Aufgaben zum Mittelwertsatz werden mit detaillierten Lösungen vorgestellt.
Im Folgenden stellt \( C \) die Integrationskonstante dar, sofern anwendbar.
Mittelwertsatz: Wiederholung
Wenn eine Funktion \( f \) auf dem Intervall \( [a, b] \) stetig und auf \( (a, b) \) differenzierbar ist, dann existiert mindestens eine reelle Zahl \( c \) im Intervall \( (a, b) \) so dass:
\[ f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \]Der Mittelwertsatz drückt die Beziehung zwischen der Steigung der Tangente an den Kurvenverlauf bei \( x = c \) und der Steigung der Sekante durch die Punkte \( (a, f(a)) \) und \( (b, f(b)) \) aus.
Aufgaben mit detaillierten Lösungen
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Aufgabe 1
Finden Sie einen Wert von \( c \), für den die Aussage des Mittelwertsatzes erfüllt ist für:
\[ f(x) = -2x^3 + 6x - 2 \]auf dem Intervall \( [-2, 2] \).
Lösung für Aufgabe 1 anzeigen
\( f(x) \) ist eine Polynomfunktion und daher für alle reellen Zahlen stetig und differenzierbar. Werten wir \( f(x) \) an den Stellen \( x = -2 \) und \( x = 2 \) aus:
\[ f(-2) = -2(-2)^3 + 6(-2) - 2 = 2 \] \[ f(2) = -2(2)^3 + 6(2) - 2 = -6 \]Berechnen wir \( \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \):
\[ \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = \dfrac{-6 - 2}{2 - (-2)} = \dfrac{-8}{4} = -2 \]Bestimmen wir nun \( f'(x) \):
\[ f'(x) = -6x^2 + 6 \]Wir stellen nun eine Gleichung basierend auf \( f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \) auf:
\[ -6c^2 + 6 = -2 \]Lösen Sie nach \( c \) auf, um 2 Lösungen zu erhalten:
\[ -6c^2 = -8 \implies c^2 = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3} \] \[ c = \pm \sqrt{\dfrac{4}{3}} = \pm \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \pm \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \]Unten ist der Graph von \( f \), eine Sekante und die beiden Tangenten dargestellt, die den beiden gefundenen Lösungen entsprechen. Die Sekante und die beiden Tangenten verlaufen parallel, da ihre Steigungen gemäß dem Mittelwertsatz gleich sind.
Aufgabe 2
Verwenden Sie den Mittelwertsatz, um zu beweisen, dass für beliebige reelle Zahlen \( a \) und \( b \):
\[ |\cos a - \cos b| \le |a - b| \]Lösung für Aufgabe 2 anzeigen
Die Funktion \( f(x) = \cos x \) ist für alle reellen Zahlen stetig und differenzierbar. Wenn wir den Mittelwertsatz auf das Intervall zwischen \( a \) und \( b \) anwenden (unter der Annahme, dass \( a \neq b \)):
\[ \dfrac{\cos a - \cos b}{a - b} = f'(c) \]wobei \( c \) zwischen \( a \) und \( b \) liegt. Da \( f'(x) = -\sin x \) ist, erhalten wir:
\[ \dfrac{\cos a - \cos b}{a - b} = -\sin c \]Nehmen wir den Betrag auf beiden Seiten:
\[ \left| \dfrac{\cos a - \cos b}{a - b} \right| = |-\sin c| = |\sin c| \]Da \( |\sin c| \le 1 \) für jede reelle Zahl \( c \) gilt, haben wir:
\[ \left| \dfrac{\cos a - \cos b}{a - b} \right| \le 1 \]Aus den Eigenschaften des Betrags folgt \( \left| \dfrac{x}{y} \right| = \dfrac{|x|}{|y|} \):
\[ \dfrac{|\cos a - \cos b|}{|a - b|} \le 1 \]Multiplizieren Sie beide Seiten mit \( |a - b| \), um Folgendes zu erhalten:
\[ |\cos a - \cos b| \le |a - b| \]Hinweis: Wenn \( a = b \) ist, gilt die Ungleichung trivialerweise als \( 0 \le 0 \).