Ein Tutorial darüber, wie man in der Analysis die erste und zweite Ableitung nutzt, um die Eigenschaften von Funktionsgraphen zu untersuchen.
Im Folgenden steht \( C \) für die Integrationskonstante, sofern anwendbar.
Sätze
Um Funktionen in der Analysis zu zeichnen, wiederholen wir zunächst mehrere Sätze. Drei Sätze werden verwendet, um Maxima und Minima mithilfe der ersten und zweiten Ableitung zu finden, und sie werden hier mit zwei weiteren Sätzen kombiniert, um vollständige Funktionsgraphen zu untersuchen.
Satz 4: Wenn \( f \) auf dem Intervall \( [I_1, I_2] \) definiert und auf dem Intervall \( (I_1, I_2) \) differenzierbar ist, dann gilt:
- 4.a: Wenn \( f'(x) > 0 \) auf \( (I_1, I_2) \), dann ist \( f \) auf \( [I_1, I_2] \) monoton wachsend.
- 4.b: Wenn \( f'(x) < 0 \) auf \( (I_1, I_2) \), dann ist \( f \) auf \( [I_1, I_2] \) monoton fallend.
- 4.c: Wenn \( f'(x) = 0 \) auf \( (I_1, I_2) \), dann ist \( f \) auf \( [I_1, I_2] \) konstant.
Satz 5: Wenn \( f \) auf dem Intervall \( (I_1, I_2) \) zweimal differenzierbar ist, dann gilt:
- 5.a: Wenn \( f''(x) > 0 \) auf \( (I_1, I_2) \), dann ist \( f \) auf \( [I_1, I_2] \) linksgekrümmt (konkav nach oben).
- 5.b: Wenn \( f''(x) < 0 \) auf \( (I_1, I_2) \), dann ist \( f \) auf \( [I_1, I_2] \) rechtsgekrümmt (konkav nach unten).
Beispiele mit detaillierten Lösungen
Wir präsentieren Beispiele für das Zeichnen von Funktionen unter Verwendung der Sätze aus "Verwendung der ersten und zweiten Ableitung" sowie der Sätze 4 und 5 oben.
Klicken Sie auf jede Lösung, um die Schritt-für-Schritt-Anleitung zur Kurvendiskussion anzuzeigen.
Beispiel 1
Verwenden Sie die Sätze über die erste und zweite Ableitung, um die durch folgende Gleichung definierte Funktion \( f \) zu zeichnen:
\[ f(x) = x^2 \]Lösung zu Beispiel 1 anzeigen
Schritt 1: Bestimmen Sie die erste Ableitung, die stationären Punkte und das Vorzeichen von \( f'(x) \), um die Monotonieintervalle zu ermitteln.
\[ f'(x) = 2x \]Stationäre Punkte sind Lösungen von \( f'(x) = 2x = 0 \), was \( x = 0 \) liefert.
\( f'(x) \) ist auf \( (-\infty, 0) \) negativ, folglich fällt \( f \) dort (Satz 4.b). \( f'(x) \) ist auf \( (0, +\infty) \) positiv, folglich wächst \( f \) dort (Satz 4.a). Nach Satz 2 hat \( f \) bei \( x = 0 \) ein Minimum.
Schritt 2: Bestimmen Sie die zweite Ableitung, deren Vorzeichen und Informationen zur Krümmung.
\[ f''(x) = 2 \quad (\text{immer positiv}) \]Dies bestätigt ein Minimum bei \( x = 0 \), da \( f''(0) = 2 > 0 \) ist. Der Graph ist auf \( (-\infty, +\infty) \) linksgekrümmt (Satz 5.a).
Schritt 3: Bestimmen Sie Schnittpunkte und Extremwerte.
\( y \)-Achsenabschnitt: \( f(0) = 0 \). \( x \)-Achsenabschnitt: \( x^2 = 0 \implies x = 0 \).
Der Tiefpunkt (Minimum) liegt bei \( (0, 0) \).
Schritt 4: Skizzieren Sie den Graphen.
Für \( x \to \pm\infty \) gilt \( f(x) = x^2 \to +\infty \).
Beispiel 2
Verwenden Sie die Sätze über die erste und zweite Ableitung, um die durch folgende Gleichung definierte Funktion \( f \) zu zeichnen:
\[ f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x \]Lösung zu Beispiel 2 anzeigen
Schritt 1: Erste Ableitung und stationäre Punkte.
\[ f'(x) = 3x^2 - 8x + 4 \]Das Lösen von \( 3x^2 - 8x + 4 = 0 \) liefert die kritischen Punkte \( x = 2 \) und \( x = \dfrac{2}{3} \).
Schritt 2: Zweite Ableitung und Wendepunkte.
\[ f''(x) = 6x - 8 \]Das Lösen von \( 6x - 8 = 0 \) ergibt \( x = \dfrac{4}{3} \), wo sich die Krümmung ändert (Wendepunkt).
Schritt 3: Achsenabschnitte und Grenzverhalten.
\( y \)-Achsenabschnitt: \( f(0) = 0 \).
\( x \)-Achsenabschnitte: Faktorisieren liefert \( x(x^2 - 4x + 4) = x(x - 2)^2 = 0 \), woraus \( x = 0 \) und \( x = 2 \) (mit Vielfachheit 2) folgen.
Für \( x \to +\infty \) gilt \( f(x) \to +\infty \). Für \( x \to -\infty \) gilt \( f(x) \to -\infty \).
Schritt 4: Vorzeichentabelle und Graph.
