Die erste Ableitung wird verwendet, um den Flächeninhalt eines in einen Kreis einbeschriebenen Dreiecks zu maximieren. Ein Optimierungsproblem mit detaillierter Lösung wird unten vorgestellt.
Im Folgenden steht \( C \) für die Integrationskonstante, sofern anwendbar.
Aufgabe
In der Abbildung unten ist das Dreieck ABC in einen Kreis mit dem Mittelpunkt O und dem Radius \( r \) einbeschrieben. Bei konstantem Radius \( r \) des Kreises gleitet der Punkt B so entlang des Kreises, dass sich der Flächeninhalt von ABC verändert. Bestimmen Sie die Längen der Seiten AB und CB so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks ABC maximal wird.
Lösung der Aufgabe anzeigen
Da der Mittelpunkt O des Kreises auf der Seite AC des Dreiecks liegt, ist AC ein Durchmesser des Kreises und das Dreieck ABC ein rechtwinkliges Dreieck (Satz von Thales). Sein rechter Winkel befindet sich bei B und seine Hypotenuse AC hat eine Länge gleich \( 2r \) (siehe Abbildung unten).
Der Flächeninhalt \( S \) des Dreiecks ist gegeben durch:
\[ S = \frac{1}{2} AB \times CB \]Mithilfe des Winkels \( t \) können \( AB \) und \( CB \) wie folgt ausgedrückt werden:
\[ AB = AC \cos t \quad \text{und} \quad CB = AC \sin t \]Setzen Sie \( AB \) und \( CB \) in die Formel für den Flächeninhalt ein:
\[ S = \frac{1}{2} AC^2 \cos t \sin t \]Unter Verwendung der trigonometrischen Identität \( \sin(2t) = 2 \sin t \cos t \) drücken wir den Flächeninhalt \( S \) aus als:
\[ S = \frac{1}{4} AC^2 \sin(2t) \]Da der Radius \( r \) konstant ist, ist auch die Länge des Durchmessers \( AC = 2r \) konstant. Folglich hängt der Flächeninhalt nur von dem Winkel \( t \) ab, während Punkt B entlang des Kreises gleitet. Um \( t \) so zu bestimmen, dass \( S \) maximal wird, berechnen wir die erste Ableitung nach \( t \):
\[ \frac{dS}{dt} = \frac{1}{4} AC^2 \cdot 2 \cos(2t) = \frac{1}{2} AC^2 \cos(2t) \]Das Gleichsetzen von \( \frac{dS}{dt} \) mit Null liefert die stationären Punkte:
\[ \frac{1}{2} AC^2 \cos(2t) = 0 \implies \cos(2t) = 0 \]Wenn Punkt B entlang des Kreises gleitet, ändert sich der Winkel \( t \) von \( 0 \) bis \( 90^\circ \). Die Lösung von \( \cos(2t) = 0 \) im Intervall \( (0^\circ, 90^\circ) \) lautet:
\[ 2t = 90^\circ \implies t = 45^\circ \]Wenn sich \( t \) von \( 0^\circ \) bis \( 45^\circ \) ändert, ändert sich \( 2t \) von \( 0^\circ \) bis \( 90^\circ \) und \( \frac{dS}{dt} \) ist positiv. Wenn sich \( t \) von \( 45^\circ \) bis \( 90^\circ \) ändert, ändert sich \( 2t \) von \( 90^\circ \) bis \( 180^\circ \) und \( \frac{dS}{dt} \) ist negativ. Daher liefert \( t = 45^\circ \) den Maximalwert für den Flächeninhalt \( S \).
Wenn \( t = 45^\circ \) ist, betragen die Längen der Seiten \( AB \) und \( CB \):
\[ AB = AC \cos(45^\circ) = 2r \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = r\sqrt{2} \] \[ CB = AC \sin(45^\circ) = 2r \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = r\sqrt{2} \]Fazit: Der Flächeninhalt wird bei \( t = 45^\circ \) maximal, was bedeutet, dass das einbeschriebene rechtwinklige Dreieck ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck mit den Seitenlängen \( AB = CB = r\sqrt{2} \) ist.