Der Satz von Rolle ist ein Spezialfall des Mittelwertsatzes. Er wird hier anhand von Beispielen und Fragen behandelt.
Der Satz von Rolle ist das Ergebnis des Mittelwertsatzes, bei dem unter den Bedingungen:
\( f(x) \) sei eine stetige Funktion auf dem Intervall \( [a, b] \)
und differenzierbar
auf dem offenen Intervall \( (a, b) \), es existiert mindestens ein Wert c von x, so dass
\[ f '(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \]
Wenn nun die Bedingung \( f(a) = f(b) \) erfüllt ist, vereinfacht sich das Obige zu: \( f'(c) = 0 \).
Mit anderen Worten, unter den oben genannten drei Bedingungen können wir immer eine Tangente an den Graphen von f finden, die horizontal ist (Steigung = \( f'(c) = 0 \) ).
Satz von Rolle
Der Graph von \( f(x) = - x^2 + 6x - 6 \) für \( 1 \leq x \leq 5 \) ist unten dargestellt. \( f(1) = f(5) = - 1 \) und \( f \) ist stetig auf [1 , 5] und differenzierbar auf (1 , 5). Folglich gibt es nach dem Satz von Rolle mindestens einen Wert \( x = c \), so dass \( f '(c) = 0 \).
\[ f '(x) = - 2 x + 6 \]
\[ f '(c) = - 2 c + 6 = 0 \]
Löse die obige Gleichung, um zu erhalten
\[ c = 3 \]
Daher gibt es bei \( x = 3 \) eine Tangente an den Graphen von \( f \), die eine Steigung von Null hat (horizontale Linie), wie in Abbildung 1 unten dargestellt.
Der Graph von \( \quad f(x) = \sin(x) + 2 \) für \( \quad 0 \leq x \leq 2\pi \) ist unten dargestellt. \( \quad f(0) = f(2\pi) = 2 \) und \( f \) ist stetig auf [0 , \( 2\pi \)] und differenzierbar auf (0 , \( 2\pi \)). Folglich gibt es nach dem Satz von Rolle mindestens einen Wert (es kann mehr als einen geben!) von \( x = c \), so dass \( f '(c) = 0 \) gilt.
\[ f '(x) = \cos(x) \]
\[ f '(c) = \cos(c) = 0 \]
Die obige Gleichung hat zwei Lösungen im Intervall [0 , \( 2\pi \)]:
\[ c_1 = \dfrac{\pi}{2} \quad \text{und} \quad c_2 = \dfrac{3\pi}{2} \]
Somit gibt es sowohl bei \( x = \dfrac{\pi}{2} \) als auch bei \( x = \dfrac{3\pi}{2} \) Tangenten an den Graphen, die eine Steigung von Null haben (horizontale Linie), wie in Abbildung 2 unten dargestellt.
Die Funktion \( f \) in Abbildung 3 erfüllt den Satz von Rolle nicht: Obwohl sie stetig ist und \( f(-1) = f(3) \) gilt, ist die Funktion bei \( x = 1 \) nicht differenzierbar und daher ist \( f '(c) = 0 \) mit \( c \) im Intervall (-1 , 3) nicht garantiert. Tatsächlich ist leicht zu erkennen, dass es im Intervall (-1 , 3) keine horizontale Tangente an den Graphen von \( f \) gibt.
Welche der unten angegebenen Funktionen erfüllen alle drei Bedingungen des Satzes von Rolle?
a) \( f(x) = \cos(x) \), für \( x \) in \( [0 , 2\pi ] \)
b) \( g(x) = |x - 2| \), für \( x \) in \( [0 , 4] \)
c) \( h(x) = 1 / x^2 \), für \( x \) in \( [-1 , 1] \)
d) \( k(x) = |\sin(x)| \), für \( x \) in \( [0 , 2\pi ] \)
a)
\( f(0) = 1 \) und \( f(2\pi) = 1 \), daher \( f(0) = f(2\pi) \)
\( f \) ist stetig auf \( [0 , 2\pi ] \)
Die Funktion \( f \) ist in \( (0 , 2\pi ) \) differenzierbar.
Die Funktion \( f \) erfüllt alle Bedingungen des Satzes von Rolle.
b)
Die Funktion \( g \) hat einen V-förmigen Graphen mit Scheitelpunkt bei \( x = 2 \) und ist daher bei \( x = 2 \) nicht differenzierbar.
Die Funktion \( g \) erfüllt nicht alle Bedingungen des Satzes von Rolle.
c)
Die Funktion \( h \) ist bei \( x = 0 \) nicht definiert.
Die Funktion \( h \) erfüllt nicht alle Bedingungen des Satzes von Rolle.
d)
\( k(x) = |\sin(x)| \), für \( x \) in \( [0 , 2\pi] \)
Der Graph der Funktion \( k \) ist unten dargestellt und zeigt, dass die Funktion \( k \) bei \( x = \pi \) nicht differenzierbar ist.
Die Funktion \( k \) erfüllt nicht alle Bedingungen des Satzes von Rolle.
![Graph von k(x) = |sin(x)| für x in [0 , 2π]](http://www.analyzemath.com/calculus/MeanValueTheorem/rolle's_theorem_|sin(x)|.gif)
Überprüfe, dass die Funktion \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) auf dem Intervall [1 , 3] alle Bedingungen des Satzes von Rolle erfüllt, und finde dann alle Werte \( x = c \), so dass \( f '(c) = 0 \) gilt.
\( f \) ist eine Polynomfunktion und daher stetig auf dem Intervall [1 , 3] und differenzierbar auf dem Intervall (1 , 3). Außerdem ist \( f(1) = f(3) = 0 \). Somit erfüllt die Funktion \( f \) alle drei Bedingungen des Satzes von Rolle, und es gibt mindestens einen Wert \( x = c \), so dass \( f '(c) = 0 \) gilt.
\( f '(x) = 2x - 4 \)
\( f '(c) = 2c - 4 = 0 \)
Löse nach \( c \) auf, um zu erhalten
\( c = 2 \).
Der Graph unten zeigt \( f \), \( f' \) und die Tangente bei \( x = c = 2 \) ist horizontal; und \( f'(2) = 0 \).
Überprüfe, dass die Funktion \( g(x) = \cos(x) \) auf dem Intervall \( [ - \pi /2 , 3\pi/2] \) alle Bedingungen des Satzes von Rolle erfüllt, und finde dann alle Werte \( x = c \), so dass \( g '(c) = 0 \) gilt.
Die Funktion \( g \) ist eine Kosinusfunktion und daher stetig auf dem Intervall \( [ - \pi/2 , 3\pi/2] \) und differenzierbar auf dem Intervall \( ( - \pi /2 , 3\pi /2) \). Außerdem gilt \[ g( - \pi /2) = g( 3\pi /2) = 0 \]. Somit erfüllt die Funktion \( g \) alle drei Bedingungen des Satzes von Rolle, und es gibt mindestens einen Wert \( x = c \), so dass \( f '(c) = 0 \) gilt.
\( g '(x) = - \sin(x) \)
\( g '(c) = - \sin(c) = 0 \)
Löse nach \( c \) auf, um zu erhalten
\( c = n \pi \) , \( n = 0,\pm 1 , \pm 2 , ... \)
Lösungen im Intervall \( [ - \pi/2 , 3\pi /2] \) sind
\( c_1 = 0 \) und \( c_2 = \pi \);
Der Graph unten zeigt \( g \), \( g' \) und die Tangenten bei \( x = c_1 = 0 \) und \( x = c_2 = \pi \) sind horizontal; und \( g'(0) = 0 \) und \( g'(\pi) = 0 \).
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