Der Mittelwertsatz ist einer der wichtigsten Sätze in der Analysis. Er wird hier anhand von Beispielen und Graphen besprochen. Sobald Sie mit diesem Tutorial fertig sind, möchten Sie vielleicht Aufgaben zum Mittelwertsatz lösen.
Im Folgenden stellt \( C \) die Integrationskonstante dar, sofern anwendbar.
Mittelwertsatz
Let \( f(x) \) be a continuous function on the closed interval \( [a, b] \) and differentiable on the open interval \( (a, b) \). Then there is at least one value \( c \) of \( x \) in the interval \( (a, b) \) such that:
\[ f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \]or
\[ f(b) - f(a) = f'(c)(b - a) \]In other words, the tangent line to the graph of \( f \) at \( c \) and the secant through points \( (a, f(a)) \) and \( (b, f(b)) \) have equal slopes and are therefore parallel.
Beispiele zur Anwendung des Mittelwertsatzes
Klicken Sie auf jedes Beispiel, um dessen detaillierte Schritt-für-Schritt-Lösung anzuzeigen.
Beispiel 1
Use the mean value theorem to find the value \( c \) of \( x \) in the interval \( [1, 5] \) such that the tangent at the point \( (c, f(c)) \) to the curve \( f(x) = -x^2 + 7x - 6 \) is parallel to the secant through the points \( (1, f(1)) \) and \( (5, f(5)) \).
Lösung für Beispiel 1 anzeigen
Die Steigung der Tangente im Punkt \( (c, f(c)) \) ist gegeben durch:
\[ f'(c) \]wobei \( f' \) die erste Ableitung ist. Die Steigung der Sekante durch \( (1, f(1)) \) und \( (5, f(5)) \) ist gegeben durch:
\[ \dfrac{f(5) - f(1)}{5 - 1} \]Damit die Tangente parallel zur Sekante verläuft, müssen ihre Steigungen gleich sein, folglich:
\[ f'(c) = \dfrac{f(5) - f(1)}{5 - 1} \]Die Funktion \( f \) ist eine Polynomfunktion (quadratisch) und daher auf dem Intervall \( [1, 5] \) stetig und differenzierbar. Der Mittelwertsatz prognostiziert also, dass es mindestens einen Wert von \( x (= c) \) gibt, für den obige Gleichheit gilt.
Die erste Ableitung lautet:
\[ f'(x) = -2x + 7 \]Die Steigung \( m_1 \) der Tangente an die Kurve bei \( x = c \) ist:
\[ m_1 = f'(c) = -2c + 7 \]Die Steigung \( m_2 \) der Sekante durch die Punkte \( (1, f(1)) \) und \( (5, f(5)) \) ist:
\[ m_2 = \dfrac{f(5) - f(1)}{5 - 1} = \dfrac{4 - 0}{4} = 1 \]Das Setzen von \( m_1 = m_2 \) liefert die Gleichung:
\[ -2c + 7 = 1 \implies -2c = -6 \implies c = 3 \]Antwort grafisch überprüfen:
Der Berührpunkt bei \( x = c \) ist gegeben durch \( (3, f(3)) = (3, 6) \).
Gleichung der Tangente:
\[ y - 6 = 1(x - 3) \implies y = x + 3 \]In Abbildung 2 unten sind die Graphen der gegebenen Funktion und der Tangente an die Kurve von \( f \) dargestellt. Die Tangente und die Sekante haben gleiche Steigungen und verlaufen daher parallel.
Hinweis: Es kann mehr als einen Wert von \( x (= c) \) geben, der den Mittelwertsatz erfüllt, wie in Beispiel 2 unten zu sehen ist.
Beispiel 2
Use the mean value theorem to find all values of \( x \) in the interval \( [0, 3] \) such that the tangent at the points \( (c, f(c)) \) to the curve \( f(x) = x^3 - 5x^2 + 7x + 1 \) is parallel to the secant through the points \( (0, f(0)) \) and \( (3, f(3)) \).
Lösung für Beispiel 2 anzeigen
Die Funktion \( f \) ist eine Polynomfunktion und daher auf dem Intervall \( [0, 3] \) stetig und differenzierbar, weshalb der Mittelwertsatz vorhersagt, dass es mindestens einen Wert von \( x (= c) \) gibt, so dass die Tangente an die Kurve von \( f \) bei \( x = c \) und die Sekante parallel sind und gleiche Steigungen besitzen.
Die erste Ableitung lautet:
\[ f'(x) = 3x^2 - 10x + 7 \]Die Steigung \( m_1 \) der Tangente bei \( x = c \) ist:
\[ m_1 = f'(c) = 3c^2 - 10c + 7 \]Die Steigung \( m_2 \) der Sekante durch die Punkte \( (0, f(0)) \) und \( (3, f(3)) \) ist:
\[ m_2 = \dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \dfrac{4 - 1}{3} = \dfrac{3}{3} = 1 \]Damit die Tangente an die Kurve bei \( x = c \) und die Sekante durch \( (0, f(0)) \) und \( (3, f(3)) \) parallel sind, müssen ihre Steigungen gleich sein:
\[ 3c^2 - 10c + 7 = 1 \]Was geschrieben werden kann als:
\[ 3c^2 - 10c + 6 = 0 \]Lösen Sie die Gleichung mithilfe der Mitternachtsformel (quadratische Formel), um zwei Lösungen zu erhalten:
\[ c = \dfrac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(3)(6)}}{2(3)} = \dfrac{10 \pm \sqrt{100 - 72}}{6} = \dfrac{10 \pm \sqrt{28}}{6} = \dfrac{10 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \dfrac{5 \pm \sqrt{7}}{3} \]Berechnung der Dezimalnäherungen:
\[ c_1 = \dfrac{5 - \sqrt{7}}{3} \approx 0{,}78 \quad \text{und} \quad c_2 = \dfrac{5 + \sqrt{7}}{3} \approx 2{,}55 \]Antwort grafisch überprüfen:
In Abbildung 3 unten sind die Graphen der gegebenen Funktion sowie die Graphen der beiden Tangenten an die Kurve von \( f \) abgebildet, die parallel zur Sekante durch die Punkte \( A(0, f(0)) \) und \( B(3, f(3)) \) verlaufen.
