Erste, zweite Ableitung und Funktionsgraphen
Ein Tutorial zur Verwendung der ersten und zweiten Ableitung in der Analysis, um die Eigenschaften von Funktionsgraphen zu untersuchen.
Theoreme
Um Funktionen in der Analysis zu zeichnen, wiederholen wir zunächst mehrere Theoreme. Drei Theoreme wurden verwendet, um Maxima und Minima mittels erster und zweiter Ableitung zu finden, und sie werden zum Zeichnen von Funktionen verwendet. Wir benötigen zwei weitere Theoreme, um die Graphen von Funktionen mit der ersten und zweiten Ableitung untersuchen zu können.
Theorem 4: Wenn \( f \) auf dem Intervall \( [ I_1 , I_2 ] \) definiert und auf dem Intervall \( (I_1 , I_2) \) differenzierbar ist, und
4.a Wenn \( f' (x) > 0 \) auf \( (I_1 , I_2) \) ist, dann ist \( f \) auf [\( I_1 , I_2 \)] steigend.
4.b Wenn \( f' (x) \lt 0 \) auf \( (I_1 , I_2) \) ist, dann ist \( f \) auf [\( I_1 , I_2 \)] fallend.
4.c Wenn \( f' (x) = 0 \) auf \( (I_1 , I_2) \) ist, dann ist \( f \) auf [\( I_1 , I_2 \)] konstant.
Theorem 5: Wenn \( f \) auf dem Intervall \( (I_1 , I_2) \) zweimal differenzierbar ist und
5.a Wenn \( f'' (x) > 0 \) auf \( (I_1 , I_2) \) ist, dann ist \( f \) auf [\( I_1 , I_2 \)] linksgekrümmt.
5.b Wenn \( f'' (x) \lt 0 \) auf \( (I_1 , I_2) \) ist, dann ist \( f \) auf [\( I_1 , I_2 \)] rechtsgekrümmt.
Beispiele mit ausführlichen Lösungen
Wir werden Beispiele zum Zeichnen von Funktionen unter Verwendung der Theoreme in "Verwendung der ersten und zweiten Ableitung" und den Theoremen 4 und 5 oben vorstellen.
Beispiel 1
Verwenden Sie die Theoreme der ersten und zweiten Ableitung, um die Funktion \( f \) zu zeichnen, die definiert ist durch
\( f(x) = x^2 \)
Lösung zu Beispiel 1.
Schritt 1: Finden Sie die erste Ableitung, eventuelle stationäre Punkte und das Vorzeichen von \( f' (x) \), um Intervalle zu finden, in denen \( f \) steigt oder fällt.
\( f' (x) = 2x \)
Die stationären Punkte sind Lösungen von:
\( f' (x) = 2x = 0 \), was \( x = 0 \) ergibt.
Das Vorzeichen von \( f' (x) \) ist in der Tabelle unten angegeben.
\( f' (x) \) ist negativ auf \((-∞ , 0)\) und daher fällt \( f \) in diesem Intervall gemäß Theorem 4 oben.
\( f' (x) \) ist positiv auf \((0 , ∞)\) und daher steigt \( f \) in diesem Intervall gemäß Theorem 4 oben.
Auch gemäß Theorem 2(Teil a) "Verwendung der ersten und zweiten Ableitung", hat \( f \) ein Minimum bei \( x = 0 \).
Schritt 2: Finden Sie die zweite Ableitung, ihre Vorzeichen und alle Informationen zur Krümmung.
\( f ''(x) = 2 \) und ist immer positiv (dies bestätigt die Tatsache, dass \( f \) einen Minimalwert bei \( x = 0 \) hat, da \( f ''(0) = 2 \). Der Graph von \( f \) wird auf \((-∞ , +∞)\) linksgekrümmt sein, gemäß Theorem 5(Teil a) oben.
Schritt 3: Finden Sie alle \( x \)- und \( y \)-Achsenabschnitte und Extrema.
\( y \)-Achsenabschnitt = \( f(0) = 0 \).
\( x \)-Achsenabschnitte werden durch Lösen von \( f(x) = x^2 = 0 \) gefunden. \( x \)-Achsenabschnitt = 0.
Aus den Vorzeichen von \( f' \) und \( f'' \) ergibt sich ein Minimum bei \( x = 0 \), was den Minimalpunkt bei \( (0 , 0) \) ergibt.
Schritt 4: Fassen Sie alle Informationen in einer Tabelle zusammen und zeichnen Sie \( f \).
Auch wenn \( x \) sehr groß (+∞) oder sehr klein (-∞) wird, wird \( f(x) = x^2 \) sehr groß.
Siehe Tabelle oben und Graph unten.
Beispiel 2
Verwenden Sie die Theoreme der ersten und zweiten Ableitung, um die Funktion \( f \) zu zeichnen, die definiert ist durch
\( f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x \)
Lösung zu Beispiel 2.
Schritt 1: \( f ' (x) = 3x^2 - 8x + 4 \).
Lösen: \( 3x^2 - 8x + 4 = 0 \)
Lösungen sind: \( x = 2 \) und \( x = \frac{2}{3} \).
Siehe Vorzeichentabelle unten, die auch Intervalle des Anstiegs/Abfalls sowie Maximal- und Minimalpunkte zeigt.
Schritt 2: \( f '' (x) = 6x - 8 \).
Lösen \( 6x - 8 = 0 \); Lösung ist \( x = \frac{4}{3} \) Wendepunkt, an dem sich die Krümmung ändert. Siehe Vorzeichen und Krümmung in der Tabelle unten.
Schritt 3: \( y \)-Achsenabschnitt = \( f(0) = 0 \). \( x \)-Achsenabschnitte lösen \( x^3 - 4x^2 + 4x = 0 \).
\( x \) ausklammern \( x(x^2 - 4x + 4) = 0 \) und die quadratische Gleichung \( x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 = 0 \) lösen, um die Lösungen zu finden: \( x = 0, x = 2 \) mit Vielfachheit 2.
Auch wenn \( x \) sehr groß wird (+∞), wird \( f(x) = x^3 - 4x^2 + 4x \) sehr groß (+∞). Wenn \( x \) sehr klein wird (-∞), wird \( f(x) \) sehr klein (-∞).
Schritt 4: Die Tabelle und der Graph sind unten dargestellt.
Weitere Links und Referenzen
Aufgaben zur Analysis