Aufgaben zum Mittelwertsatz
Es werden Probleme im Zusammenhang mit dem Mittelwertsatz mit detaillierten Lösungen vorgestellt.
Wenn \( f \) eine Funktion ist, die im Intervall \( [ a , b ] \) stetig und in \( (a , b ) \) differenzierbar ist, dann existiert mindestens eine reelle Zahl \( c \) im Intervall (a , b), so dass
\[ f'(c) = \dfrac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}} \]
Der Mittelwertsatz drückt die Beziehung zwischen der Steigung der Tangente an die Kurve bei \( x = c \) und der Steigung der Sekante durch die Punkte (a , f(a)) und (b , f(b)) aus.
Aufgabe 1
Finden Sie einen Wert für \( c \), so dass die Schlussfolgerung des Mittelwertsatzes für
\[ f(x) = -2x^3 + 6x - 2 \]
im Intervall [-2 , 2] erfüllt ist.
Lösung zu Aufgabe 1
\( f(x) \) ist eine Polynomfunktion und für alle reellen Zahlen stetig und differenzierbar. Lassen Sie uns \( f(x) \) an den Stellen \( x = -2 \) und \( x = 2 \) auswerten.
\[ f(-2) = -2(-2)^3 + 6(-2) - 2 = 2 \]
\[ f(2) = -2(2)^3 + 6(2) - 2 = - 6 \]
Berechnen Sie \( \dfrac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}} \).
\[ \dfrac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}} = \dfrac{{-6 - 2}}{{2 - (-2)}} = -2 \]
Lassen Sie uns nun \( f'(x) \) finden.
\[ f'(x) = - 6x^2 + 6 \]
Wir stellen nun eine Gleichung auf, die auf \( f'(c) = \dfrac{{f(b) - f(a)}}{{b - a}} \) basiert.
\[ -6c^2 + 6 = -2 \]
Lösen Sie nach \( c \) auf, um 2 Lösungen zu erhalten.
\[ c = 2 \sqrt{\dfrac{1}{3}} \) und \( c = - 2 \sqrt{\dfrac{1}{3}} \]
Unten ist der Graph von \( f \), eine Sekante und die beiden Tangenten, die den beiden gefundenen Lösungen entsprechen, dargestellt. Die Sekante und die beiden Tangenten sind parallel, da ihre Steigungen gemäß dem Mittelwertsatz gleich sind.
Aufgabe 2
Verwenden Sie den Mittelwertsatz, um zu beweisen, dass für zwei beliebige reelle Zahlen \( a \) und \( b \) gilt:
\[ | \cos a - \cos b| ≤ | a - b| \]
Lösung zu Aufgabe 2
Die Funktion \( \cos x \) ist für alle reellen Zahlen stetig und differenzierbar. Wenden Sie den Mittelwertsatz an, indem Sie zwei reelle Zahlen \( a \) und \( b \) verwenden, um zu schreiben:
\[ (\cos x)' = \dfrac{{\cos a - \cos b}}{{a - b}} \]
Nehmen Sie den absoluten Wert beider Seiten.
\[ | (\cos x)' | = \left| \dfrac{{\cos a - \cos b}}{{a - b}} \right| \]
\( (\cos x)' = - \sin x \), und daher gilt \( | (\cos x)' | ≤ 1 \).
Daraus folgt:
\[ \left| \dfrac{{\cos a - \cos b}}{{a - b}} \right| ≤ 1 \]
Aus den Eigenschaften des absoluten Wertes haben wir:
\[ \left| \dfrac{\cos a - \cos b}{a-b} \right| = \dfrac{|\cos a - \cos b|} { |a - b|} \]
In Kombination mit dem Obigen ergibt sich:
\[ \dfrac {| \cos a - \cos b |}{| a - b |} ≤ 1 \]
Multiplizieren Sie beide Seiten mit | a - b |, um zu erhalten:
\[ |\cos a - \cos b | ≤ | a - b | \]
Weitere Verweise
Differentialrechnung
Mittelwertsatz