Die erste Ableitung wird verwendet, um die Fläche eines in einen Kreis einbeschriebenen Dreiecks zu maximieren. Ein Optimierungsproblem mit Lösung.
Im Bild unten ist das Dreieck ABC in einen Kreis mit Mittelpunkt O und Radius r einbeschrieben. Bei konstantem Radius r des Kreises gleitet Punkt B entlang des Kreises, sodass sich die Fläche des Dreiecks ABC ändert. Finden Sie die Längen der Seiten AB und CB, bei denen die Fläche des Dreiecks ABC maximal ist.
Lösung des Problems:
Da der Mittelpunkt O des Kreises auf der Seite AC des Dreiecks liegt, ist AC ein Durchmesser des Kreises und das Dreieck ABC ist ein rechtwinkliges Dreieck (Satz des Thales). Sein rechter Winkel ist bei B und seine Hypotenuse AC hat die Länge \(2r\). (siehe Abbildung unten)
Die Fläche \(S\) des Dreiecks ist gegeben durch
\[ S = \frac{1}{2} AB \times CB \]Mit dem Winkel \(t\) können \(AB\) und \(CB\) wie folgt ausgedrückt werden
\[ AB = AC \times \cos t \quad \text{und} \quad CB = AC \times \sin t \]Setzen wir \(AB = AC \times \cos t\) und \(CB = AC \times \sin t\) in die obige Flächenformel ein, erhalten wir
\[ S = \frac{1}{2} AC^2 \cos t \sin t \]Wir verwenden nun die trigonometrische Formel \(\sin(2t) = 2 \sin t \cos t\), um die Fläche \(S\) wie folgt auszudrücken.
\[ S = \frac{1}{4}AC^2 \sin(2t) \]Da der Radius \(r\) konstant ist, ist auch die Länge des Durchmessers \(AC\) konstant, daher hängt die Fläche nur vom Winkel \(t\) ab, während Punkt B entlang des Kreises gleitet. Um \(t\) zu finden, bei dem \(S\) maximal ist, müssen wir die erste Ableitung und die stationären Punkte bestimmen.
\[ \frac{dS}{dt} = \frac{1}{4}AC^2 \cdot 2 \cos(2t) \]Wir setzen \(\frac{dS}{dt}\) gleich Null, um stationäre Punkte sowie Intervalle der Zu- und Abnahme zu finden.
\[ \frac{1}{4}AC^2 \cdot 2 \cos(2t) = 0 \]Während Punkt B entlang des Kreises gleitet, ändert sich der Winkel \(t\) von 0 bis 90 Grad. Die einzige Lösung der obigen Gleichung im Intervall \( (0 , 90) \) ist daher
\[ 2t = 90 \quad \text{oder} \quad t = 45 \text{ Grad} \]Wenn \(t\) von 0 auf 45 steigt, steigt \(2t\) von 0 auf 90 und \(\frac{dS}{dt}\) ist in diesem Intervall positiv. Wenn \(t\) von 45 auf 90 steigt, steigt \(2t\) von 90 auf 180 Grad und \(\frac{dS}{dt}\) ist in diesem Intervall negativ. \(t = 45\) Grad ist die Stelle eines Maximalwerts für die Fläche \(S\).
Bei \(t = 45\) Grad ist die Fläche des einbeschriebenen rechtwinkligen Dreiecks maximal. Die Längen der Seiten \(AB\) und \(CB\) sind gegeben durch
\[ AB = AC \times \cos (45 \text{ Grad}) = 2r \sqrt{2} \]und
\[ CB = AC \times \sin (45 \text{ Grad}) = 2r \sqrt{2} \]Die Fläche ist maximal, wenn \(t = 45\) Grad ist, was auch bedeutet, dass das rechtwinklige Dreieck gleichschenklig ist.