What is Rolle's Theorem in calculus?

Rolle's Theorem states that if a function f(x) is continuous on a closed interval [a, b], differentiable on the open interval (a, b), and satisfies f(a) = f(b), then there is at least one number c in (a, b) such that f'(c) = 0.

Satz von Rolle – Fragen und Beispiele

Der Satz von Rolle ist ein Spezialfall des Mittelwertsatzes. Er wird hier anhand von Beispielen und Fragen besprochen.

Im Folgenden stellt \( C \) die Integrationskonstante dar, sofern anwendbar.

Satz von Rolle

Der Satz von Rolle ist eine direkte Folgerung aus dem Mittelwertsatz, bei dem unter den Bedingungen, dass \( f(x) \) eine stetige Funktion auf dem Intervall \( [a, b] \) und differenzierbar auf dem offenen Intervall \( (a, b) \) ist, mindestens ein Wert \( c \) von \( x \) existiert, so dass:

\[ f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \]

Wenn nun zusätzlich die Bedingung \( f(a) = f(b) \) erfüllt ist, vereinfacht sich dies zu: \( f'(c) = 0 \).

Mit anderen Worten: Unter diesen drei Bedingungen können wir immer eine Tangente an den Graphen von \( f \) finden, die horizontal verläuft (Steigung = \( f'(c) = 0 \)).

Satz von Rolle

Wenn \( f(x) \) folgende Bedingungen erfüllt:
1) eine stetige Funktion auf dem Intervall \( [a, b] \) ist,
2) auf dem offenen Intervall \( (a, b) \) differenzierbar ist,
3) und \( f(a) = f(b) \) gilt,

dann gibt es mindestens einen Wert \( c \) von \( x \) im Intervall \( (a, b) \), so dass: \[ f'(c) = 0 \]

Beispiele mit detaillierten Lösungen

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Beispiel 1

Der Graph von \( f(x) = -x^2 + 6x - 6 \) für \( 1 \le x \le 5 \) ist unten dargestellt. Es gilt \( f(1) = f(5) = -1 \) und \( f \) ist stetig auf \( [1, 5] \) sowie differenzierbar auf \( (1, 5) \). Daher existiert nach dem Satz von Rolle mindestens ein Wert von \( x = c \), so dass \( f'(c) = 0 \).

Lösung für Beispiel 1 anzeigen

\[ f'(x) = -2x + 6 \] \[ f'(c) = -2c + 6 = 0 \]

Lösen Sie die obige Gleichung, um Folgendes zu erhalten:

\[ c = 3 \]

Daher gibt es bei \( x = 3 \) eine Tangente an den Graphen von \( f \), die eine Steigung gleich Null hat (waagerechte Gerade), wie in Abbildung 1 unten gezeigt.

Anwendung des Satzes von Rolle Beispiel 1 — Abbildung 1. Satz von Rolle, Beispiel 1

Beispiel 2

Der Graph von \( f(x) = \sin(x) + 2 \) für \( 0 \le x \le 2\pi \) ist unten dargestellt. Es gilt \( f(0) = f(2\pi) = 2 \) und \( f \) ist stetig auf \( [0, 2\pi] \) und differenzierbar auf \( (0, 2\pi) \). Daher existiert nach dem Satz von Rolle mindestens ein Wert (es können auch mehrere sein!) von \( x = c \), so dass \( f'(c) = 0 \).

Lösung für Beispiel 2 anzeigen

\[ f'(x) = \cos(x) \] \[ f'(c) = \cos(c) = 0 \]

Die obige Gleichung hat zwei Lösungen auf dem Intervall \( [0, 2\pi] \):

\[ c_1 = \dfrac{\pi}{2} \quad \text{und} \quad c_2 = \dfrac{3\pi}{2} \]

Daher gibt es sowohl bei \( x = \dfrac{\pi}{2} \) als auch bei \( x = \dfrac{3\pi}{2} \) Tangenten an den Graphen, die eine Steigung gleich Null haben (waagerechte Geraden), wie in Abbildung 2 unten gezeigt.

Anwendung des Satzes von Rolle Beispiel 2, zwei Tangenten — Abbildung 2. Satz von Rolle, Beispiel 2 mit zwei Tangenten

Beispiel 3

Die Funktion \( f \) in Abbildung 3 erfüllt den Satz von Rolle nicht: Obwohl sie stetig ist und \( f(-1) = f(3) \) gilt, ist die Funktion bei \( x = 1 \) nicht differenzierbar, weshalb \( f'(c) = 0 \) mit einem \( c \) im Intervall \( (-1, 3) \) nicht garantiert ist. Tatsächlich ist leicht zu erkennen, dass es auf dem Intervall \( (-1, 3) \) keine waagerechte Tangente an den Graphen von \( f \) gibt.

Graphen einer Funktion, bei der mindestens eine der Bedingungen nicht erfüllt ist — Abbildung 3. Graph einer Funktion, die die Differenzierbarkeitsbedingung des Satzes von Rolle nicht erfüllt

Übungsfragen mit detaillierten Lösungen

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Frage 1

Welche der unten angegebenen Funktionen erfüllen alle drei Bedingungen des Satzes von Rolle?

a) \( f(x) = \cos(x) \), für \( x \) in \( [0, 2\pi] \)
b) \( g(x) = |x - 2| \), für \( x \) in \( [0, 4] \)
c) \( h(x) = \dfrac{1}{x^2} \), für \( x \) in \( [-1, 1] \)
d) \( k(x) = |\sin(x)| \), für \( x \) in \( [0, 2\pi] \)

Lösung für Frage 1 anzeigen

a) \( f(0) = 1 \) und \( f(2\pi) = 1 \), daher gilt \( f(0) = f(2\pi) \). \( f \) ist auf \( [0, 2\pi] \) stetig und in \( (0, 2\pi) \) differenzierbar. Funktion \( f \) erfüllt alle Bedingungen des Satzes von Rolle.

b) Funktion \( g \) hat einen V-förmigen Graphen mit einer Spitze bei \( x = 2 \) und ist daher bei \( x = 2 \) nicht differenzierbar. Funktion \( g \) erfüllt nicht alle Bedingungen des Satzes von Rolle.

c) Funktion \( h \) ist bei \( x = 0 \) nicht definiert. Funktion \( h \) erfüllt nicht alle Bedingungen des Satzes von Rolle.

d) \( k(x) = |\sin(x)| \) für \( x \) in \( [0, 2\pi] \). Der Graph der Funktion \( k \) ist unten dargestellt und zeigt, dass die Funktion \( k \) bei \( x = \pi \) nicht differenzierbar ist. Funktion \( k \) erfüllt nicht alle Bedingungen des Satzes von Rolle.

Graph von k(x) = |sin(x)|, für x in [0, 2π] — Abbildung 4. Graph von \( k(x) = |\sin(x)| \), für \( x \) in \( [0, 2\pi] \)

Frage 2

Überprüfen Sie, ob die Funktion \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) auf dem Intervall \( [1, 3] \) alle Bedingungen des Satzes von Rolle erfüllt, und finden Sie dann alle Werte von \( x = c \), so dass \( f'(c) = 0 \) ist.

Lösung für Frage 2 anzeigen

\( f \) ist eine Polynomfunktion und daher auf dem Intervall \( [1, 3] \) stetig und auf dem Intervall \( (1, 3) \) differenzierbar. Außerdem gilt \( f(1) = f(3) = 0 \). Somit erfüllt die Funktion \( f \) alle drei Bedingungen des Satzes von Rolle, wodurch sichergestellt ist, dass es mindestens einen Wert \( x = c \) gibt, für den \( f'(c) = 0 \) gilt.

\[ f'(x) = 2x - 4 \] \[ f'(c) = 2c - 4 = 0 \implies c = 2 \]

Der Graph unten zeigt \( f \), und die Tangente bei \( x = c = 2 \) verläuft horizontal mit \( f'(2) = 0 \).

Anwendung des Satzes von Rolle Frage 2, f(x) = x^2 - 4x + 3 — Abbildung 5. Satz von Rolle, Frage 2, \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)

Frage 3

Überprüfen Sie, ob die Funktion \( g(x) = \cos(x) \) auf dem Intervall \( \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right] \) alle Bedingungen des Satzes von Rolle erfüllt, und finden Sie dann alle Werte \( x = c \), so dass \( g'(c) = 0 \) ist.

Lösung für Frage 3 anzeigen

Funktion \( g \) ist eine Cosinusfunktion und daher auf dem Intervall \( \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right] \) stetig und auf dem Intervall \( \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right) \) differenzierbar. Außerdem gilt:

\[ g\left(-\dfrac{\pi}{2}\right) = g\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = 0 \]

Daher erfüllt die Funktion \( g \) alle drei Bedingungen des Satzes von Rolle, und es gibt mindestens einen Wert von \( x = c \), so dass \( g'(c) = 0 \) ist.

\[ g'(x) = -\sin(x) \] \[ g'(c) = -\sin(c) = 0 \implies c = n\pi, \quad n = 0, \pm 1, \pm 2, \dots \]

Die Lösungen auf dem Intervall \( \left[-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{3\pi}{2}\right] \) lauten:

\[ c_1 = 0 \quad \text{und} \quad c_2 = \pi \]

Der Graph unten zeigt \( g \), und die Tangenten bei \( x = c_1 = 0 \) und \( x = c_2 = \pi \) sind horizontal mit \( g'(0) = 0 \) und \( g'(\pi) = 0 \).

Anwendung des Satzes von Rolle Frage 3, g(x) = cos(x) — Abbildung 6. Satz von Rolle, Frage 3, \( g(x) = \cos(x) \)