Maximieren Sie den Flächeninhalt eines in ein Dreieck einbeschriebenen Rechtecks mithilfe der ersten Ableitung. Dieses Optimierungsproblem und seine detaillierte Lösung werden unten vorgestellt.
Im Folgenden steht \( C \) für die Integrationskonstante, sofern anwendbar.
Aufgabe
OAB ist ein Dreieck mit vorgegebenen Eckpunkten. Bestimmen Sie die Abmessungen des Rechtecks mit maximalem Flächeninhalt, das so in das Dreieck einbeschrieben ist, dass eine seiner Seiten auf der Seite OA des Dreiecks liegt.
Lösung der Aufgabe anzeigen
In der Abbildung unten ist ein Rechteck mit der Breite \( W \) und der Länge \( L \) in das Dreieck einbeschrieben, wobei seine oberen Eckpunkte auf den Seiten des Dreiecks liegen. Wir finden zunächst eine Formel für den Flächeninhalt des Rechtecks allein in Abhängigkeit von \( x \).
Die Steigung \( m_1 \) der Geraden durch OB ist gegeben durch:
\[ m_1 = \frac{12 - 0}{6 - 0} = 2 \]Sei \( (x, y) \) die Koordinate des oberen linken Eckpunkts des Rechtecks. Folglich gilt:
\[ m_1 = 2 = \frac{y - 0}{x - 0} = \frac{y}{x} \]Daher ist die Breite \( W \) des Rechtecks gegeben durch:
\[ W = y = 2x \]Die Steigung \( m_2 \) der Geraden durch AB (von \( (6, 12) \) nach \( (10, 0) \)) ist gegeben durch:
\[ m_2 = \frac{0 - 12}{10 - 6} = \frac{-12}{4} = -3 \]Wenn der obere rechte Eckpunkt des Rechtecks die Koordinaten \( (x + L, y) \) hat, liegt er auf der Geraden AB, die durch \( (10, 0) \) verläuft:
\[ m_2 = -3 = \frac{y - 0}{(x + L) - 10} \]Nach \( y \) aufgelöst:
\[ y = -3(x + L - 10) = -3(x + L) + 30 \]Da \( y = W = 2x \) ist, setzen wir beide Ausdrücke für \( y \) gleich:
\[ 2x = -3(x + L) + 30 \]Nach \( L \) aufgelöst:
\[ 2x = -3x - 3L + 30 \implies 3L = 30 - 5x \implies L = 10 - \frac{5}{3}x \]Der Flächeninhalt \( A \) des Rechtecks ist gegeben durch:
\[ A = W \cdot L = 2x \left(10 - \frac{5}{3}x\right) = -\frac{10}{3}x^2 + 20x \]\( A \) ist eine quadratische Funktion von \( x \) der Form \( ax^2 + bx + c \). Da ihr Koeffizient des quadratischen Terms \( a = -\dfrac{10}{3} \) negativ ist, besitzt sie einen Maximalwert an der kritischen Stelle ihrer ersten Ableitung \( A'(x) \).
Berechnung der ersten Ableitung:
\[ A'(x) = -\frac{20}{3}x + 20 \]Setzen von \( A'(x) = 0 \) zur Bestimmung der kritischen Punkte:
\[ -\frac{20}{3}x + 20 = 0 \implies x = 3 \]Somit hat der Flächeninhalt \( A \) des Rechtecks bei \( x = 3 \) einen Maximalwert mit den Abmessungen:
- \( W = 2x = 2(3) = 6 \)
- \( L = 10 - \frac{5}{3}(3) = 10 - 5 = 5 \)
Der maximale Flächeninhalt beträgt \( A = 6 \times 5 = 30 \).