Maximale Fläche eines Rechtecks
Optimierungsproblem mit Lösung
Maximieren Sie die Fläche eines Rechtecks, das in ein Dreieck eingeschrieben ist, mithilfe der ersten Ableitung. Dieses Optimierungsproblem und seine Lösung werden vorgestellt.
Problem
OAB ist ein Dreieck, dessen Eckpunkte gegeben sind. Finden Sie die Abmessungen des Rechtecks mit maximaler Fläche, das in das Dreieck eingeschrieben ist und dessen eine Seite auf der Seite OA des Dreiecks liegt.
Lösung des Problems:
In der Abbildung unten ist ein Rechteck mit den oberen Eckpunkten auf den Seiten des Dreiecks, einer Breite \(W\) und einer Länge \(L\) in das gegebene Dreieck eingeschrieben. Wir müssen zuerst eine Formel für die Fläche des Rechtecks nur in Termen von \(x\) finden.
Die Steigung \(m_1\) der Linie durch OB ist gegeben durch
\[ m_1 = \frac{12 - 0}{6 - 0} = 2 \]
Seien \((x,y)\) die Koordinaten des oberen linken Eckpunkts des Rechtecks. Daher
\[ m_1 = 2 = \frac{y - 0}{x - 0} = \frac{y}{x} \]
Daher ist die Breite \(W\) des Rechtecks gegeben durch
\[ W = y = 2x \]
Die Steigung \(m_2\) durch AB ist gegeben durch.
\[ m_2 = \frac{12 - 0}{6 - 10} = -3 \]
Wenn der obere rechte Eckpunkt des Rechtecks die Koordinaten \((x , y)\) hat, dann gilt:
\[ m_2 = -3 = \frac{y - 0}{x - 10} \]
Daher
\[ y = -3x + 30 \]
wenn wir \(x\) durch \(x + L\) in der obigen Gleichung ersetzen, dann ist \(y\) gleich \(W\), der Breite des Rechtecks
\[ y = W = -3(x + L) + 30 \]
Wir setzen nun die Ausdrücke \(W = 2x\) und \(W = -3(x + L) + 30\) gleich, um einen Ausdruck für \(L\) zu finden.
\[ 2x = -3(x + L) + 30 \]
Lösen Sie die obige Gleichung nach \(L\).
\[ L = 10 - \frac{5}{3}x \]
Die Fläche \(A\) ist gegeben durch.
\[ A = W L = 2x \left(10 - \frac{5}{3}x\right) = -\frac{10}{3} x^2 + 20x \]
\(A\) ist eine quadratische Funktion von \(x\) der Form \(ax^2 + bx + c\), und ihr führender Koeffizient \(a = -\frac{10}{3}\) ist negativ, daher hat sie einen Maximalwert an der kritischen Stelle der ersten Ableitung \(A'\) von \(A\).
\[ A'(x) = -\frac{20}{3}x + 20 \]
Der kritische Punkt wird durch Lösen der Gleichung \(A'(x) = 0\) gefunden. Daher
\[ -\frac{20}{3}x + 20 = 0 \]
Der kritische Punkt ist gegeben durch \(x = 3\).
Die Fläche \(A\) des Rechtecks hat einen Maximalwert für \(x = 3\),
\(W = 2x = 6\)
und
\(L = 10 - \frac{5}{3} \times 3 = 5\).
Weitere Referenzen zu
Analysis-Problemen