(3))\) dargestellt.
